1、一、高中解析几何起源一、高中解析几何起源 几何学的起源也十分久远，它产生于早期几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量与天文活动有关。与天文活动有关。今天的今天的“几何几何”（GeometryGeometry）一词，源于）一词，源于希腊语，本意是指测量术。希腊语，本意是指测量术。早期文明中的几何学内容基本都是与几何早期文明中的几何学内容基本都是与几何形体的度量计算以及测量有关。形体的度量计算以及测量有关。一、高中解析几何起源一、高中解析几何
2、起源 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对展，天文、力学、航海等方面都对几何学几何学提出提出了新的需要。比如，了新的需要。比如，德国德国天文学家开普勒发现天文学家开普勒发现行星行星是绕着太阳沿着是绕着太阳沿着椭圆椭圆轨道运行的，太阳处轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个在这个椭圆的一个焦点焦点上；意大利科学家上；意大利科学家伽利伽利略略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到现都涉及到圆锥曲线圆锥曲线，要研究这些比较复杂的，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这曲
3、线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。就导致了解析几何的出现。一、高中解析几何起源一、高中解析几何起源笛卡尔笛卡尔 1637 1637年，法国的哲学家和年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作数学家笛卡尔发表了他的著作方法论方法论，这本书的后面有，这本书的后面有三篇附录，一篇叫三篇附录，一篇叫折光学折光学，一篇叫，一篇叫流星学流星学，一篇叫，一篇叫几何学几何学。笛卡尔的中心思想是建立笛卡尔的中心思想是建立起一种起一种“普遍普遍”的数学，把算的数学，把算术、代数、几何统一起来。术、代数、几何统一起来。一、高中解析几何起源一、高中解析几何起源笛卡尔及其著作笛卡尔及其著作
4、 16371637年迪卡尔写的年迪卡尔写的更好地指导推理和寻求科更好地指导推理和寻求科学真理的方法论学真理的方法论（简称（简称方法论方法论），一书出），一书出版，这是一本哲学的经典著作，包括三个著名的版，这是一本哲学的经典著作，包括三个著名的附录：附录：几何几何、折光折光和和陨星陨星。几何几何是他写的唯一一本數学书，他关于坐标几何的是他写的唯一一本數学书，他关于坐标几何的思想，就包括在这本思想，就包括在这本几何几何中。其他著作有中。其他著作有思想的指导法则思想的指导法则世界体系世界体系、哲学原理哲学原理和和音乐概要音乐概要等。等。一、高中解析几何起源一、高中解析几何起源笛卡尔笛卡尔 笛卡儿曾计
5、划写一本书笛卡儿曾计划写一本书思想的指导法则思想的指导法则，在书中他大胆的提出了一个解决切问题的方案在书中他大胆的提出了一个解决切问题的方案：把一切问题归结为数学问题；把一切问题归结为数学问题；把一切数学问题归结为代数问题把一切数学问题归结为代数问题；把一切代数问题归结为方程；把一切代数问题归结为方程；最后得到关于一个末知数的方程最后得到关于一个末知数的方程。一、高中解析几何起源一、高中解析几何起源费马费马 虽是一位业余数学家，虽是一位业余数学家，在牛顿、莱布尼兹大体完成在牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前，他是为创立微微积分之前，他是为创立微积分作出贡献最多的人积分作出贡献最多的人 对数论、解
6、析几何、概率论对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。三个方面都有重要贡献。一、高中解析几何起源一、高中解析几何起源费马及其著作费马及其著作 16291629年他写出了一本年他写出了一本平面和立体的轨迹论平面和立体的轨迹论，书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的，书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普方法。普方法。费马把他的一般原理叙述为：费马把他的一般原理叙述为：“只在最后的只在最后的方程里出现两个末知量，我们就得到一个轨迹，方程里出现两个末知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线这两个量之一，其末端就描绘出一条直线或曲线”。一、高中解析几何起源一、高中解
