1、第六章 投入产出模型的建立目目 录录C O N T E N T S1总产值价值形成问题及解决方案总产值价值形成问题及解决方案Problems and Solutions in the Formation of Total Output Value2使用使用EXCEL讨论投入产出问题讨论投入产出问题Using Excel to Discuss Input-output Problems3进一步学习的数学知识：线性代数初步进一步学习的数学知识：线性代数初步Further mathematics knowledge：Linear Algebra总产值价值形成问总产值价值形成问题及解决方案题及解决方案
2、Problems and Solutions in the Formation of Total Output Value1一、问题引入试建立线性方程组来确定当工业、农业和服务业面临的最终需求分别为试建立线性方程组来确定当工业、农业和服务业面临的最终需求分别为33、8和和16万亿元时，各部门的总产出应该是多少？万亿元时，各部门的总产出应该是多少？表表6-1 6-1 投入产出表投入产出表(万亿元万亿元)1.总产值价值形成问题总产值价值形成问题一、问题引入 任何产品生产的技术过程都是一个投入产出过程，引例要求我们回答的就任何产品生产的技术过程都是一个投入产出过程，引例要求我们回答的就是分析系统各部
3、门之间相互输入是分析系统各部门之间相互输入(投入投入)和输出和输出(产出产出)的产品的数量关系。的产品的数量关系。当我们考虑一个工业体系时，会发现每种工业都需要使用其它工业的当我们考虑一个工业体系时，会发现每种工业都需要使用其它工业的“产产出出”作为自己的原材料，反过来，它所作为自己的原材料，反过来，它所“产出产出”的产品又必然是某些别的工的产品又必然是某些别的工业的业的“投入投入”，从而构成了相互依赖的关系。，从而构成了相互依赖的关系。那么，如何把各部门的投入来源和产出方向去向纵横交叉地编制成投入产那么，如何把各部门的投入来源和产出方向去向纵横交叉地编制成投入产出表？如何根据产出表的平衡关系
4、，建立投入产出模型？如何借助投入产出出表？如何根据产出表的平衡关系，建立投入产出模型？如何借助投入产出表和投入产出模型进行各种经济分析？表和投入产出模型进行各种经济分析？1.总产值价值形成问题总产值价值形成问题一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型总产值价值形成问题的数学模型平衡关系平衡关系 每一个部门的总投入等于该部门的总产出。每一个部门的总投入等于该部门的总产出。从纵向看，中间投入从纵向看，中间投入+最初投入最初投入=总投入。总投入。从横向看，中间使用从横向看，中间使用+最终需求最终需求=总产出。总产出。一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型总产值价值形成问题的数学模型直接消耗
5、系数：直接消耗系数：计算每个部门总产出计算每个部门总产出1 1元价值的产品时，相应各部门元价值的产品时，相应各部门向该部门的直接输出所占的比例。向该部门的直接输出所占的比例。表表6-2 6-2 直接消耗系数表直接消耗系数表你能解释其经济意义吗？你能解释其经济意义吗？一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型总产值价值形成问题的数学模型表表6-3 6-3 计划投入产出表计划投入产出表(万亿元万亿元)一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型总产值价值形成问题的数学模型根据投入产出表行的平衡关系，有以下消耗平衡方程组：根据投入产出表行的平衡关系，有以下消耗平衡方程组：1231123212330
6、.20.10.1330.10.30.280.10.10.416xxxxxxxxxxxx 一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型总产值价值形成问题的数学模型1231123212330.20.10.1330.10.30.280.10.10.416xxxxxxxxxxxx 1231231230.80.10.1330.10.70.280.10.10.616xxxxxxxxx 消耗平衡方程组消耗平衡方程组12350,30,40 xxx最终需求分别为最终需求分别为33、8和和16时，三个部门的总产出应该为时，三个部门的总产出应该为50、30和和40。本章重点：本章重点：解解线性方程组线性方程组(6.
