1、高等代数5二次型第五章 二次型n 学时：10学时。n 教学手段：p 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。n 基本内容和教学目的：p 基本内容：二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。p 教学目的：p 1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。p 2、会化二次型为标准型，规范性。p 3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。n 本章的重点和难点：p 重点：化二次型为标准型，规范性。p 难点：正定二次型。12/2/20221高等代数5二次型5.1二次型的矩阵表示12/2/20222高等代数5二次型一 问题提出 平面解析 一次曲线：Ax+By+C=0 (直线)；二次曲线：Ax2
2、+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F 经平移变换化成为 au2+buv+cv2=d 经旋转变换化成为a/x/2+b/y/2=d/(二次齐次多项式)可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；空间解析 一次曲面：Ax+By+Cz+D=0(平面)；二次曲面：（平移后不含一次项）Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世纪上半期表示方法)通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/据二次项系数符号确定二次曲面的分类12/2/20223高等代数5二次型 更一般的问题：数域P上含n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式如何化成平方和
3、形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 本章中心问题:n元二次型化标准型（平方和）的问题.二、二次型的概念及性质1.定义1 数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式）f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn +a22x22 +2a23x2x3+2a2nx2xn +a33 x32+2a3n x3xn +ann xn2 称为P上n元二次型，简称二次型；当P=R时，为实二次型、当P=C时，为复二次型.12/2/20224高等代数5二次型*1 f(x1,x2,xn)是 PnP 的n元函数；*2 f(x1,x2,xn)=a11x1x1+a12x1
4、x2+a1nx1xn +a21x2x1+a22x2x2+a2nx2xn +an1xnx1+an2xnx2+annxnxn=111211212222/121112121221,X AX(,)(,A(),(,1,2,),XAAr Annnnijijnijnnnnnijinnijjxxaaaxaaaxa x xxxaaai jnxxaaaxf xxxf xx其中的矩阵且 称 为，的秩()称为)nx 的秩.f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2 +2a1nx1xn +a22x22 +2a2nx2xn +annxnn.12/2/20225高等代数5二次型*3 性质：1)在二次型 f(x1
5、,x2,xn)=X/AX中，矩阵A为对称矩阵；2）把一阶矩阵A=(a)看成数a,则一元二次型 f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX；3)数域P上，f(x1,x2,xn)与n阶对称矩阵一一对应.证明分析：由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给出对应法则：f(x1,x2,xn)A.设f(x1,x2,xn)在下对应的对称矩阵为A，B，即 f(x1,x2,xn)=X/AX=X/BX，故知 A=B，即是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射.设A是数域P上任一n阶对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域P上的n元二次型，即是满射，而为单射则是显然的，故是双射.12
6、/2/20226高等代数5二次型2 线性替换 平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般方程为ax2+2bxy+cy2=f(例：13x2 10 xy+13y2=72),将坐标轴逆时针旋转0(例：450),即有坐标旋转公式/22cos45sin45()sincossinsin45cos454x9y36cosxxyxxyyxyxyy /将标 称转（=为+）线换代入原方程，其化成准方程如上旋式性替公.y y/x/x12/2/20227高等代数5二次型定义2 将变量 x1,x2,xn 用 y1,y2,yn 线性表示的变换称为由x1,x2,xn 到 y1,y2,yn 的线性替换（简称变量的线性
