1、1 随机变量及其分布函数 2 离散型随机变量及其概率分布 3 连续型随机变量及其概率密度 4 正态分布 5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其概率分布,1 随机变量及其分布函数,1.1 随机变量,为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.,例 检测一件产品可能出现的两个结果，也可以用一个离散变量来描述,例 电脑寿命可用一个连续变量T 来描述.,3每一基本事件都可用随机变量的取值来表示.如 ，则 ,定义1.1,设 是试验 E 的样本空间, 若对于每一个,，都有一个实数 与之对应，,则称X=X ( ),为 上的随机变量。,随机变量一
2、般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母, , 表示.,注：1随机变量 是基本事件的函数.,5 表示 取小于等于 的每一个值所对应的 基本事件的和事件.,4当 时,事件 与 互不相容.,2不同的基本事件， 的取值亦不同,1.2 随机变量的分布函数,定义1.2 设 是一个随机变量，对任意实数 ，令,称 为随机变量 的分布函数,分布函数是定义在 上的函数具有如下性质：,1 1且 ， ,2 是单调不减函数,3 是右连续的,即 .,4 对任意 ，有,设r.v. X的分布函数：,计算,例l.1,解,定义 设E是一个试验，X为E中的随机变量，如果X 只取有限个数值或可数无穷多个数值，则称X为离散
3、型随机变量,分布律:PX = xk = pk ,k = 1, 2, , 即,2 离散型随机变量及其概率分布,2.1 离散型随机变量及其概率分布,分布律的性质：,例2.1 某人射击命中率为 ，不断地独立射击目标，直到命中为止，求发射子弹数 的分布律(概率分布),解 可取值为1，2， 表示事件“前 次不中，第 次击中”，则,因此,离散随机变量的分布函数,解,例2.2 设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.令X 表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与p = 0.4 时的分布函数并计算,出发地,甲地,0.6,0.24,0.096,0.0384,0
4、.0256,代入,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,例2.3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.,解,PX = k = P前k 1次击中r 1次,第 k 次击中目标,注,利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质,当,归纳地,令,(1) 0 1 分布,是否超标等等.,凡试验只有两个结果, 常用0 1,分布描述, 如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0 p 1,或,(2) 二项分布,n 重Bernoulli
5、 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若,则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作,01 分布是 n = 1 的二项分布,二项分布的取值情况,设,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,设,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值,例4 独立射击5000次, 命中率为0.001,例4,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5
6、,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；,(2) 命中次数不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),本例 启示,由此可见日常生活中“提高警惕, 防火,由于时间无限, 自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的,同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝,症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常,现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而,防盗”的重要性.,事，不用奇怪，不用惊慌.,跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.,启示,Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式,问题 如何计算 ？
7、,证,记,类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中 不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的 概率为,对每个 n 有,结 论,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是 Poisson 分布,解 令X 表示命中次数, 则,令,此结果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一.,利用Poisson定理再求例4 (2),X B( 5000,0.001 ),由题意,多少个产品？,例5,得 n +1 = 6 , n = 5,故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.,应用Poisson定理,在实际计算中,当 n 20,
8、p 0.05时, 可用上 述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,在Poisson 定理中，,由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布,(3) Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,都可以看作是源源不断出现的随机 质点流
9、 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质 点数 Xt P ( t ),例6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变 量 X ,例6,设各个虫卵是否能发育成幼虫是 相互独立的.,已知X P()，且每个虫卵发育,成幼虫的概率为 p.,求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.,解,昆虫,X 个虫卵,Y 个幼虫,已知,由全概率公式,故,作业 P82 习题二,8 (1) 12 14 15,习题,每周一题5(1),自动生产线调整以后出 现废品的概率为 p, 当生产 过程中出现废品时立即重新 进行调整, 求在两次调整之 间的合格产品数的分布.,问 题,第5周,
10、5(2),已知运载火箭在飞行中进入其仪,器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊,松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落,到仪器重要部位的概率为 0.1, 求落到,仪器重要部位的粒子数的概率分布 .,第五周,问题,Blaise Pascal 1623-1662,帕斯卡,法国数学家 物理学家 思想家,帕斯卡,帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养 下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成 圆锥曲线论,由此定理导出400余条 推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆 锥曲线论的最大进步.,帕斯卡简介,1642年发明世界上第一台机械加法 计算机帕斯卡计算器.,他应用此方法解决了摆线问题.,1654年研究二项系数性质,