7、2)二、矩阵的概念 线性方程组线性方程组(6.2)的系数、右端常数按照原来的位置摆放，构成一个的系数、右端常数按照原来的位置摆放，构成一个矩形数表：矩形数表：引例引例20.80.10.1330.10.70.280.10.10.616不难发现，数表不难发现，数表(6.3)决定了方程组决定了方程组(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么是否有解，以及如果有解，解是什么等问题等问题.因而研究这个数表就很有必要因而研究这个数表就很有必要.(6.3)二、矩阵的概念二、矩阵的概念几种特殊矩阵几种特殊矩阵行矩阵行矩阵12(,)mAa aa 列矩阵列矩阵12nbbBb N阶方阵阶方阵111212122212
8、nnnnnnaaaaaaAaaa 所有元素均为零的矩阵，记为所有元素均为零的矩阵，记为Omn零矩阵零矩阵二、矩阵的概念单位矩阵单位矩阵21001I 3100010001I 41000010000100001I 1000100001 nI 几种特殊矩阵几种特殊矩阵二、矩阵的概念定义：矩阵相等定义：矩阵相等 如果如果 都是都是 m n 矩阵矩阵,并且它们的对应元素并且它们的对应元素都相等都相等,则称矩阵则称矩阵A和矩阵和矩阵B相等相等,记作记作A=B.A()B()ijijab与与372A,B,33abcdabcd例例1 已知已知 且且A=B,求求a,b,c,d.解解7,32,3,3,abcdcda
9、b 5,2,2,1.abcd 由矩阵相等的概念由矩阵相等的概念,有有三、矩阵的运算1.矩阵的线性运算矩阵的线性运算 两个两个 m n 矩阵矩阵 对应的元素相加得到对应的元素相加得到 m n 矩阵矩阵,称称为矩阵为矩阵A与矩阵与矩阵B的和的和,记作记作A+B.定义定义A()B()ijijab 与与111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab注：注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算三、矩阵的运算1.矩阵的线性运算矩阵的线性运算定义定义 以数以数 k 乘以矩阵乘以矩阵
10、的每一个元素所得的矩阵，称为的每一个元素所得的矩阵，称为数数k 与矩阵与矩阵A的乘积，记作的乘积，记作kA.A()ijmna 111212122212.A.nnmmmnkakakakakakakkakaka 三、矩阵的运算246628(1)2A3B2384104126 4224621133(2)X(BA).334161641616333 A,2468410 B.6284126(1)2A3B.求求(2)A3X=B,X.若若 求求 例例2 2 已知已知141412.44438 解解三、矩阵的运算12 40012 30012 450=12 35012 27012 550480036005400420
11、032406600解解 2个产地与3个销地每吨的运费用矩阵表示为 三、矩阵的运算三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法(),(),ikmskjs nAaBb 设设矩矩阵阵则则由由元元素素1 1221.sijijijissjikkjkca ba ba ba b .(1,2,3,;1,2,3,)imjn (),.ijm nmnCcAB 构构成成的的 行行 列列矩矩阵阵称称为为矩矩阵阵与与乘乘积积的的.CAB 定义定义矩阵矩阵A的第的第i行元行元素与矩阵素与矩阵B的第的第j列对应元素乘积列对应元素乘积之和作为一个新之和作为一个新矩阵的第矩阵的第i行第行第j列的元素列的元素注意：注意：只有
12、当左边矩阵只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵的列数等于右边矩阵B的行数时，矩阵的行数时，矩阵A与与B才能作乘法运算才能作乘法运算.矩阵矩阵C的行数等于矩阵的行数等于矩阵A的行数的行数m，列数等于矩阵，列数等于矩阵B的列数的列数n.三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法321A,235 13B54.36 例例4 已知已知求求AB与与BA 13321AB5423536 解解312(5)(1)33324(1)61011.21(3)(5)5323(3)4563224 三、矩阵的运算矩阵的乘积不满足交换律矩阵的乘积不满足交换律971472225201227 ABBA1332123(3)1(1
13、)355342524(3)(5)(1)453362326(3)3(1)65 13321BA5 423536 321A,235 13B54.36 例例4 已知已知求求AB与与BA 三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法矩阵的乘法满足以下规律：()().AB CA BC().A BCABAC().BC ABACA()()()k ABkA BA kB（其中k为常数）注意注意 两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别.11110,0.1111AB 1111000.111100AB （1）结合律（2）分配律（3）数乘结合律三、矩阵的运算3.矩阵的转置矩阵的转置定义定义 矩阵矩阵A的行列互换得到的