7、替换）.111112212211222211221(,1,2,1,2,4)()nnnnnniijjjijnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc yxc yincPi jn*1 线性替换的矩阵表示：X=CY，C称为线性替换(4)的矩阵；当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称(4)为退化（非可逆）线性替换，其中 1112111212222212C,X,Y.nnnnnnnncccxycccxycccxy1111211221222212XCYnnnnnnnnxcccyxcccyxcccy12/2/20228高等代数5二次型*2 性质：4)若C可逆，则X
8、=CY是可逆线性替换，且Y=C1X也是可逆的线性替换；5)f(x1,x2,xn)=X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X=CY 化成 f(x1,x2,xn)=Y/BY，则 B=C/AC.证明：f(x1,x2,xn)=X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY.由于 B/=(C/AC)/=C/A/C/=C/AC=B Y/BY 是 P 上 n 元二次型，且 B=C/AC 成立.6)二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论）证明：如5),在线性替换X=CY下f(x1,x2,xn)=X/AX=Y/BY B=C/AC,C可逆 A，B的秩相同，即二次型X/AX 与
9、 Y/BY的秩相同 题设结论成立.n 性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 12/2/20229高等代数5二次型三 矩阵的合同关系定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可逆矩阵 C，使得 B=C/AC.*1 合同的性质：7)矩阵合同是Mn(P)=AA为P上n阶矩阵 上的等价关系,即 (1)合同具有自反性（A=E/AE，即A与A合同）；(2)合同具有对称性（B=C/AC A=(C1)/BC1）；(3)合同具有传递性（A1=C1/AC1，A2=C2/A1C2 A2=C2/(C1/AC1)C2=(C1C2)/A(C1C2)）.8)线性替换X=CY下 f(
10、x1,x2,xn)=X/AX=Y/BY,因B=C/AC,故：X=CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同;为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；12/2/202210高等代数5二次型 9)合同的矩阵具有相同的秩；10)与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.证明：9)设A,B合同，即B=C/AC,且C可逆，故A,B同秩.10)设A/=A，B=C/AC，C可逆 B/=(C/AC)/=C/AC=B.*2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即C为可逆矩阵）？事实上，当X=C/Y 是非退还的线性替换时，可得 Y=C 1X成立，故原二次型 X/AX 与变换后
11、的二次型 Y/BY 是可以互化的，这样就使我们从变换所得二次型 Y/BY 的性质可以推知原来二次型X/AX的性质.12/2/202211高等代数5二次型5.2标准型n 中心问题中心问题：p讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，即平方和的形式：即平方和的形式：nd1x12+d2x22+dnxn212/2/202212高等代数5二次型证明证明：（配方法）对 n 进行数学归纳.n=1：f(x1)=a11x12,已是(1)的形式，命题成立.假定 n1 时命题成立，现证 n 时命题成立.分以下情形讨论：1)aii(i=1,2,n)中至少有一个非0，如a110
12、 定理定理1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替换变成平方和的形式 d1x12+d2x22+dnxn2 (1)f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn +a22x22 +2a23x2x3+2a2nx2xn +annxn221211 111222212211111112211112212211122122(,)22()()()nnnnjjijijjijnnnnnnnnijijijf xxxa xa x xa x xaxx aa xa xaa xa xaa xa xa x x a11x12 +2a12x1x2 +2a13x1x3 +2a1