7、析几何起源解析几何的产生对数学发展的影响解析几何的产生对数学发展的影响 解析几何的建立第一次真正实现了几何方解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用积分的诞生有着不可估量的作用。二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 平面解析几何课程：平面解析几何课程：高中解析几何课程是一门以解析几何学的基高中解析几何课程是一门
8、以解析几何学的基本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面本内容和思想为背景材料，用代数方法研究平面几何问题的学科课程内容主要包括空间坐标系几何问题的学科课程内容主要包括空间坐标系、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐标等这些内容是初中平面几何学习的继续、内标等这些内容是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解、应用的平台，是学生升入大学继续学习空间解析几何、线性代数和微积分的基础高中解析几析几何、线性代数和微积分的基础高中解析几何课程在
9、整个初等数学中占据非常重要的地位何课程在整个初等数学中占据非常重要的地位 高中解析几何既是一种重要的数学思想，也高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思是一种重要的数学方法，其核心是数形结合的思想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也想方法，这一思想方法在初等数学的其它领域也有广泛的应用同时，在解决解析几何问题过程有广泛的应用同时，在解决解析几何问题过程中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如中，还要用初等数学中许多其它的思想方法，如映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等映射、化归、方程、函数、分类、变换、参数等思想方法，高中解析几何可谓数学思想
10、的思想方法，高中解析几何可谓数学思想的“战场战场”二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 高中解析几何课程具有培养学生数学综合能高中解析几何课程具有培养学生数学综合能力的功效而且，解析几何学是力的功效而且，解析几何学是17 17 世纪数学发世纪数学发展的重大成果之一，对数学的发展产生了重要影展的重大成果之一，对数学的发展产生了重要影响，它的创立在数学发展史上具有划时代意义响，它的创立在数学发展史上具有划时代意义也蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神、思想和方也蕴涵着笛卡尔独树一帜的数学精神、思想和方法，个性品质以及发明创造的思维线索和心理历法，个性品质以及发明创造的思维线索和心理历程因此，
11、高中解析几何课程更具有丰富的文化程因此，高中解析几何课程更具有丰富的文化价值和教育价值，是提高学生价值和教育价值，是提高学生数学数学学科学科核心核心素养素养和整体文化认知水平的一个典型范例和整体文化认知水平的一个典型范例二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 解析几何解析几何核心概念统领核心概念统领 高中解析几何是高中解析几何是以曲线与方程概念为核心，以曲线与方程概念为核心，总体统领解析几何知识结构，曲线与方程概念是总体统领解析几何知识结构，曲线与方程概念是数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方数形结合思想方法的内核，也是直线方程、圆方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位程
12、、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的上位概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念概念，解析几何知识结构直接依曲线与方程概念而展开因此，曲线与方程概念在解析几何知识而展开因此，曲线与方程概念在解析几何知识结构中居统领地位结构中居统领地位二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 核心概念统领解析几何教学，可以让学生更核心概念统领解析几何教学，可以让学生更好地了解和理解解析几何中基本概念（曲线与方好地了解和理解解析几何中基本概念（曲线与方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方程概念）、基本原理（映射原理）、基本思想方法（数形结合思想方法）和研究对象（直线和各法（数形结合思想方法）和研究
