1、 第 - 1 - 页 共 9 页 - 1 - 热考热考 11 带电粒子在场中的运动带电粒子在场中的运动 一、选择题 1(多选)(2019 年安徽名校联考)如图所示，MN 是垂直于纸面向里的匀强磁场的边界，在 边界上 P 点有甲、乙两粒子同时沿与 PN 分别成 60 、30 角垂直磁场方向射入磁场，经磁场偏 转后均从 Q 点射出磁场， 不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是( ) A若甲、乙两粒子完全相同，则甲、乙两粒子的速度之比为 1 3 B若甲、乙两粒子完全相同，则甲、乙两粒子在磁场中运动的时间之比为 21 C若甲、乙两粒子同时到达 Q 点，则甲、乙两粒子的速度之比为 32
2、D若甲、乙两粒子同时到达 Q 点，则甲、乙两粒子的比荷之比为 21 【答案】ABD 【解析】设 PQ 间的距离为 L，则甲、乙粒子在磁场中做圆周运动的半径，r甲 L/2 cos 30 L 3，r 乙 L/2 cos 60 L，如果两粒子完全相同，由 rmv qB得 v qBr m ，则甲、乙两粒子的速度之 比为v 甲 v乙 1 3，A 正确；如果粒子完全相同，则粒子做圆周运动的周期相同，则两粒子在磁场 中运动的时间之比等于两粒子在磁场中运动的轨道所对的圆心角之比，即t 甲 t乙2，B 正确；若 甲、乙两粒子同时到达 Q 点，则两粒子在磁场中运动的时间相同，则粒子的速度之比等于轨 迹的弧长之比，
3、即v 甲 v乙 2r甲 1 3 2r乙 1 6 2 3，则甲、乙两粒子的比荷之比为 q甲 m甲 q乙 m乙 2 T甲B 2 T乙B21， C 错误、D 正确 2(多选)(2019 年百校联盟保温金卷)如图所示，在竖直线 EOF 右侧足够大的区域内存在 着磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里的匀强磁场质量相同、电荷量分别为q 和q 的带电粒子，从 O 点以相同的速度，先后射入磁场，已知 v 的方向与 OF 成 30 ，两带电 粒子在磁场中仅受洛伦兹力作用，则( ) 第 - 2 - 页 共 9 页 - 2 - A两带电粒子回到 EOF 竖直线时与 O 点的距离相等 B两带电粒子回到 EOF 竖直
4、线时的速度相同 C两带电粒子在磁场中的运动时间相等 D从射入到射出磁场的过程中，两粒子所受洛仑兹力的冲量相同 【答案】ABD 3(2019 年天一大联考)如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的右边界为 MN，在距边界 为 r 处有一粒子源 S，粒子源沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量质量为 m、电荷量为 q、 速率为 v 的相同粒子，不计粒子的重力及粒子间的作用力，若磁感应强度大小为 B 2 3mv 2qr ，则能从右边界逸出的粒子数与发射的粒子数的比例为( ) A1 2 B1 5 C1 3 D1 6 【答案】D 【解析】根据题意，作出粒子恰好能出射的运动轨迹，如图所示由图 可知，粒子的出射范围在
5、 A 与 B 之间，设O2SOO1SO，根据 qvB mv 2 R，得粒子的运动轨迹半径为 R2(2 3)r，根据几何关系有 cos SO SO1， 其中 SOSCRrR，SO1R，代入则有 cos rR R 3 2 ，解得 30 ， 则粒子能出射的角度为 260 ，故能从右边界逸出的粒子数与发射的粒子数的比例为 60 360 1 6，故选 D. 4 (多选)(2019 年广东茂名联考)如图所示， 金属棒 MN 与金属网 PQ 之间存在水平向右的 匀强电场，PQ 与虚线 JK 之间的区域存在竖直向上的匀强电场与垂直纸面向里的匀强磁场， 两个电场的电场强度大小均为 E，磁场的磁感应强度大小为E
6、v0，两个区域的宽度均为 d.一个带 正电的微粒贴着 MN 以初速度 v0竖直向上射入场区，运动到 PQ 时速度大小仍为 v0，方向变 为水平向右已知重力加速度为 g，下列说法正确的是( ) 第 - 3 - 页 共 9 页 - 3 - A微粒在 MN 与 PQ 间做匀变速运动，运动时间为2d v0 B微粒在 PQ 与 JK 间做匀速圆周运动，圆周半径 rd C微粒在 PQ 与 JK 间做匀速直线运动，运动时间为 d v0 D微粒在题述两个区域中运动的总时间为6d 3v0 【答案】AD 【解析】微粒在 MN 与 PQ 间竖直方向受到重力作用，水平方向受到电场力作用，由于都 是恒力，故微粒做匀变速