14、矩阵称为的行列互换得到的矩阵称为A的转置矩阵。的转置矩阵。记作记作 TA1231234(),()XxxxYyyyy TX Y 1111213142123421222324313233343Txx yx yx yx yX Yxyyyyx yx yx yx yx yx yx yx yx 例例5 已知矩阵 ，求解解三、矩阵的运算3.矩阵的转置矩阵的转置,141232345631AB(1)(),(2)TTTABB A14123652345612531AB 612()55TAB 例例6 已知,求解解(1)首先计算于是，14123612254315536TTB A (2)(AB)T=BTAT三、矩阵的运算
15、3.矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置满足以下运算规律：三、矩阵的运算4.逆矩阵逆矩阵 设设A是一个是一个n阶方阵阶方阵,E是一个是一个n阶单位矩阵阶单位矩阵.如果存在一个如果存在一个n阶方阵阶方阵B,使使 AB=BA=E,则称则称B为为A的的逆矩阵逆矩阵,简称为简称为A的的逆阵逆阵,或或A的的逆逆这时称这时称A为为可逆可逆矩阵矩阵,简称简称可逆阵可逆阵.定义定义10A11 101010ABE111101 例如例如 101010BAE.111101 10B11 三、矩阵的运算4.逆矩阵逆矩阵性质性质1 如果方阵如果方阵A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是惟一的的逆矩阵是惟一的因此，矩阵因此，矩阵A的逆矩
16、阵常记作的逆矩阵常记作1A 例如：例如：1201A 11201A 性质性质2 可逆矩阵可逆矩阵A的逆矩阵满足的逆矩阵满足11(A)A.注意：注意：A的逆矩阵可通过的逆矩阵可通过EXCEL中的函数中的函数MINVERSE求得。求得。四、投入产出方程组的矩阵表示1.线性方程组的有关概念线性方程组的有关概念11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 111212122212nnmmnnaaaaaaAaaa 12nxxXx 12nbbbb A Xb 系数矩阵系数矩阵右端常数右端常数 四、投入产出方程组的矩阵表示1.线性方程组
17、的有关概念线性方程组的有关概念11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 111212122212nnmmnnaaaaaaAaaa 12nxxXx 12nbbbb A Xb 系数矩阵系数矩阵右端常数右端常数 11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab A b增广矩阵增广矩阵 四、投入产出方程组的矩阵表示2.投入产出方程组的矩阵表示投入产出方程组的矩阵表示直接消耗系数表和最终需求可表示如下直接消耗系数表和最终需求可表示如下3 30.20.10.1()0.10.30.20.10.10.4ijAa
18、 33816Y 表示每生产单位价值第表示每生产单位价值第 j 种产品所需直接消耗的第种产品所需直接消耗的第 i 种产品的价值。种产品的价值。ija1231123212330.20.10.1330.10.30.280.10.10.416xxxxxxxxxxxx 投入产出方程组可以表示为投入产出方程组可以表示为()AXBXIA XB 1()XIAY 对应的解为对应的解为1()IA 称为称为里昂惕夫逆矩阵里昂惕夫逆矩阵。四、投入产出方程组的矩阵表示2.投入产出方程组的矩阵表示投入产出方程组的矩阵表示求解一个投入产出方程组,通常有两种方法,即(1)逆矩阵法逆矩阵法:先求出里昂惕夫逆矩阵(IA)-1,再
19、利用式(6.7)求出X.(2)消元法消元法:通过对方程组施以同解变换,逐步消元,从而求出X.第二节我们将讨论如何借助Excel软件实现逆矩阵法解线性方程组,其数学原理将在第三节讨论.下面先介绍求解线性方程组的消元法.五、消元法解线性方程组1.消元法解线性方程组消元法解线性方程组1231231230.80.10.1330.10.70.280.10.10.616xxxxxxxxx .0 80 10 1330 10 70 280 10 10 616 123123123833072806160 xxxxxxxxx 81133017280116160 每一个方程两端同乘以10，将方程未知量的系数化为整数
20、，得增广矩阵五、消元法解线性方程组123123123616072808330 xxxxxxxxx 116160172808113301232323616088809471610 xxxxxxx 1161600888009471610交换第一个方程和第三个方程的位置，得123123123833072806160 xxxxxxxxx 81133017280116160第一个方程的1倍加到第二个方程，第一个方程的8倍加到第三个方程五、消元法解线性方程组12323236160109471610 xxxxxxx 1161600111009471610 第二个方程的两端同除以8，得123232361608