13、对象（直线和各种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何种二次曲线）之间的逻辑关联，加深对解析几何课程的深入理解和整体把握，使学生获得普遍的课程的深入理解和整体把握，使学生获得普遍的认知迁移，使学科基本观念在记忆中得到巩固，认知迁移，使学科基本观念在记忆中得到巩固，为学生深刻理解解析几何的基本思想搭建平台为学生深刻理解解析几何的基本思想搭建平台二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 解析几何核心概念的形成与课程知识结构教解析几何核心概念的形成与课程知识结构教学内容：学内容：（1 1）曲线与方程概念形成过程）曲线与方程概念形成过程几何量算术化几何量算术化构构造代数方程造代数方程求解轨迹
14、方程求解轨迹方程形成核心概念形成核心概念（2 2）曲线与方程定义）曲线与方程定义存在性与完备性存在性与完备性（3 3）数形结合基本思想）数形结合基本思想几何问题代数化几何问题代数化代数问代数问题几何化题几何化代数化与几何化统一代数化与几何化统一（4 4）解析几何基本原理）解析几何基本原理映射（化归）映射（化归）（5 5）解析几何知识结构）解析几何知识结构概念、思想、原理、研究概念、思想、原理、研究对象（曲线类型）及其关系教学方式：讲授，师生交流对象（曲线类型）及其关系教学方式：讲授，师生交流、探索、探索二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 解析几何解析几何思想结构思想结构：数形结合
15、思想的教学是高中解析几何教学的数形结合思想的教学是高中解析几何教学的核心但数形结合思想在解析几何课程内容中的核心但数形结合思想在解析几何课程内容中的体现往往并不是显性的，并且，由于几何问题代体现往往并不是显性的，并且，由于几何问题代数化和代数问题几何化本身是融为一体的，这直数化和代数问题几何化本身是融为一体的，这直接导致学生对数形结合思想的理解处于一种模糊接导致学生对数形结合思想的理解处于一种模糊状态，不能形成牢固的几何问题代数化和代数问状态，不能形成牢固的几何问题代数化和代数问题几何化观念题几何化观念二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 在解析几何教学中，实施思想结构分拆教学在解
16、析几何教学中，实施思想结构分拆教学策略，有助于学生形成完整、清晰、稳定、持久策略，有助于学生形成完整、清晰、稳定、持久、良序的认知结构和认知层次，使学生全面掌握、良序的认知结构和认知层次，使学生全面掌握和灵活应用解析几何基本思想分拆是手段，通和灵活应用解析几何基本思想分拆是手段，通过分拆，扩散信息，展示思想结构的逻辑意义，过分拆，扩散信息，展示思想结构的逻辑意义，使学生对信息的检索更加容易进行，便于知识的使学生对信息的检索更加容易进行，便于知识的提取，能够清晰识别和领会思想方法；分拆的目提取，能够清晰识别和领会思想方法；分拆的目的在于整合，整合是目标，在几何问题代数化和的在于整合，整合是目标，
17、在几何问题代数化和代数问题几何化之间建立高强度的联系，使学生代数问题几何化之间建立高强度的联系，使学生牢固观念所以，思想结构分拆教学策略，重在牢固观念所以，思想结构分拆教学策略，重在分拆，旨在整合分拆，旨在整合二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考 数学思想的学习要经历从感性到理性，从领会到形数学思想的学习要经历从感性到理性，从领会到形成，从巩固到应用的发展过程数形结合思想学习的心成，从巩固到应用的发展过程数形结合思想学习的心理建构过程需要经历以下理建构过程需要经历以下4 4 个阶段：个阶段：（1 1）辨认（）辨认（identifica-tionidentifica-tion）：先通
18、过曲线与方程的）：先通过曲线与方程的概念学习，确认数形结合思想内在统一的两个方面概念学习，确认数形结合思想内在统一的两个方面几何问题代数化和代数问题几何化；几何问题代数化和代数问题几何化；（2 2）分化（）分化（differentialdifferential）：几何问题代数化和代数）：几何问题代数化和代数问题几何化对心理产生不同的刺激反应；问题几何化对心理产生不同的刺激反应；（3 3）交互（）交互（reciprocalreciprocal）：几何问题代数化和代数问）：几何问题代数化和代数问题几何化以彼此对立的方式在心理上运行；题几何化以彼此对立的方式在心理上运行；（4 4）内化（）内化（in
19、tenalizationintenalization）：此时的数形结合思想）：此时的数形结合思想，以一种综合的心理图式转化为内部观念，以一种综合的心理图式转化为内部观念二、高中解析几何教学思考二、高中解析几何教学思考三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略 充分的授课：充分的授课：在进行高中平面解析几何