13、nx1xn =a11x12 +2a111(a12x2 +a13x3 +a1nxn)*A2+2AB+B2=(A+B)212/2/202213高等代数5二次型122211111111122221212111111111222212111111222111111222()()()()()nnnnjjjjijijjjijnnnnjjjjijijjjijnnnjjijijjijnjjjnaxaa xaa xa x xaxaa xaa xa x xaxaa xb x xyxaa xyxy 令1111112122111112111111010001njjjnnnnxyaayXC YxyxxyaaaaCXC
14、Y，其中可逆，故 2 22,1nnnijijijxxnb x x为的元二次型,故表示为12/2/202214高等代数5二次型2121112222222222222112222222(,)nnnijijijnnnnijijijnnnnnnnnnnnnnnf xxxa yb y yzc yc yb y yzc yc yd zd zzyzc yc yzc yc y 归纳假定存在非退化的线性替换使得以上成平方和 存在非退化的线性替换222221211 122(,),(,).nnnZC Y Cf xxxa zd zd z可逆使得 故命题成立2222210000nnnnccCcc2222210000nnn
15、nccCcc12/2/202215高等代数5二次型 2)所有aii=0(i=1,2,n),但至少有一个a1j0(j=2,n)不失普遍性，不妨设a120 令11221233333311 001 1 00(,C)0 0 100 0 01 nnxzzxzzxzXC ZxzCXCY可逆，故 是非退化线性替换，且12/2/202216高等代数5二次型221212121211232322(1)112121211223123212343433(1)1112213 1 32(,)222222()()2()2()2()22222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxa x xa x xa x xa x
16、 xaxxazzzzazzzazzzazzza z za z zaza zazzza z1323111223 1 3232321223434(1111)2122222222,2)2.120nnnnnnnnnnnnnzznza z za z za z za z za z za z za z za z zazza上式右端是的元二次型，且 的系数化归为 的情形故命题成立12/2/202217高等代数5二次型111212131112223)00(,)1nnnnnijijijaaaaaaf x xxa xxn 对称性是元二次型，据归纳假定，可化成平方和形式故命题成立.,2211 1nn/1C/n2*11
17、 21(,)X AXdAM(P),AAC AC=D=dX CY Cnf xxfd zd zZ DZ 可逆可逆矩阵定理，的内在联系：定理定理2 数域 P上任一对称矩阵合同于对角矩阵,/1112211221/()()(,)(,).)XCYnXCZCnnnAAX AXfxxdX AXCZA CZzd zd zzzdzZ DZDCZC AC ZZ DCZAAD 可逆：，即证合同于对角矩阵明12/2/202218高等代数5二次型 P上n元二次型全体 Mn(P)Af(x1,xn)X=CY B=C/AC Bn 定理2的意义：化n元二次型X/AX成标准型问题 寻找一个可逆矩阵C，使得A与对角矩阵D在C下合同（
18、D=C/AC），而定理2说明这样的C一定存在 如何找到这个C即为进一步要解决的问题：C=?时，时，B=D？12/2/202219高等代数5二次型11/12/1212/2112/1/121211()(1 2,()()1(,)A)DijijCsisssPPijijsCDC ACDC ACDCPPPPisC ACPPPA PPPPP PPP P AP PPAPPPP APPP i jP APP AP 可逆：如何确定可逆矩阵，使为对角矩阵？设，为对角矩阵其中 为初等矩阵，）的意义：)对 作交分析/()()/11(,()(,()/112)()()()3)(,()(,()(,()iiDkD kiiiT i
19、 j kT j i kPD kP APD k AD kAikikPT i j kP APT i j kAT j i kAikjAikjAA 小结换列的变换的同时交换两行；对第 列倍同时对第 行倍；把 的第 列 倍加到第 列上同时把 的第 行 倍加到第 行上对 进行一次初等行变换，立即对 进行同样类.AD型的初等列变换，即可将 化成对角矩阵12/2/202220高等代数5二次型1 21 2/s211 21 21231 22 31 31,.(,)262.ssAsEsCPPPEPPPAEADPP P APPPECEPPPDCf x xxx xx xx xx对 作成对行、列变换对 作同上的列变换对进行
20、一系列成对的行、列变换同时，对单位矩阵施行同样的列变换 即求得的同时也求得了 化成标准型解法一：（配方法）作线性替换例例 1 11211113122233311011 0()001yyxyxyyxyxyxXCyY12/2/202221高等代数5二次型22211312312231312122212312312132322233223222311311322221333333(,)2622()()6()2()22482()2()822228yy yyf xxxx xx xx xyyyyyyyyyyyyy yy yyyyy yyy yzyyyzzyyzyyzzyyz再取线性替换为1122332222
