1、等效法分析电学实验的系统误差 电阻的测量（伏安法、半偏法）、电源的电动势和内阻的测量，这两个实验中的系统误 差，都可以用“等效电路法”精确分析；“等效法” 分析电学实验的系统误差，直观简洁， 学生容易理解和掌握，特总结如下，期与同行交流。 一、伏安法测电阻 U 该实验的理论依据是“部分电路的欧姆定律”（或“电阻”的定义）：R ，其中， x x I x Ux 为加在待测元件（电路）两端的实际电压，Ix 为通过待测元件（电路）的实际电流。 图 图 伏安法测电阻的测量电路有两种电流表的内接法（图）和电流表的外接法（图 ），设电压表读数为U ，电流表读数为 测 U 测 I ，则该元件的实验测量值为：R
2、 ， 实 测 测 I 测 验的系统误差来源于U 、 测 I 与 Ux、Ix 的偏差。 测 1电流表的内接法 （1）误差来源分析 如图所示，电流表测量的是通过 R 的电流，但电压表却测量的是“ x R 、电流表”两 x 端的电压，有 I I 测 U测 U x U A U x x 则 U U R x R 测 测 x I I 测 x 图 （2）“等效法”分析 如图所示，电压表实际测量的是虚线框内部分电路“ R 、电流表”两端的电压，电 x 流表测量的也是通过“ R 、电流表”的电流，则由部分电路的欧姆定律，可知该电路测量 x 的实际上是“ R 、电流表”的等效电阻，即： x U 测 R R x R
3、测 A I 测 由上可知，若用电流表的内接法测量电阻，则要求 R 。 A R x 图 1 2电流表的外接法 （1）误差来源分析 如图所示，电压表测量的是 R 两端的电压，但电流表测量的却是通过“ x R 、电压表” x 的电流，有 U测 U I测 I x I V I x x 则 U U R x R 测 测 x I I 测 x 图 （2）“等效法”分析 如图(6)所示，电流表实际测量的是通过虚线框内部分电路“ R 、电压表” 的电流， x 电压表测量的也是 “ R 、电压表” 两端的电压，则由部分电路的欧姆定律，可知该电路 x 测量的实际上是“ R 、电压表”的等效电阻，即： x R 测 U R
4、 R 测 x V R / R x V R R I 测 x V 将上式变形，得 图(6) R R测 ，则可看出，用电流表的外接法测电阻时，要求 R V R x 。 x R R x 1 V 3小结与拓展 由上述分析可知，“等效法”分析“伏安法测电阻”实验中的系统误差，基本思想是看 电流表、电压表实际测量的是哪部分电路的电流、电压，则测得的就是那部分电路的等效电 阻。 图 图 如图、图所示，R0 是已知电阻；在图所示实验中，R0 相当于电压表，则 由 U R测 得 0 I 1 ( 2 I )R I R x R 1 0 R 测 A I 1 1 在图所示实验中，R0 相当于电流表，则 由 U R 测 得
5、 1 I 0 R 测 R R U x V 1 R / R 1 U U x R R V! 2 1 x V 1 R 0 二、伏安法测电源电动势和内阻 该实验的 理 论 依 2 据的是“闭合电路的欧姆定律”，设一个闭合电路中外电路两端的电压即路端电压为 U，通 过电源的电流为 I，则有 E U Ir 。 图 图 伏安法测电源的基本电路有两种电流表的直接法（如图）和电压表的直接法（如 图）；设电压表读数为U ，电流表读数为 测 I ，则有方程 测 E 测 U I r 测 测 测 用同一电路作两次实验即可计算出电源电动势和内阻的实验值 E 、 测 r 。实验的系统误差 测 来源于U 、 测 I 与 U、
6、I 的偏差。 测 1电流表的直接法 （1）误差来源分析 如图所示，电流表测量的是通过电源的电流，但电压表测量的“外电路中除去电流 表之外其余部分”两端的电压，有： I 测 I U测 U U A U 则由U U测 和U A I测r A ，有准确方程 U A E （U I r I r 测 ） 测 A 测 变形得： E U I (r A r) 测 测 对比方程，可看出实验测量值为 E测 E r测 r A r r 图 （2）“等效法”分析 如图所示，电压表实际测量的是虚线框内部分“电源、电流表”的“路端电压”，电 流表也是测量的通过该部分的电流，则由方程组计算出的应该是虚线框内这个“等效电源” 的电动
7、势 E和内阻 r，而对这个“等效电源”，有 E E r r r A 故有 E测 E E r测 r r A r 。 由上述分析可看出，用电流表的直接法测电源电动势和内阻时，要求 r A r ，但实际 3 上 r 很接近 r 甚至大于 r，故一般不用此方法，除非 A r 是已知的。 A 2电压表的直接法 （1）误差来源分析 如图所示，电压表测量的是电源两端的电压路端电压，但是电流表测量的却是 通过“外电路中除去电压表之外其余部分”的电流，有 I I I 测 I V U测 U 则由 I I测 和 I V U 测 I ，有准确方程 V r V E U测 (I 测 U 测 r V )r 图 r r r
8、有： E U测 r U I r U I V 测 测 测 测 r r V V 变形 得： r r V r V E U 测 I 测 r r V r r V 对比方程，可看出实验测量值为 r r r E测 V E E r V r 测 r r r r V V （2）“等效法”分析 如图所示，电流表也是测量的通过虚线框内部分“电源、电压表”的电流，电压表 实际测量的是该部分的“路端电压”，则由方程组计算出的应该是虚线框内这个“等效电 源”的电动势 E和内阻 r，而对这个“等效电源”，有 E r r V r V E r r r V r r V r 故有 E E E V 测 r r V r r r r 测