7、运动，由对称性可知 Eqmg，在竖直方向 v0gt1，则 t1v0 g 或水平 方向 t1 d v0/2 2d v0，故 A 正确；微粒在刚进入 PQ 与 JK 间时，受到向下的重力、向上的电场 力和向上的洛伦兹力作用，由于 BE v0，则有 Bqv0qEmg，由于重力和电场力平衡，故微 粒做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力 qvBmv 2 r ，得半径为 rmv0 Bq ，联立可得 r2d， 故 B 错误；由几何关系可知，微粒在 PQ 与 JK 间运动的圆心角为 30 ，故所用时间为 t2 l v0 6 2d v0 d 3v0，所以微粒在题述两个区域中运动的总时间为 tt1t2 6d 3
8、v0 ，故 C 错误，D 正 确 二、计算题 5如图所示，空间存在电场强度为 E、方向水平向右足够大的匀强电场挡板 MN 与水 平方向所夹角为 ，质量为 m、电量为 q、带正电的粒子从与 M 点在同一水平线上的 O 点以 速度 v0竖直向上抛出，粒子运动过程中恰好不和挡板碰撞，粒子运动轨迹所在平面与挡板垂 直，不计粒子的重力，求： (1)粒子贴近挡板时水平方向速度的大小； 第 - 4 - 页 共 9 页 - 4 - (2)O、M 间的距离 【答案】(1)v0cot (2)mv 2 0cot 2 2qE 【解析】(1)由于粒子恰好不和挡板碰撞，粒子贴近挡板时其速度方向与挡板恰好平行， 设此时粒子
9、水平方向速度大小为 vx，则 cot vx v0 解得 vxv0cot . (2)粒子做类平抛运动，设粒子运动加速度为 a，由牛顿第二定律可知 qEma 在如图所示的坐标系中可得 vxat，x01 2at 2，y 0v0t 设 O、M 间的距离为 d，由几何关系 cot dx0 y0 解得 dmv 2 0cot 2 2qE . 6(2019 年河北石家庄模拟)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 内，坐标原点 O 处有一粒 子源，向与 x 轴成 45 角的方向连续不断地发射质量为 m、电荷量为q、速度大小为 v 的 粒子，经过足够长的时间后，在第象限加一方向垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强
10、磁 杨，不计粒子重力及粒子间的相互作用求： (1)粒子在磁场中运动的最短时间； (2)粒子离开磁场时距 O 点的最大距离 【答案】(1) m 2qB (2) 2 2mv qB 【解析】(1)加上磁场时，设粒子在磁场中运动的周期为 T，轨道半径为 r qvBmv 2 r ，T2r v 第 - 5 - 页 共 9 页 - 5 - 联立解得 T2m qB 位于坐标原点 O 处的粒子在磁场中运动的时间最短，该粒子运动轨迹如图甲 此时，粒子在磁场中运动的圆心角 90 ，粒子在磁场中运动的时间 t 2T 解得 t m 2qB 甲 乙 (2)粒子打到 x 轴最远处时，该粒子运动轨迹如图乙 由(1)可知粒子的
11、轨道半径 rmv qB 粒子离开磁场时距 O 点的最大距离 xm2 2r 解得 xm2 2mv qB . 7(2019 年广东茂名联考)如图所示，在某空间存在一面积足够大的匀强磁场区域，在该 区域中心有一半径为 R 的圆，O 为圆心，园内的磁场垂直纸面向里，圆外的磁场垂直纸面向 外，磁场的磁感应强度为 B.如果在 P 点有一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子沿半径方向 射入，它在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为 R，求： (1)带电粒子的初速度大小； (2)带电粒子回到 P 点所需的时间 【答案】(1)qBR m (2)4m qB 【解析】(1)由牛顿第二定律和洛伦兹力公式可得 qvBmv
12、2 R，解得 v qBR m . (2)因为粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为 R，所以它在圆形区域内的轨迹是四分 之一圆弧，如图所示是圆 O1的一部分；离开圆形区域后，所受洛伦兹力方向相反，以 O2 为圆心做圆周运动，经过四分之三弧长后又进入圆形区域，这样依次以 O1、O2、O3、O4 第 - 6 - 页 共 9 页 - 6 - 为圆心做部分圆周运动后又回到 P 点 粒子在磁场中做圆周运动的周期为 T2m qB 所以带电粒子回到 P 点所需的时间为 tT 42 3T 4 22T4m qB . 8(2019 年贵阳二模)如图所示，一边长为 2R 的正方形与半径为 R 的圆相切，两区域内 有大
