1、 第五章第五章 定积分定积分 第一节第一节 定积分的概念定积分的概念 一、问题的提出一、问题的提出 二、定积分的定义二、定积分的定义 三、存在定理三、存在定理 四、几何意义四、几何意义 五、小结五、小结 思考题思考题abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积
2、（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniix
3、fA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度
4、看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1（3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个
5、个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i（iix ），），作作乘乘积积iixf)(),2,1(i并作和并作和iinixfS )(1，二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I
6、，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1
7、定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在三、存在定理区区间间,ba上上可可积积.,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函
8、数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2,1中中插插入入分分点点 1
9、2,nqqq,典型小区间为典型小区间为,1iiqq，（ni,2,1）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq，（ni,2,1）iinixf )(1 iniix 11)1(1111 qqqinii niq1)1()1(qn取取2 nq即即nq12),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 ,2ln)12(lim1 nnn,2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn.2ln iinixf )(1 例例 3 3 设函数设函数)(xf在区间在区间1,0上连续，且取正值上连续，且取正值.证明证明nnnnfnfnf 21lim
10、 nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1,0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分分割割是是将将1,0n等等分分分点为分点为nixi，（ni,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因为因为)(xf在区间在区间1,0上连续，且上连续，且
11、0)(xf所所以以)(lnxf在在1,0上上有有意意义义且且可可积积,五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限思考题思考题将和式极限：将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdx
12、ix i 一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数)(xf 在在 ba,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_.2 2、定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关.3 3、定积分的几何意义是定积分的几何意义是_.4 4、区间区间 ba,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_.二、二、利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积.三、三、利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba .练练 习习
13、 题题四、四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：1 1、41102 dxx;2 2、2022cos2cosxdxxdx;五、五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 P的的水深水深 h函数，且有函数，且有)(8.92米米千千米米hp ，若闸门高，若闸门高米米3 H，宽，宽米米2 L，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力P（见教材图（见教材图 5-35-3）.一、一、1 1、niiixf10)(lim ；2 2、被积函数、被积函数,积分区间积
14、分区间,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy ,轴轴x,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、badx.二、二、abab )(3133.三、三、)(2122ab .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).练习题答案练习题答案观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示
15、过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯
16、形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当
17、分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 第二节第二节 定积分的性质、中值定理定积分的性质、中值定理 一、基本内容一、基本内容 二、小结二、小结 思考题思考题对定积分的对定
18、积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxx
19、fkdxxkf)()(k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,例例 若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3dxba 1dxba a
20、b .则则0)(dxxfba.)(ba 证证,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0)(badxxf性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)(xf，例例 1 1 比较积分值比较积分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0,2 x,0)(xf,0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)()(dxxfxgba,0)()(babadxx
21、fdxxg于是于是 dxxfba)(dxxgba )(.则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )(.)(ba 证证,)()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba)(dxxfba )(.说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论：的推论：（2）设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值
22、的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x,0)(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x
23、为为极极大大点点，2 x为为极极小小点点,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点，使使,)(1)(badxxf
24、abfdxxfba)()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。例例 4 4 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx，求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3
25、sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言
26、言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0,1)(为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1,0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1,0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1,0上都不可积。上都不可积。例例一、一、填空题：填空题：1 1、如果积分区间如果积分区间 ba,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、如果如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _
27、；3 3、时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、积分中值公式积分中值公式 badxxf)()(,)(baabf 的几何意义是的几何意义是 _ _；练练 习习 题题5 5、下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1）102dxx_ 103dxx（2 2）21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、证明：证明：babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）.三、三、估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值.四、证明不等式：四、证明不等式：212
28、1dxx.六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限:1 1、)21.2111(limnnnn ;2.2.、40sinlim xdxnn.七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、若 在若 在 ba,上上0)(xf,且且 badxxf0)(，则 在，则 在 ba,上上0)(xf ；2 2、若在、若在 ba,上，上，0)(xf,且且)(xf不不0恒等于恒等于，则，则 badxxf0)(；3 3、若在若在 ba,上上)()(xgxf,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 .一、一、1 1、bccadxx
29、fdxxf)()(；2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(；3 3、badxxf)(abdxxf)(；4 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于、曲边梯形各部分面积的代数和等于 为邻为邻与与abf)(边的矩形面积；边的矩形面积；5 5、(1)(1)；(2)(2)；(3).(3).三、三、1 1、32arctan9331 xdxx；2 2、53arcsin24213210 xxxdx.练习题答案练习题答案对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)(badxxf；（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下
30、面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(ba
31、dxxfk性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,例例 若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3dxba 1dxba ab .则则0)(dxxfba.)(ba 证证,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10
32、.0)(badxxf性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)(xf，例例 1 1 比较积分值比较积分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0,2 x,0)(xf,0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)()(dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是于是 dxxfba)(dxxgba )(.则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfb
33、a)(dxxfba )(.)(ba 证证,)()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba)(dxxfba )(.说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论：的推论：（2）设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6
34、6例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x,0)(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,故故4 x为为极极大大点点，2 x为为极极小小点点,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函数数)(xf
35、在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点，使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使
36、得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。例例 4 4 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx，求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问
37、题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0,1)(为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1,0)(显然显然)()(x
38、gxf 和和)()(xgxf在在1,0上可积，但上可积，但)(),(xgxf在在1,0上都不可积。上都不可积。例例一、一、填空题：填空题：1 1、如果积分区间如果积分区间 ba,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、如果如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3 3、时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、积分中值公式积分中值公式 badxxf)()(,)(baa
39、bf 的几何意义是的几何意义是 _ _；练练 习习 题题5 5、下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1）102dxx_ 103dxx（2 2）21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、证明：证明：babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）.三、三、估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值.四、证明不等式：四、证明不等式：2121dxx.六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限:1 1、)21.2111(limnnnn ;2.2.、40sinlim xdxnn.七、设七、设)(x
40、f及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、若 在若 在 ba,上上0)(xf,且且 badxxf0)(，则 在，则 在 ba,上上0)(xf ；2 2、若在、若在 ba,上，上，0)(xf,且且)(xf不不0恒等于恒等于，则，则 badxxf0)(；3 3、若在若在 ba,上上)()(xgxf,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 .一、一、1 1、bccadxxfdxxf)()(；2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(；3 3、badxxf)(abdxxf)(；4 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于、曲边梯形各部分
41、面积的代数和等于 为邻为邻与与abf)(边的矩形面积；边的矩形面积；5 5、(1)(1)；(2)(2)；(3).(3).三、三、1 1、32arctan9331 xdxx；2 2、53arcsin24213210 xxxdx.练习题答案练习题答案 第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式 一、问题的提出一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式发莱布尼茨公式发 四、小结四、小结 思考题思考题变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设某物体作直
42、线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点，xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,b
43、a上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,
44、)(xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(,xxx xx ,0),(fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(x x 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xt
45、dtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 2 2 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)(xf.证明函数证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0(内为单调增内为单调增加函数加函数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()
46、()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.例例 3 3 设设)(xf在在1,0上上连连续续，且且1)(xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1,0上上只只有有一一个个解解.证证,1)(2)(0 dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf,0 所以所以0)(xF即原方程在即原方程在1,0上只有一个解
47、上只有一个解.令令定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数.定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfb
48、a .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数,已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间
49、,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原式原式.6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf,21100222
50、xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x.2ln2ln1ln 例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在,0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x.2 3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结