21、123131222222223333222233213101010001(,(),)222222(2)(2)222(2)628yzyzyzf xxxzzzzzzzzzzzzzYC Zzz z12/2/202222高等代数5二次型1111112232232233333322212323112123123123100 22012001()(,)2w2w6w,()()(),wzzwzwwzzzwwzwwzzwzwf xxxXCYC C ZCC CWCC CZCWWCWCCC令其非退化的线性替换为 其中311010110011311 0010012111001001001001C；解法二：（初等变换）
22、12/2/202223高等代数5二次型2121/1231 22 31 31123233(,)262011A=(,)103E1300111122121031031130130100100010010001001rrccf x xxx xx xx xX AXxx xxxx 上上1303230100110001r r 上12/2/202224高等代数5二次型11221131222102122101103102022022022022100101101110111111001001001200102202211121112001rrcccc 上上上232234242002001102002200600
23、61111132211111122001001rrrcc 上上12/2/202225高等代数5二次型22/1231232002000100200062001130061020,1111311320060011111112001000(,)200,020006cDCXCZf x xxX AXZ DZzzz在非退化线性替换下，1122221232123332,2,6226.P237 1.2)4)6)23zzzzzzzzzzzz 作业：习题；习题；习题.12/2/202226高等代数5二次型5.3 唯一性12/2/202227高等代数5二次型问题提出问题提出：二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2
24、+2x1x36x2x3经过不同的线性替换，其结果不同 X=C1W 下，f=2w122w22+6w32；X=C2Y 下，f=2y1221y22+231y32.其中111122331111111122221133113113111,111001001123123123,123003003xwCXCWxwxwxyCXCYxyxy 1/123211111130 11(,)103()()()13 01 1 0 0 111 131 12 1 132011 0 103 1111 1411131 1 13 00 010 060 01xfx x xxX AXCW ACWW CAC WD CACx 11/2221
25、232123212333002 0006200(w,w,w)02 0(2,2,6)226006wwfWDWwwwwwwwwww12/2/202228高等代数5二次型 P上n元二次型全体 Mn(P)Af(x1,xn)X=CY B=C/AC B 回顾上一节内容，有以下事实成立：同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同.C=?时，时，B=D？X=C1W B112/2/202229高等代数5二次型 n元二次型全体 Mn(P)A f(x1,xn)X=C1W D1 D2 X=C2Y 问题问题：同一二次型 f 在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换
26、下的对角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一.问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？12/2/202230高等代数5二次型一一 二次型的秩二次型的秩*1 A，B(Mn(P)合同 存在可逆矩阵C，B=C/AC 因C可逆，故 r(A)=r(B)，即合同矩阵的秩相等合同矩阵的秩相等；*2 原二次型 X/AX 经 X=CY(C可逆)化成新二次型Y/BY,则A，B合同 新、旧二次型的矩阵秩相同新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性 引入以下概念：1.定义定义：二次型 f(x1,x2,xn
27、)=X/AX 中矩阵A的秩称为二次型 f 的秩；2.性质性质：1)可逆线性替换不改变二次型的秩可逆线性替换不改变二次型的秩；12/2/202231高等代数5二次型/2211/2),()0,121),1(,rrifX AXrfd yd yrXCYXCYr ArXCYX AXY DYDdirrn*二次型 的秩标准型 其中 二次型的标准型中非零项的个数等于该二次型的秩，它与所做的可逆线性替换无关；二次型的标准型中非零项的系数不唯一，它与所取的线性替换有关，证明：据题设，设可逆线性替换下，所化成的标准型为 *为对/1111112211(),0,000(0,1,1).rrnrrrrnnrrir Drrr