9、。 V r r V 1 1 将上式变形，有 E E r测 ，而 r V r ，故用电压表的直接法测 测 和 r r r 1 1 r r V V 电源电动势和内阻的误差一般极小。 3小结与拓展 等效电压源定理：一个包含电源的二端电路网络，可看成一个等效的电压源，等效电压 源的电动势等于“二端电路网络”两端的开路电压，内阻等于“二端电路网络”中去掉电动 势后两端间的等效电阻。 由上述分析可知，“等效法”分析“伏安法测电源电动势和内阻”实验中的系统误差， 4 基本思想是看电流表、电压表实际测量的是哪个“等效电源”的路端电压和总电流，实验测 得的就是那个“等效电源”的电动势和内阻。 如图所示，R 为电
10、阻箱；在图所示实验中，R 相当于 电压表，U I R 测 ，该电路实际测量的是虚线框内“等效电 测 源”，故有 E测 E E r测 r r A r 图 U 测 在图所示实验中，R 相当于电流表， I测 ，该电路 R 实际测量的是虚线框内“等效电源”，故有 E 测 E r r V r V E r 测 r r r V r r V 图 三、半偏法测电表的内阻 1半偏法测电流表内阻 本实验的实验电路如图所示，其中电源电动势 E 大，R1 为阻值较大的变阻器 ( R 1 )，R2 为电阻箱。实验时，先断开 S2，闭合 S1，调节 R1 的值，使电流表满偏 （干 R g 路电流 I1=Ig）；然后固定 R
11、1 不变，闭合 S2，调节 R2 的值（由于 R 1 R ，可认为干路电流 g I1 基本保持 Ig 不变），当电流表半偏时（认为通过 R2 的电 流 I g I I g g I I I ），此时 R2 的读数 设为 2 1 g 2 2 2 R ，则由 测 I g I 和并联电路分流规律， 有 2 2 R 测 R g 图 （1）误差来源分析 此方法的关键是电流表满偏时，R1 要足够大，即满足( R 1 R )，这样干路电流 I1 才 g 可认为基本不变。但实际情况是，S2 闭合时，外电路总电阻变小，干路电流 I1 变大，则通过 R2 的电流 I g I g I I ，则由并联电路分流规律 可知
12、 2 1 2 2 R 测 R g （2）“等效法”分析 可将如图所示电路变形为如图所示，并把电流表当作是电压表；在该电路中 R1 是 不变的，S2 断开，“电压表”满偏，“电压表”读数为 Ug，S2 闭合，调节 R2 的值，使“电压 5 U g 表”半偏，“电压表”读数为 2 。此电路与如图所示电路类似，则可认为本实验实际上 是在测量虚线框内“等效电源”的电动势 E和内阻 r。 由等效电压源定理，可知 E U r g R (R r) g 1 R /(R r) g 1 R R r g 1 则在“电压表”半偏时，由闭合电路的欧姆定律， 有 U g 2 R 测 R 测 r E 图 代入 E和 r的值
13、，可得 R ( r R 1 ) g R R r 测 g R R r g 1 即本实验的测量值实际上是如图所示虚线框内“等效电源”的内阻。 将上式变形，可得 R g R 测 ，可看出在 R 1 R g 时，实验系统误差很 小，由 R g 1 R r 1 E I g R R 1 g r 可知，R1 较大时，要使电流表满偏，电源电动势 E 必须较大。 2半偏法测电压表内阻 本实验的实验电路如图所示，其中 R 是总电阻较小的滑动变阻器（ R R ） ， R 是 V 总阻较大的电阻箱（ R ），电源电动势 E 大于电压表量程 UV。实验时，先闭合 S2， m R V 闭合 S1，调 节 R 的滑片，使电
14、压表满偏（此时电压表支路分压为 U=UV）；然后保持 R 滑片位 置不变，断开 S2，调节 R的值（由于 R R ，可以 认 V 为此时电压表支路分压保持 U=UV 基本不变），使电压表 半 偏 （ 此 时 认 为 R 分 得 的 电 压 为 U V U U U U U V V ），设此时 R的读数为 V 2 2 2 R ，则由串联电路分压规律可知 测 R 测 R V 图 （1）误差来源分析 此方法的关键是 R R ，这样才能使电压表支路分压 U 基本不变；但实际情况是， V 6 S2 断开后，电压表支路总电阻变大，电压表支路分压 U 变大，则有 R分得的电压 U U U U V V ，则由串
15、联电路分压规律可知 2 2 R 测 R V （2）“等效法”分析 如图所示，实验中调节好后 R 的两部分 R1、R2 保持不变，若将虚线框内部分看做一 个“等效电源”（ 电动势 E和内阻 r），把电压表看做是电流表，则 S2 闭合时，“电流表” 满偏，则由闭合电路欧姆定律，有 E I g R V r 断开 S2，调节 R的值，使“电流表”半偏，此时由 闭合电路欧姆定律，有 I g 2 R V E rR 测 上述两式联立，可得 R V r R R 测 V 图 即这种方法测量的是电压表和虚线框内“等效电源”的内阻之和。要使实验误差小，就 是要求“等效电源”的内阻 r R ，而由等效电压源定理，可知 V r 1 /(R r) R 2 可见此方法的关键是 R1、R2、r 均要小，即 R、r 均要小。 上述分析中，也可以把电压表包括在“等效电源”内，则其电路就类似于图所示情 形。 3小结与拓展 有上述分析可知，用“等效法”分析“半偏法测电表内阻”实验中的系统误差，要灵活 处理电表，同时变换电路，把包括电表在内的“不变部分”作为“等效电源”，把用于测量 的“变化部分”电阻箱当作“等效电源”的外电路用电器，再根据闭合电路欧姆定律和 等效电压源定理来进行分析。 7