20、教学活动中，学生和教师在进行高中平面解析几何教学活动中，学生和教师都应该做好充分的课前准备课前准备是教学活动顺利都应该做好充分的课前准备课前准备是教学活动顺利进行的前提和基础首先，教师要熟悉平面解析几何的进行的前提和基础首先，教师要熟悉平面解析几何的相关概念、发展背最，以及要明确授课的方式，熟悉所相关概念、发展背最，以及要明确授课的方式，熟悉所要解析的几何内容，摒弃传统的灌輸式的教学模式，尽要解析的几何内容，摒弃传统的灌輸式的教学模式，尽量运用多种数学解题方法另外，在教学活动中，要明量运用多种数学解题方法另外，在教学活动中，要明确教学目标，让学生清楚该知识点在整个平面解析几何确教学目标，让学生
21、清楚该知识点在整个平面解析几何学习中的作用同时，教师要将大问题分解为多个小问学习中的作用同时，教师要将大问题分解为多个小问题，逐步深入，促使高中平面解析几何的授课方法更加题，逐步深入，促使高中平面解析几何的授课方法更加科学合理。科学合理。三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略 多样化教学：多样化教学：在高中平面解析几何教学活动中，要有新的教学理在高中平面解析几何教学活动中，要有新的教学理念，敢于接受新思想，和新观念，敢于运用新的教学模念，敢于接受新思想，和新观念，敢于运用新的教学模式和工具。平面解析几何一直是我国中学教学内容中的式和工具。平面解析几何一直是我国中学教学内容中的重要组成
22、部分，在其教学活动中，我们可以用灵活的模重要组成部分，在其教学活动中，我们可以用灵活的模式，多采用以学生为主导的讨论式教学方式另外，高式，多采用以学生为主导的讨论式教学方式另外，高中平面解析几何教学实践，更加重视知识的传授，而平中平面解析几何教学实践，更加重视知识的传授，而平面解析是一种比较抽象的思维方式，只依靠教师来进行面解析是一种比较抽象的思维方式，只依靠教师来进行课室讲解，会促使学生的想象力较为被动，而现代的多课室讲解，会促使学生的想象力较为被动，而现代的多媒体教学可以让平面解析几何的知识显得更加形象和生媒体教学可以让平面解析几何的知识显得更加形象和生动，这样的数学活动不仅可以启发学生的
23、想象力，还可动，这样的数学活动不仅可以启发学生的想象力，还可以激发学生的学习兴趣。以激发学生的学习兴趣。三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略 引导学生投入学习过程引导学生投入学习过程：在高考的教在高考的教育育背背景景下，平面解析几何的教学过程中下，平面解析几何的教学过程中，要注重引导学生学习，避免因为得分率低而，要注重引导学生学习，避免因为得分率低而忽忽略对平略对平面解析几何的学习高考在每个学生的学习征程中都是面解析几何的学习高考在每个学生的学习征程中都是比较比较重重要的一部分，而平面解析几何教学中，要发要的一部分，而平面解析几何教学中，要发挥教挥教师师的组织和的组织和协调能力，协
24、调能力，注重平面解析几何在整个高中注重平面解析几何在整个高中数数学课学课程程中的分量，引导学生投入到学习中，特别是一些中的分量，引导学生投入到学习中，特别是一些互动学习的活动，从而促使互动学习的活动，从而促使教教学效学效率率的提高的提高。三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略 探究式教学和数学运算能力：探究式教学和数学运算能力：以学生为主体的探究式教学是培养和提高学生探究以学生为主体的探究式教学是培养和提高学生探究兴趣和探究能力的重要方法，学生的探究能力提高了，兴趣和探究能力的重要方法，学生的探究能力提高了，那么学习的兴趣自然就会高，同时要重视运算能力的提那么学习的兴趣自然就会高，同
25、时要重视运算能力的提升，这是为学生更好的学习解析几何打下坚持的基础。升，这是为学生更好的学习解析几何打下坚持的基础。三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略l 教学提升层面教学提升层面 一、挖掘解几内容中的数学本质问题和一般规律一、挖掘解几内容中的数学本质问题和一般规律八、高考研究：欣赏，改编，重组，创作八、高考研究：欣赏，改编，重组，创作九、解几中的数学教学创新九、解几中的数学教学创新二二.加强解题方法教学提升学生解题能力加强解题方法教学提升学生解题能力四、多角度、多层次培养学生的数学思维能力四、多角度、多层次培养学生的数学思维能力三、探究性问题，开放题三、探究性问题，开放题五、注重