28、Y DYdyydyyyyd yd yyyyd yd ydirrn角矩阵，且秩为 的对角矩阵其主对角线上的非零元素有且仅有个故为 12/2/202232高等代数5二次型二二 复二次型复二次型（复数域C上的二次型）1.规范型规范型：z12+z22+zr2 称为复二次型的规范型.2.定理定理3 任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成 规范型，且规范型唯一.*该定理的矩阵语言描述：任一秩为任一秩为 r 的复对称矩阵合同的复对称矩阵合同于一个对角矩阵于一个对角矩阵1100r12/2/202233高等代数5二次型证明证明：设复二次型 f=X/AX,r(A)=r 存在可逆线性替换X=C1Y(C1可逆),使f
29、=X/AX=(C1Y)/A(C1Y)=Y(C1/AC1)Y=d1y12+dryr2(di=1,r,1rn)取可逆线性替换11111111/22221 1111122111111()rrrrrrrrnnnnrrryzddyzyzyzddyzyzyzfX AXd yd yzzXCYCYC ZC Z 规范型；又 是可逆线性替换.唯一性是显然的.12/2/202234高等代数5二次型3.两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等/2./1/11/11 ,().,()()()()()()0(Q)QB()(),00AB.nCnnrA BMCA BCMCBC ACr Ar Br
30、 Ar BPQMCP APQ BQEP APPQA PQBPQ 可逆：是对称矩阵设合同可逆，；可逆，且 可逆，证合同明明(复对称矩阵按合同关系可分为n+1个不同的类)；复二次型共有n+1个不同的类型,其秩为决定因素.12/2/202235高等代数5二次型三三 实二次型实二次型1.z12 zp2zP+12zr2 称为实二次型的规范型 规范型完全由规范型完全由 p,r 所确定所确定 (其中r为二次型的秩，它确定了规范型中非零项的个数，p 确定了规范型中正、负项的个数）.2.定理定理4（惯性定理）任一实二次型经适当任一实二次型经适当的可逆线性替换可化成规范型，且规范型的可逆线性替换可化成规范型，且规
31、范型唯一唯一.12/2/202236高等代数5二次型111222211 1111,1111111 (,)(,)0,1,111nnpppprrrrrrrnY CrCnXrf xxrf xxd yd ydyd ydirrnRyzdyyyzdyyzyyz 可逆：设实二次型的秩（适当排序）,其中 在内，可取如下可逆线性替换证明1111222211 1112222112112(1111(),)zzzzrrnnnpppprrpprdzzzdzf xxd yd yYC ZXCYd yXCdyC Z（）.12/2/202237高等代数5二次型22221122221111222222221111.(,)(,z)
32、zzz.,XBYpprXCZqnqrpprqnqrff xxf xxpqpqpXBY XCZyyyyyyyyzzzqzrr 据题设现证唯一性 设经可逆线性替换化成规范型 现在证明 用反证法，假定 不妨设秩秩 11111121212221111122112212111 CZ(9)0,0,nnnnnnnnnnnnqnpnnnCZBYC BGGgggXBYXZC BYzg yg yzg yggggGgggzyzg yzzygyy化得化 得，即 令，则 可逆，取取考 察齐次线性方程组11 112 211 12 21(100)000n nqqqn npng yg yg yg yg yg yyy 12/2
33、/202238高等代数5二次型111122111221P112111111()00(10)100010(,)(,(),)=nnqqqnnpnppnppnpg yg yg yg ygyg yyyyyyynqnpnpqnkkkkk，定理个未知量，含有（）个方程组（）含有（）有非零解，设为显然 方程1111,22222,1012221111221110(,)90,(,0,)ppnpprqqnppnkkkkrpqppnfyyyyzzzzkkf kkkkkzzf kkkk 是（）的解，代入下式左端得值 ；通过（）将其代入上式的右端故得值 2210 .qrzzpqpqpq出现矛盾，这说明；同理可证 12/
34、2/202239高等代数5二次型惯性定理的意义惯性定理的意义定义定义3 实二次型的规范型中正平方项的个数 p 称为该二次型的正惯性指数正惯性指数；负平方项的个数 rp 称为该二次型的负惯性指负惯性指数数；其差 p(rp)=2pr 称为该二次型的符号差符号差.*1 实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范型的变换中，非零项的个数，正(负)项个数并未发生变化 据惯性定理中规范型的唯一性可知：实二次型的标准型中的非零项个数及正实二次型的标准型中的非零项个数及正(负负)项个数由秩项个数由秩和正和正(负负)惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异的前提下，实二
