1、高等数学 戴本忠171二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念高阶导数 第二章 高等数学 戴本忠172学习指导1.教学目的：通过本节学习理解高阶导数的概念,掌握高阶导数的计算方法。2.基本练习：学习这部分应进行的基本练习是熟记几个基本初等函数 的n阶导数公式；熟记和、差、积、商的高阶导数求导法则；利用上述公式与法则进行高阶导数计算。3注意事项：学习这部分应注意求 的n阶导数时，往往要先利用初等数学方法先将函数化简，然后再利用已知函数的n阶导数公式与求导法去求。)1ln(,cos,sin,xxxxex)(xf高等数学 戴本忠173 我们把函数yf(x
2、)的导数yf(x)的导数(如果可导)叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 y、f(x)或22dxyd 即 y(y)f(x)f(x)或)(22dxdydxddxyd 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数;一般地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 y y(4)y(n)或33dxyd 44dxyd nndxyd v高阶导数的定义高等数学 戴本忠174 y(y)f(x)f(x)(22dxdydxddxyd f(x)在在x处有处有n阶导数，那么阶导数，那么 在在x的某一邻域内的某一邻域内必定具有一切低于必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数阶的导数；二阶及二阶以
3、上的导数统称统称高阶导数。高阶导数。)()1(xfn.)()(一阶导数一阶导数零阶导数零阶导数称为称为；称为称为相应地，相应地，xfxf 高等数学 戴本忠175一步一步来一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则法则问题：如何求函数的高阶导数？问题：如何求函数的高阶导数？高等数学 戴本忠176高阶导数应用举例高阶导数应用举例0,yay解解 例例1 1 y=ax+b,求求y 例例2 2 求求,sin tss 解解 tsts sin,cos2 求求n n阶导数就是连续地求阶导数就是连续地求n n次一阶导数。次一阶导数。高等数学 戴本忠177 例例3 3 证明
4、证明:函数函数 满足关系式满足关系式22xxy 013 yy证证 将将 求导求导,得得22xxy ,21222222xxxxxxy 22222222)1(2xxxxxxxxy 3222221)2(12)2()1(223yxxxxxxxxx 于是于是013 yy高等数学 戴本忠178 例4 求函数ye x 的n阶导数即(ex)(n)ex一般地 可得y(n)ex yex 解 y(4)ex yex yex 例5 求函数ln(1x)的n阶导数 一般地 可得y(4)(1)(2)(3)(1x)4 解 yln(1x)y(n)(1)(2)(n1)(1x)n nnxn)1()!1()1(1 即 nnnxnx)1
5、()!1()1()1ln(1)(y(1x)2y(1x)1y(1)(2)(1x)3v几个初等函数的 n 阶导数 高等数学 戴本忠179 例6 求正弦函数和余弦函数的n阶导数 解 ysin x一般地 可得)2 sin(cosxxy)2 2sin()2 2 sin()2 cos(xxxy)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(xxxy)2 sin()(nxyn 即 用类似方法 可得)2 cos()(cos)(nxxn)2 sin(cosxxy )2 2sin()2 2 sin()2 cos(xxxy)2 2sin()2 2 sin()2 cos(xxxy )2 3sin()2 2 2si
6、n()2 2cos(xxxy)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(xxxy )2 sin()(nxyn 即)2 sin()(sin)(nxxn 高等数学 戴本忠1710 例7 求幂函数yx(是任意常数)的n阶导数公式而 (xn)(n1)0 当n时 得到即 (x )(n)(1)(2)(n1)xn 一般地 可得yx1y(1)x2 y(1)(2)x3 y(4)(1)(2)(3)x4y(n)(1)(2)(n1)xn (xn)(n)(1)(2)3 2 1n!解 高等数学 戴本忠1711 求求n阶导数时，求出若干阶后不要急于合并，阶导数时，求出若干阶后不要急于合并，分析分析结果的规律性结果的
7、规律性，写出写出n阶导数阶导数(数学归纳法证明数学归纳法证明).高等数学 戴本忠1712例例8 8.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab 高等数学 戴本忠1713这一公式称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式 函数和差的 n 阶导数 函数积的 n 阶导数 用数学归纳法可以证明(uv)(n)u(n
8、)v(n)(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv nkkknknnvuCuv0)()()()(v函数和差、积的 n 阶导数（高阶导数的运算法则）高阶导数的运算法则）高等数学 戴本忠1714)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 高等数学 戴本忠1715例例9 9 .,)20(22yexyx求求设设 则则设设,22xveux 解解),20,4,3(0,2,22)(2)(kvvxveukxkk)20,2,1(k代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式,得得0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex高等数学 戴本忠1716内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!)1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,高等数学 戴本忠1717 作业作业P103 1(5),(7),(9),(11),(12);3;4(2);6;10(1)