11、写出 论算术三角形一文,还深入讨论 不可分原理,这实际上相当于已知道,1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.,三十岁时他曾研究过赌博问题, 对早期概率论的发展颇有影响.,1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立.,在离散型随机变量的分布中有个 以帕斯卡名字命名的分布，它应用于 重复独立试验中，事件发生 次的场,帕斯卡还写过不少文学著作.,1654年他进入修道院,献身于哲,合.而有名的几何分布正是其 时的特例.,学和宗教.,解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台,设备中发生故障的台数，则 X B( 90, 0.01),自学（详解见教
12、材 P.61例6 ),附例,2.2 几种常用的离散型随机变量及其概率分布,1(0-1)分布,若随机变量 只取0与1两个值，其概率分布为,或写成,则称 服从参数为 的（0-1）分布或两点分布,分布函数,凡试验只有两个结果, 常用01分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,2二项分布,如果随机变量 的取值为0 1,2， ,其分布律为,0,1,2,，,在 重贝努利概型中，事件 发生的次数 就服从 ，其中 。,则称 服从参数为 ， 的二项分布，记作,当 =1时，二项分布 就是(0-1)分布,注：,二项分布中最可能出现次数的定义与推导：,则称 为最可能出现的次数。
13、,记,当( n + 1) p =整数时,在 k = ( n + 1) p与( n + 1) p 1处的概率取得最大值。,对固定的n，p，PX = k的取值呈不对称分布，固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称。,当( n + 1) p整数时, 在k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值。,例2.4 独立射击5000次, 命中率为0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,=(5000+1)0.001=5,求(1) 最可能命中次数及相应的概率；,(2) 命中次数不少于1次的概率.,(2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),小概率事件虽不易发生，但
14、重复次数多了，就成大概率事件.,3几何分布,如果随机变量 的取值为1,2,其分布律为,k=1,2,，0p1,称随机变量 服从几何分布。,注：,设实验 只有两个可能的对立结果 和 。,且 ，其中 。,适用情况：,如果随机变量 可能取值为 并且,其中 为常数，则称 服从参数为 的泊松分布，记作 ,3泊松分布,注：,泊松定理 设 为一常数， 为任意正整数， ，则对于任一固定的非负整数 ，有,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数., ,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；, ,放射性物质发出的
15、 粒子数；,例2.5 一部电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有6次呼叫的概率； （2）每分钟的呼叫次数大于5的概率,解 以 表示每分钟呼叫的次数，则 ,（1）,（2）,例2.6 某人进行射击，每次命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率,解,所求概率为,3.1 连续型随机变量及其概率密度,定义 设随机变量 的分布函数为 ，如果存在一个非负函数 ，使对于任意实数 ，有,则称 为连续型随机变量，其中 称为 的概率密度,3 连续型随机变量及其概率密度,分布函数与密度函数几何意义,性质：1 0,2,3 连续,4 ,5,6,注：1.连续随机变量取任
16、一常数的概率为零,2.概率为0(1)的事件未必不发生(发生).,例3.1 设 的概率密度为,(1) ；（2）求 ；（3） ,解 （1）由 ，有 ,（2）,（3）,例3.2 设连续型随机变量 的概率密度为,（1）求 ,（2）求 ;（3）分布函数 ,解 （1)由 ,因而,解得,（2）,（3）当 时，,当 时，,当,3.2 几种常见的连续型随机变量及其概率密度,若连续型随机变量 具有概率密度,1.均匀分布,所以,则称 在区间 上服从均匀分布,其分布函数为,对于任意 ，若 ，则有,这说明 取值落在 内任一子区间 内的概率，只依赖于子区间的长度 ，与子区间位置无关,2. 指数分布,若连续型随机变量 的概
17、率密度为,其中 为常数，则称 服从参数为 的指数分布,分布函数为,例3.3 已知某种电子管的寿命 (单位小时)服从指数分布，其概率密度为,求这种电子管能使用1000小时以上的概率,解,4.1 正态分布的定义与性质,若连续型随机变量 的概率密度为,其中 为常数，则称 服从参数为 的正态分布，记作 其分布函数为,4 正态分布,1. 关于直线 对称，并在 处取最大值 ,注,2. 在x = 时, 曲线y = f (x)在对应的点处有拐点,3.,4. 即固定 ,对于不同的 ,对应的f (x)的形状不变化，只是位置不同.,5. 固定 ，对于不同的 ,f ( x) 的形状不同.,若1 2,则 . 大小与曲线
18、陡峭程度成反比.,小,小,4.2 标准正态分布,设 ，如果 ， ，则称 服从标准正态分布.记作 ,分布函数为,的概率密度为,注,1.,2.,3.,例3.4 设 ,一般正态分布与标准正态分布的关系,分布函数为 .则,例3.5 设 ，求(1) ;(2) ; (3) ;(4) .,解,（1）,（2）,（3）,（4）,例3.6,设X N ( , 2), 求,解,3原理 一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小.,4.3 标准正态分布的上 分位点,设 ,对于给定的 若点 满足,则称点 为标准正态分布的上 分位点,u,注,常用数据,设有函数 ， 与
19、 是两个随机变量，如果当随机变量 取值 时，随机变量 取值为 ，则称随机变量 是随机变量 的函数，记作 ,5 随机变量的函数的分布,5.1 离散性随机变量的函数的分布,方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件,注 设r.v. X的分布律为,由已知函数g( x)可求出r.v. Y的所有可能取值，则Y 的概率分布为,例5.2 已知 X 的概率分布为,其中p + q = 1, 0 p 1,求 Y = Sin X 的概率分布,解,故 Y 的概率分布为,5.2 连续型随机变量的函数的分布,已知 X 的概率密度 f (x) 或分布函数，求 Y = g( X ) 的概率密度。,方法：,（1） 从分布函数出
20、发 （2）用公式直接求概率密度,例5.3 设 的概率密度为,解 先求 的分布函数 ,于是得到 的概率密度,求 的概率密度,例5.4 设 ，求 的概率密度,解 由于 的取值非负，故当 时，,当时 ，,故,例5.5 已知 X 的 概率密度为,为常数，且 a 0, 求 fY ( y ),解,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例5.6 设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,例5.7 设 X 的 概率密度为,求,的概率密度。,解,当 y 0，,f Y (y) = 0,当y 1时,因而,当0 y 1 时（如图）,1,x,0,故,