21、8809471610 xxxxxxx 1161600888009471610123233616010381520 xxxxxx 1161600111000381520第二个方程的9倍加到第三个方程五、消元法解线性方程组123233616010381520 xxxxxx 116160011100038152012350,30,40 xxx线性方程组的同解变换线性方程组的同解变换：(1)交换某两个方程的位置；(2)用一个非零数乘某一个方程的两边；(3)将一个方程的倍数加到另一个方程.通常把过程-称为消元过程消元过程，矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，与之对应的方程组则称为行阶梯形方程组行阶梯形方程
22、组.五、消元法解线性方程组123233616010381520 xxxxxx 1161600111000381520继续上述方程组，第三个方程两边同除以38，得12323361601040 xxxxxx 1161600111000140第三个方程的1倍加到第二方程，第三个方程的6倍加到第一个方程1223803040 xxxx 110800103000140五、消元法解线性方程组1223803040 xxxx 110800103000140第二个方程的1倍加到第一个方程123503040 xxx 100500103000140第一个方程的两边同乘以(1)123503040 xxx 1005001
23、03000140至此，我们可以通过增广矩阵直接“读”出该线性方程组的解.五、消元法解线性方程组定义下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列）；(2)用非零数k乘以矩阵的某行（列）；(3)把矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换2.矩阵的初等变换矩阵的初等变换五、消元法解线性方程组2.矩阵的初等变换矩阵的初等变换例如：例如：133296147313417134171473329614731473rrA 矩阵矩阵B依其形状的特征称为依其形状的特征称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，具体定义如下：具体定义如下：五、消元法解线性方
24、程组2.矩阵的初等变换矩阵的初等变换一般地，称满足下列条件的矩阵为一般地，称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：若有零行若有零行(元素全为零的行元素全为零的行),则零行在矩阵的最下方；则零行在矩阵的最下方；非零行的第一个非零元素左边的零的个数随行标递增非零行的第一个非零元素左边的零的个数随行标递增.矩阵矩阵B依其形状的特征称依其形状的特征称为为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。五、消元法解线性方程组一般地，称满足下列条件的阶梯形矩阵为一般地，称满足下列条件的阶梯形矩阵为简化行阶梯形矩阵：简化行阶梯形矩阵：各非零行的首非零元都是各非零行的首非零元都是1；非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是
25、零。非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是零。对上述矩阵对上述矩阵B再作初等行变换再作初等行变换1473147010500131401300130000100010001000000000000BC矩阵矩阵C依其形状的特征称为依其形状的特征称为简化行阶梯形矩阵。简化行阶梯形矩阵。五、消元法解线性方程组例例7 求解线性方程组求解线性方程组1232312341,1,320.xxxxxxxx 解解 记记141101111320A 矩阵矩阵 称为线性方程组的增广矩阵称为线性方程组的增广矩阵A13231(1)1411141114110111101110111132001110000rrrArr 五、消
26、元法解线性方程组例例7 求解线性方程组求解线性方程组1232312341,1,320.xxxxxxxx 212(1)1411105301114011100000000rrr 由简化行阶梯形矩由简化行阶梯形矩阵可以得到原方程阵可以得到原方程组的等价方程组为组的等价方程组为132353,1,00,xxxx 132353,1,xxxx 方程组有无穷多解，上式是所给方程组的一般解。方程组有无穷多解，上式是所给方程组的一般解。使用使用EXCEL讨论投入产出问题讨论投入产出问题Using Excel to Discuss Input-output Problems2一、利用Excel求直接消耗系数矩阵典型
27、问题典型问题1 利用利用Excel求解第一节表求解第一节表6-1的直接消耗系数矩阵的直接消耗系数矩阵第一步：第一步：在在H4栏输入栏输入“=C4/C$8”，得出直接消耗系数，得出直接消耗系数 ，即单位价值工业部门产品直接消耗，即单位价值工业部门产品直接消耗0.2单位的工业部门自单位的工业部门自身产品。身产品。11a第二步：第二步：利用拖曳的方法将利用拖曳的方法将H5栏公式复制到栏公式复制到H4至至J6的范的范围，如图围，如图6-1所示。所示。图图6-1 直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵A二、利用Excel解线性方程组典型问题典型问题2 利用利用Excel求解投入产出方程组求解投入产出方程组6.