26、解几的基本思想方法的教学五、注重解几的基本思想方法的教学七、突出数形结合思想的教学七、突出数形结合思想的教学六、六、“代数运算代数运算”的实施与策略的实施与策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略三、高中解析几何教学策略四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研究方法应对策略应对策略抓实课本基础，重视通性通法倡导理性思维，强化运算能力优化解题过程，提升解题策略学会归纳类比，培养自主创新重视例题变式，发挥题目功能四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研
27、究方法设直线过焦点设直线过焦点F F与抛物线与抛物线 相交于相交于A(A()，B(B()两点，直线两点，直线ABAB的倾斜角为的倾斜角为.(1)(1)求证求证 ：；(2)(2)求证：求证：；(3)(3)若若ABxABx轴，则线段轴，则线段ABAB叫通径，求证：叫通径，求证：|AB|=2p|AB|=2p；(4)(4)求证焦点弦长求证焦点弦长|AB|=|AB|=(5)(5)求证：求证：(6)(6)求证：以求证：以ABAB为直径的圆与抛物线的为直径的圆与抛物线的 准线相切；准线相切；(7)(7)求证：求证：；sin22pSAOBpBFAF2|1|1221pyy;sin2221ppxx22,yx212
28、4px x)0(22ppxy11,yxylxABFO CMNED案例一(8)求证：求证：(9)求证：求证：(10)求证：求证：A,O,D三点共线三点共线;C,O,B三点共线三点共线;(11)求证：直线求证：直线NA和和NA与抛物线都相切；与抛物线都相切；(12)求证求证:MN平行抛物线的轴；平行抛物线的轴；(13)过准线过准线 上任意点上任意点N引抛物线的两条切引抛物线的两条切 线线NA 和和NB .求证：直线求证：直线AB恒过定点；恒过定点；(14)求证：直线求证：直线AD恒过定点恒过定点(此问可类比推此问可类比推 广到椭圆和双曲线中得到相应的命题）；广到椭圆和双曲线中得到相应的命题）；(1
29、5)若若 ，求，求 的面积的面积.NFAB90ANB;90;90ANBCFDl30NABANBylxABFO CMNEDNFAB;90;90ANBCFD抛物线抛物线 y2=x 上的动弦上的动弦AB的长度为的长度为3,两个端点在抛物线两个端点在抛物线 y2=x 上移动上移动,求动弦求动弦AB中点中点M到到 y 轴的最短距离轴的最短距离.ylxABFOMNCD1122002221212120120211222222212120121222121222121221(,),(,),(,).()()3221()()2241()()1 1412()()11412 314A x yB xyM xyxxyyx
30、xxyyyyxyxxxyyxyyyyyyyyyyyy 解法：设依题意得（）5.42222212122221212)()3()()13yyyyyyyy（案例二ylxABFOMNCD1122002221212120120211222(,),(,),(,).()()322A x yB xyM xyxxyyxxxyyyyxyx解法2：设依题意得222121222221212121221212121222201201222121200120)()3229()4294422904()2()92405,0.4xxyyxxx xyyy yxxx xxxy yxy yxy yy yy yxxy yRx（1122
31、002221212120120211222(,),(,),(,).()()322A xyB xyM xyxxyyxxxyyyyxyx解法4：设依题意得2222212122221212)()3()()13yyyyyyyy（ylxABFOMNCD1122000,),(,),(,),1113|(|)(|)|.22221315|.4244x yB xyM xyAClC BDlDMNlNAFBFAFAC BFBCMNACBDAFBFABxMN解法3：设A(作于于于连结和由抛物线定义知：2221212121212220120120022212121212122200000222000002020020()
32、22224242()222(42)4()94()4194(41)911(41)4(41)449152164yyyyy yxxy yxy yyy yyxyyyyy yxxy yxyxxyxyyxyyxyy.40000220001212cos5(,),:()sinsin(2sincos0|30 xxtM xyABtyytAByyxtttt2解法：设直线的方程为为参数联立直线与抛物线方程消去x,y得:t）t+依题意有：200202002094(41)911(41)4(41)449152.1644xyyxyyylxABFOMNCD案例三APFBGExykk案例四案例四案例四四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研究方法四、高中解析几何的研究方法