35、次型的标准型唯一确定的前提下，实二次型的标准型唯一确定；12/2/202240高等代数5二次型*2 定理定理3、4的矩阵语言描述的矩阵语言描述 定理定理5：5 1)2.11111,01001A0()11rAMANrNrr AM的个数，非零数的个数分定理复对称矩阵合同于一个如下形式的对角矩阵，其中对角线上,被唯一确定；)实对称矩阵合同于一个如下形式的对角矩阵，其中对角线上，被别为 正惯性指数，负惯性指数，()唯一确定prrpn r12/2/202241高等代数5二次型*3 称二次型 X/AX 与 Y/BY 可互化，如果存在可逆的线性替换 X=CY，使得B=C/AC 1)X/AX 与 Y/BY可互
36、化当且仅当A，B合同；2)设数域 P 上 n 元二次型全体构成集合 M(P)，则二次型的互化关系是 M(P)的一个等价关系.证明证明：1)显然.2)X=EX，有A=E/AE X/AX 与X/AX可互化；X/AX 与 Y/BY 可互化,显然Y/BY 与X/AX可互化；X/AX 与 Y/BY 可互化,Y/BY与 Z/DZ 可互化 有可逆线性替换 X=C1Y,Y=C2Z,使 B=C1/AC1,D=C2/BC2 有可逆线性替换 X=C1C2Z，使D=(C1C2)/A(C1C2)X/AX 与 Y/BY 可互化 命题成立.互化意义：若存在X=CY,C可逆，且B=C/AC Y=C-1X,A=(C/)-1BC
37、-1=(C-1)/BC-1 X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY；Y/BY=(C-1X)/B(C-1X)=X/(C-1)/BC-1)X=X/AX12/2/202242高等代数5二次型 3)复二次型按可互化分成复二次型按可互化分成 n+1 个不同的类个不同的类(型型).证明证明：复二次型 X/AX,Y/BY 可互化 A,B合同 A,B的秩相等 复二次型 X/AX,Y/BY 的秩相等.而秩的所有可能的结果为 r=0,1,n,共 n+1种 命题成立.复二次型全体M(C)复对称矩阵全体M(C)A f(x1,xn)g(y1,yn)Bf,g可互化,即同一类型 共n+1个不同类型12
38、/2/202243高等代数5二次型(1)(2)2nn3)实实二二次次型型按按可可互互化化分分成成个个不不同同的的类类（型型）/11/11,()(,()()()()f gXCY CBC ACY BYX AXX AXXPZ PX AXPZfX AX gY BYf gZ DZY BYC PZA PZZ P AP ZZ DZYC XC PZBC P：首先证明：可互化可逆，设在可逆线性替换(可逆)下化成即在可逆线性规范型替换可下为逆，证证明明实实二二次次型型可可互互化化有有相相同同的的秩秩，正正（负负）惯惯性性指指数数和和符符号号差差./1/11/)(),C PZZ P CBC PZZ P APfX A
39、XgYZZ DBgZYf唯一性与有相同的规范型有相同的秩，正（负）惯性指数，符号差；12/2/202244高等代数5二次型/1/1/111,B()()(),.1101 0 1 2f gf gXMZ YNZX AXY BYZDZDM AMN BNNMAMNMNA MNMNf gfrrrZrZ Dr设有相同的秩，正（负）惯性指数，符号差有，即 可逆线性替换,可逆可以互化当的秩为 时，其规范型中正项的个数可分为相同个正项，个正项，个正项，个正项共 个不同类型；而秩又可分成，的规范，型，-1,1(n 1)(n2)1 23(1).2nnnnn，共中不同类型共有不同类型数为 个 *用矩阵语言描述该性质：复
40、对称矩阵按合同分类共有 不同的类(1)(2)2nn12/2/202245高等代数5二次型 0 1 r n1 n r个正项 r1个 1个 0个 实二次型全体M(R)1 2 3(1)(n 1)(n2)2nn 12/2/202246高等代数5二次型5.4正定二次型12/2/202247高等代数5二次型一一 正定二次型的概念正定二次型的概念定义定义1 1 实二次型 f(x1,xn)是正定的正定的，如果对任意不全为零的 c1,cnR，f(c1,cn)0；实二次型 f(x1,xn)是负定的负定的，如果对任意不全为零的c1,cnR，f(c1,cn)0；实二次型 f(x1,xn)是不定的不定的，如果对任意不全
41、为零的c1,cnR，f(c1,cn)有时0,有时0；正定二次型的矩阵称为正定矩阵正定矩阵；f(x1,xn)=x12+xn2 是正定二次型；f(x1,xn)=d1x12+d2xn2 是正定的充要条件为 di0,i=1,2,n.12/2/202248高等代数5二次型二二 正定二次型的判定正定二次型的判定1.定理定理6 实二次型实二次型 f(x1,x)正定的充要条件是其正定的充要条件是其正惯性指数为正惯性指数为n.1111122313221 11111122,(1)01,2,0,1,(,),nnnnnnikkknkkkxccyffxyxccyfd yXCYd ydindknyyyyXCYyxcxc：
