1、简单的线性规划实例分析：实例分析：设设x,y满足以下条件：满足以下条件：求求z=2x+y的最大值与最小值。的最大值与最小值。133065yxyyx线性约束条件 目标函数（线性目标函数）如图，分别作出如图，分别作出 三条三条直线，直线，o5x+6y=30y=1y=3xyy=1,y=3x,5x+6y=30 再找出不等式组再找出不等式组所表示的平面区域的公所表示的平面区域的公共区域。共区域。可行域可行域x设设z=0,画出直线画出直线l0，即即l0:2x+y=0。o5x+6y=30y=1y=3xyxl0:2x+y=0如图，平移直线如图，平移直线l0，所对应的所对应的z随之增大；随之增大；所对应的所对应
2、的z随之减小。随之减小。当直线当直线l0向上平移时，向上平移时，当直线当直线l0向下平向下平移移时时,o5x+6y=30y=1y=3xyl0:2x+y=0l1:2x+y=2l2:2x+y=4l3:2x+y=-3(13,1)此时所对应的此时所对应的Z最小；最小；(245,1)此时所对应的此时所对应的Z最大。最大。从而得到：从而得到：zminzmax=2 +1=2 +1=1324553535o5x+6y=30y=1y=3xyxABCl0:2x+y=0如图，在把如图，在把l0向上平移过程中，直线与平面区向上平移过程中，直线与平面区域首先相交于点域首先相交于点A ，当相交于点当相交于点B ，l1l2解
3、线性规划问题的一般步骤：解线性规划问题的一般步骤：第一步：根据线性约束条件在平面直角坐标系第一步：根据线性约束条件在平面直角坐标系中画出可行域（即画出不等式组所表示的公共中画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；区域）；第二步：设第二步：设z=0,画出直线画出直线l0；第三步：观察、分析，平移直线第三步：观察、分析，平移直线l0，从而找到最，从而找到最优解；优解；第四步：最后求得目标函数的最大值或最小第四步：最后求得目标函数的最大值或最小值。值。一般地求线性目标函数在线性约束条件下的一般地求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。最大值或最小值的问题，统
4、称为线性规划问题。满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解。叫可行解。由所有可行解组成的集合叫做可行域。由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。性规划问题的最优解。线性规划：线性规划：可行解可行解：可行域可行域：最优解最优解：目标函数：目标函数：如果两个变量如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求满足一组一次不等式，求两个变量的一个线性函数（如两个变量的一个线性函数（如z=2x+y）的最大值或最）的最大值或最小值，那么就称这个线性函数为目标函数。小值，那么就称这个线性函数为目标函数。总结
5、：总结：从这个问题的求解过程可以从这个问题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的看出，最优解一般在可行域的边边界上界上，而且通常在可行域的，而且通常在可行域的顶点顶点处处取得。取得。实例分析：实例分析：设设x,y满足以下条件：满足以下条件：求求z=2x+y的最大值与最小值。的最大值与最小值。133065yxyyx线性约束条件 目标函数（线性目标函数）如图，分别作出如图，分别作出 三条三条直线，直线，o5x+6y=30y=1y=3xyy=1,y=3x,5x+6y=30 再找出不等式组再找出不等式组所表示的平面区域的公所表示的平面区域的公共区域。共区域。可行域可行域x设设z=0,画出直线画出直线
6、l0，即即l0:2x+y=0。o5x+6y=30y=1y=3xyxl0:2x+y=0如图，平移直线如图，平移直线l0，所对应的所对应的z随之增大；随之增大；所对应的所对应的z随之减小。随之减小。当直线当直线l0向上平移时，向上平移时，当直线当直线l0向下平向下平移移时时,o5x+6y=30y=1y=3xyl0:2x+y=0l1:2x+y=2l2:2x+y=4l3:2x+y=-3(13,1)此时所对应的此时所对应的Z最小；最小；(245,1)此时所对应的此时所对应的Z最大。最大。从而得到：从而得到：zminzmax=2 +1=2 +1=1324553535o5x+6y=30y=1y=3xyxAB
7、Cl0:2x+y=0如图，在把如图，在把l0向上平移过程中，直线与平面区向上平移过程中，直线与平面区域首先相交于点域首先相交于点A ，当相交于点当相交于点B ，l1l2解线性规划问题的一般步骤：解线性规划问题的一般步骤：第一步：根据线性约束条件在平面直角坐标系第一步：根据线性约束条件在平面直角坐标系中画出可行域（即画出不等式组所表示的公共中画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；区域）；第二步：设第二步：设z=0,画出直线画出直线l0；第三步：观察、分析，平移直线第三步：观察、分析，平移直线l0，从而找到最，从而找到最优解；优解；第四步：最后求得目标函数的最大值或最小第四步：最后求得目标
8、函数的最大值或最小值。值。一般地求线性目标函数在线性约束条件下的一般地求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解。叫可行解。由所有可行解组成的集合叫做可行域。由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。性规划问题的最优解。线性规划：线性规划：可行解可行解：可行域可行域：最优解最优解：目标函数：目标函数：如果两个变量如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求满足一组一次不等式，求两个变量的一个线性函数（如两个变量的一个线性函数（如z=2x+y）的最大值或最）的最大值或最小值，那么就称这个线性函数为目标函数。小值，那么就称这个线性函数为目标函数。总结：总结：从这个问题的求解过程可以从这个问题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的看出，最优解一般在可行域的边边界上界上，而且通常在可行域的，而且通常在可行域的顶点顶点处处取得。取得。简单的线性规划