28、2第一步：第一步：在工作表的在工作表的E2至至G4区域建立一个单位矩阵区域建立一个单位矩阵I，在，在I2至至I4区域依次输入区域依次输入33，8，16。第二步：第二步：计算计算 I A。在。在A6栏输入栏输入“=E2-B2”,利用拖曳的方法利用拖曳的方法将将A6栏公式复制栏公式复制A6至至C8的区域，如图的区域，如图6-2所示。所示。图图6-2 方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵二、利用Excel解线性方程组第三步：第三步：计算计算 。选中。选中E6至至G8区域，输入公式区域，输入公式“=MINVERSE(A6:C8)”,按下按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】组合键，如图组合键，如
29、图6-3所示。所示。1()IA 图图8-3 昂惕夫逆矩阵昂惕夫逆矩阵二、利用Excel解线性方程组第四步：第四步：利用公式 求方程组(2)的解。选中I6至I8区域，输入公式“=MMULT(E6:G8,I2:I4)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】组合键，得方程组的解。1()XIAY 图图6-4 线性方程组线性方程组(2)的解的解三、煤电系统的投入产出模型现阶段各企业的总产出为多少？现阶段各企业的总产出为多少？外部需求分别增加外部需求分别增加15万元、万元、5万元和万元和7万元，各企业又该如何安排生产？万元，各企业又该如何安排生产？表表6-4，投入产出表，投入产出表(万元万元)
30、三、煤电系统的投入产出模型解决方案解决方案x1,x2,x3分别表示分别表示3个企业现阶段的总产出个企业现阶段的总产出00.450.400.150.050.150.300.050.05A 602518Y 123xXxx 231123212330.450.40600.150.050.15250.300.050.0518xxxxxxxxxxx AXYX ()IA XY或或三、煤电系统的投入产出模型利用利用EXCEL求解上述方程组，得求解上述方程组，得即即3个企业现阶段的总产出分别为个企业现阶段的总产出分别为105.16万元、万元、51.58万元和万元和54.87万元万元三、煤电系统的投入产出模型外部
31、需求分别增加外部需求分别增加15万元、万元、5万元和万元和7万元，记万元，记则相应地有则相应地有123xXxx 1557YAXYX 或或()IAXY 三、煤电系统的投入产出模型利用利用EXCEL求解上述方程组，得求解上述方程组，得3个企业的总产出应分别增加个企业的总产出应分别增加27.09万元、万元、12.16万元和万元和16.57万元万元四、企业产销预测模型2021年计划三种产品的库存不变，销量分别比年计划三种产品的库存不变，销量分别比2009年增加年增加30%、20%、40%。预测该企业的总产品、中间产品、外购产品的投入产出情况。预测该企业的总产品、中间产品、外购产品的投入产出情况。表表6
32、-5 2019年投入产出表年投入产出表(万元万元)四、企业产销预测模型解决方案解决方案2021年三种产品的最终产出年三种产品的最终产出1232441055(130%)1615.53992011(120%)2812.2371706(140%)1359.4yyy 2313230.18180.02691615.5 0.27022812.2 1359.4xxxxxx 00.18180.0269000.2702000A 直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵x1,x2,x3分别表示三种产品的总产值分别表示三种产品的总产值1232230.13179.51359.4xxx 四、企业产销预测模型下面讨论该企业下面讨
33、论该企业2021年中间产品和外购产品的投入产出情况。年中间产品和外购产品的投入产出情况。以产品以产品2为例，为例，2021年的中间产品使用年的中间产品使用产品产品2总投入为总投入为3179.5万元万元单位价值产品单位价值产品2所消耗所消耗的产品的产品1为为0.1818元元产品产品2所消耗的产品所消耗的产品1价值为价值为3179.5 0.1818=578万元。万元。2021年外购产品的投入产出年外购产品的投入产出外购产品占总投入的比外购产品占总投入的比例系数分别为例系数分别为0.5003、0.2814和和0.2804产品生产过程中的外购产品产品生产过程中的外购产品价值分别为价值分别为1115.7
34、万元、万元、894.6万元和万元和381.2万元万元四、企业产销预测模型2021年中间产品和外购产品的投入产出情况年中间产品和外购产品的投入产出情况(汇总汇总)结论：结论：总产品、中间产品、外购产品以及其它投入会随着三种产总产品、中间产品、外购产品以及其它投入会随着三种产品的销量增长而增长。品的销量增长而增长。进一步学习的数学知识进一步学习的数学知识线性代数初步线性代数初步Further mathematics knowledge：Linear Algebra3一、二阶、三阶行列式的概念与性质22221211212111bxaxabxaxa211112221122211122221121122
35、211)()(ababxaaaaababxaaaa021122211aaaa211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx在初等代数中，用加减消元法求解二元一次方程组可得若，则方程组的解为 为了研究和记忆的方便1112112212212122aaa aa aaa一、二阶、三阶行列式的概念与性质1112112212212122.aaa aa aaa易知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得到的代数和.次对角线主对角线一、二阶、三阶行列式的概念与性质一、二阶、三阶行列式的概念与性质解解 按第一行展开，得580329201一、二阶、三阶行列式的概