42、正定，设经可逆线性替换化成的标准型为 其中不全为正不妨设其中（）取，代入得 证明明2221112211(,)001,00,00(1,000),.knkkkknknnkknkif ccdddddxcCccRffdidnfn且不全为（否则 非可逆）代入标准型，得不全为 的数，的值，这与正定矛盾即 的正惯性指数为1111111010kknkkknnknnnnkxccccxccccxc 12/2/202249高等代数5二次型C2211 111112211 1(,)0(1,),0,00,0(,)0nnninnnnnnnfnXCYf xxd yd ydinxxyyxxRyyRf xxd yd yf 可逆正
43、定定义设的正惯性指数为可逆线性替换，且 不全为 时，不全为不全为 的数，且不全为于是应有是正定二次型./*1.,.nAAnnCAC CnAfX AXXCYfX AXZ EZAnnCAC ECC C阶实对称矩阵 正定与 阶单位矩阵合同阶可逆矩阵，证明：阶实对称矩阵正定实二次型是正定的可逆线性替换与 阶单位矩阵合同阶可逆矩阵，12/2/202250高等代数5二次型 *2 正定矩阵的行列式大于正定矩阵的行列式大于0.证明证明：A正定 存在可逆矩阵C(|C|0),使得A=C/C|A|=|C/|C|=|C|20.111211112121222212221212/12.6(1,2,).(,)0.ninin
44、nnniiiinaaaaaaaaaaaaAaaaaaainAf xxX AXA定义矩阵中的子顺序主子式式称为矩阵 的实二次型正定的顺序主子式全大于定定理理7 711111121121221,kkkkaaaaaAaaaa12/2/202251高等代数5二次型22.1/22/111211/1211 ,()(00,1,),0C0(1,A0.1,0)nnninkkkkkfXCY CfX AXY C AC Yd yd ydinC ACddCCaakknAaCACA CC ACd ddaA 定理据以上证明证：设正定可逆，即由可逆得，进而得假定以明明1111(,)0,(,)0(,0,0)kkkkkkkxxx
45、xxAxxx 为矩阵的 元二次型非正定取代入原二次型12/2/202252高等代数5二次型1/11111k0211111 1*(,)(,0,0)*00(,)0(,)A0(1,2,1)0.10()kknkkknkAxAxf xxX AXxxxxxAf xxxknAnnaf xa x 与正定矛盾的一切顺序主子式均大于对 进行归纳 当时,题设已.1nn经是正定的 现假定对元二次型命题成立，考察 元12/2/202253高等代数5二次型/1111(1)1n1A01/1(1)(n 1)n111/1/111(,),a,a0101,01nnnnnnn nf xxX AXaaAG AAAaaaAAAnGnGC
46、CGEA 的顺序主子式归纳假定二次型令的顺序主子式正定合同与阶单位矩阵,即可逆的阶矩阵，令则 1/112/2112/12111/1110001010110100nnnnnnnnnnnnnnnnEEECAGG AG GGGCaGaGaGGGGCC ACCGaGCCCaGEEEG；再令，有令/,nnaaGG则12/2/202254高等代数5二次型2/212101/011111110(1111,)AnCC AC CC ACCCAC ACaCaaAACaaxxafA 与单位矩阵合同正定正定.12/2/202255高等代数5二次型/1/1112131112112122232122313233111211
47、2*()(,)A00()00,0,0,1,2,0,00nkkf xxX AXfX AXfXA XAaaaaaaaaaAaaaaaaakaAan论证实二次型负定的顺序主子式负、正相间（即奇（偶）数阶主子式（）.：负定正定的顺序主子式推推明明1112132122231223132330,0,(1)0A.kkaaaaaaAaaaa的顺序主子式负、正相间12/2/202256高等代数5二次型例 判别以下二次型是否正定？3113222123123121323123(,)55484.524 (,)A2124255250 102152412412421201201210425125001.ccrrf xxx
48、xxxx xx xx xf xxx上上-解：的矩阵为=-其所有的-顺序主子式为 ，-原-二次型为正定二次型12/2/202257高等代数5二次型111/8 (,)1)(,)2)3),0 1,4)5)0.nninf xxf xxrdCC ACdindCAC CA定理是实二次型以下条件等价半正定；正惯性指数秩；可逆实矩阵，；实矩阵，；的主子式全大于三三 半正定二次型半正定二次型 定义定义7 实二次型 f(x1,xn)称为半正（负）定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1,cn 都有 f(x1,xn)0（f(x1,xn)0）成立；如果 f(x1,xn)既不是半正定的，又不是半负定的，则称其为不定的.（见P236习题9）：行的取法与列的取法一致的k级子式称为k级主子式，如11121314152123313233343541222425424445543525413555aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12/2/202258