13、小相等方向相反的匀强磁场M 是正方形左边长的中点，O 点是圆的圆心，M、O、N 三 点共线若把比荷为q m、重力不计的两个带正电的粒子分别从 M、N 两点以速度 v0沿 MON 直 线相向进入磁场它们在磁场中运动相同的时间，并以相同的方向离开磁场，若从 N 点进入 磁场的带电粒子的速度大小变为 2v0，并改变其速度方向，该粒子将从 M 点离开磁场求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从 N 点以 2v0进入磁场运动到 M 点的总时间 【答案】(1)Bmv0 r (2)t2R 3v0 【解析】(1)如图所示，只有当带电粒子在磁场中运动1 4圆周时，两个粒子的运动时间才相 同(如图中实
14、线)，粒子在磁场中运动的向心力由洛伦兹力提供 qv0Bmv 2 0 r 由几何关系可知，带电粒子做匀速圆周运动的半径 rR 所以 Bmv0 qR . (2)如图所示，当带电粒子在圆形磁场中从 N 进入从 M 点射出，粒子在磁场中运动的向心 第 - 7 - 页 共 9 页 - 7 - 力由洛伦兹力提供 q(2v0)Bm2v0 2 r 解得 r2R 所以MO2P 和PNO1都是正三角形，该粒子在两个磁场中运动的总时间 tT 3，T 2r v 联立解得 t2R 3v0. 9(2019 年齐齐哈尔三模)如图所示，三块等大且平行正对的金属板水平放置金属板厚 度不计且间距足够大上面两金属板间有竖直向下的匀
15、强电场下面两板间有竖直向上的匀 强电场，电场强度大小皆为 E.以中间金属板的中轴线为 x 轴，右侧边缘 O 为原点建立平面直 角坐标系 xOy，在坐标系的第、限象有垂直纸面向里的匀强磁场现有一重力不计的绝缘 带电小球质量为 m、电荷租为q，从中间金属板上坐标位置(l,0)处以初速度 v0沿 x 轴正 方向开始运动，已知 lmv 2 0 qE ，试求： (1)带电小球进入磁场时的位置坐标(用 l 表示)与带电小球进入磁场时的速度大小与方向； (2)若要使带电小球能回到中间金属板下边面与释放点对称的位置，计算匀强磁场的磁感 应强度 B 的大小(用 E、v0表示) 【答案】(1) 0，l 2 ，与
16、y 轴正向夹角 45 (2)2E v0 【解析】(1)带电小球在匀强电场中做类平抛运动水平方向上 lv0t 竖直方向上加速度 aqE m 竖直位移 y1 2at 2qE mv20 l2 2 l 2 所以带电小球进入磁场时的位置坐标为 0，l 2 竖直方向速度 vyqE m tv0 所以 v v20v2y 2v0 因为 tan vy v01，所以速度方向与 y 轴正向夹角为 45 . (2)若要使带电小球能回到中间金属板下边面与释放点对称的位置，根据对称性可知， 第 - 8 - 页 共 9 页 - 8 - 它在磁场中做圆周运动的圆心应在 x 轴上，其运动轨迹如图所示由几何关系有 r 2y 2 2
17、 l 据 qvBmv 2 r 联立解得 B2E v0. 10 (2019 年河北唐山一模)平面直角坐标系 xOy 中， 第二象限存在沿 y 轴负方向的匀强电 场，场强大小为 E，第三、四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示一质量为 m， 带电量为q的正粒子从坐标为(L， L)的P点沿y轴负向进入电场， 初速度大小为v0 2LqE m ， 粒子第二次到达 x 轴的位置为坐标原点不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度 B 的大小； (2)若粒子由 P 点沿 x 轴正向入射，初速度仍为 v0 2LqE m ，求粒子第二次到达 x 轴时与 坐标原点的距离 【答案】(1)4 mE qL
18、 (2) 6 2 4 L 【解析】(1)由动能定理 qEL1 2mv 21 2mv 2 0 粒子进入磁场时速度大小为 v 4qEL m 在磁场中 L2R qvBmv 2 R 第 - 9 - 页 共 9 页 - 9 - 可得 B4 mE qL. (2)假设粒子由 y 轴离开电场 Lv0t y11 2at 2 qEma 可得 yL 4L，假设成立 vyat 速度偏转角 tan vy v0 合速度 v vy sin 第一次到达 x 轴的坐标 x1Ly1 tan 3 2L 在磁场中 qvBmv 2 R，得 R mv qB x2Rsin 2mv qB sin 2mvy qB 2 4 L 粒子第二次到达 x 轴的位置与坐标原点的距离 xx1x26 2 4 L.