36、念与性质类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa记111213212223313233aaaDaaaaaa 1121312222333233baaDbaabaa 1111322122331333abaDabaaba 1112132122231323aabDaabaab 若系数行列式D0，则该方程组有唯一解：312123,DDDxxxDDD一、二阶、三阶行列式的概念与性质例例9 解三元线性方程组5243232321321321xxxxxxxxx解 系数行列式41121211222411124
37、1112121D1171)3(2)2(1同理，可得12333,11,22DDD 故所求方程组的解为1233,1,2xxx 二、矩阵的秩定义定义 经过有限次初等行变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵,其非零行的行数称为矩阵A的秩秩,记作秩(A)或r(A).注意：矩阵的秩是矩阵的本质属性.可以证明,初等变换不改变矩阵的秩.例例10 求矩阵1001120131041451A的秩.解解()()()2123134411132110011001020201010101045004500101rrrrrrrrrA ()423241001010100540000rrrrB 矩阵B已经是行阶梯形矩阵,且非零行的行数为3
38、,故r(A)=3.三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵1.可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质基本思路：由 ，根据矩阵相等列方程组求解.1A AI 三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵2.求求可逆矩阵的可逆矩阵的逆矩阵逆矩阵在矩阵可逆的前提下,求它的逆矩阵主要有：定义法和初等行变换法(1)定义法定义法(2)初等行变换法初等行变换法基本思路：构造 n2n 矩阵,然后对其施以初等行变换,将矩阵A化为单位矩阵I,则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵 I 化为A-1.1()()A II A 初初等等行行变变换换三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵(1)定义法定义法1AA43211021xxxx43423122xxxxxx1001=
39、所以，10211A100212434231xxxxxx10214321xxxx由矩阵相等的概念有 三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵(2)初等行变换法初等行变换法 适用于较高阶的矩阵1()()A II A 初初等等行行变变换换123221343A 1A 例例12 设,求解解2131(2)(3)123100123100()221010025210343001026301rrrrA I 三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵1232(1)123100102110025210025210026301001111rrrr 2133131(2)2(5)1001321001320203650103/235/2001111
40、001111rrrrrr 所以11323/235/2111A 三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵3.线性方程组的逆矩阵解法线性方程组的逆矩阵解法AXb1XA b例例13 求解方程组1231231232312223431xxxxxxxxx 解解系数矩阵 ，123221343A 由例12知11323/235/2111A 所以方程组的解为1132193/235/221011114XA b 四、线性方程组解的判定线性方程组什么情况下有解？有唯一解？有无穷多解？11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 四、线性方程组解的判定解解
41、(1)2131(2)(3)1113111321150111322100111rrrrA 32(1)111301110002rrB ()2,()3,()()r Ar Ar Ar A因为 ，方程组无解.四、线性方程组解的判定2131(1)(2)121212121134012223350111rrrrA 解解 (2)32(1)121201220011rrB 因为 ，()()3r Ar A方程组有唯一解 .1231,0,1xxx 四、线性方程组解的判定解解 2131(2)(4)12101210231401144312005520rrrrA 32(5)121001140000rrB 因为 ，()()3r Ar A方程组有无穷多解.行阶梯形矩阵B所代表的线性方程组为 12323204xxxxx 132384xxxx 若令x3=c(c为任意常数)方程组的解为1284xcxc 四、线性方程组解的判定1312312321322xxxxxxxaxb 例例16 讨论当a,b为何值时,线性方程组有唯一解?无穷多解?无解?解解 21311(2)1021102111320111210142rrrrAabab 321102101110053rrab 本章结束
