1、1第三章 复变函数的积分 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分3.2 柯西积分定理柯西积分定理3.1 复积分的概念复积分的概念3.3 柯西积分公式柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数2第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 3.1 复积分的概念复积分的概念一、复积分的定义一、复积分的定义二、复积分的性质二、复积分的性质三、复积分的计算三、复积分的计算3第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 abxyC定义定义 如图设如图设 C 为简单光滑的有向为简单光滑的有向(1)将曲线将曲线 C 任意划分任意划分：一、复积分的定义一、复积分的定义函数函数 在在 C 上有定义
2、，上有定义，)(zf,210bzzzazn 令令,1 kkkzzz,|max1knkz z zkz0zkznzk-1(2)在每个弧段在每个弧段 上上任取一点任取一点,1kkkzz z zkkzz1 若若 存在存在(不依赖不依赖 C 的划分和的划分和 的选取的选取)，nkkkzf10)(limz z kz z则称之为则称之为 沿曲线沿曲线 C 的的积分积分，记为，记为.d)(Czzf)(zf曲线，其方向是从曲线，其方向是从 a 到到 b，P54定义定义 3.1 4第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 abxyC一、复积分的定义一、复积分的定义表示沿曲线表示沿曲线 C 的的注注(1)Czzf
3、d)(znzk-1z0zkz zkC 负方向积分；负方向积分；表示沿表示沿闭曲线闭曲线 G G(2)zzfd)(的逆时针方向的逆时针方向)积分；积分；5第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 第一类曲线积分第一类曲线积分二、复积分的性质二、复积分的性质(1).d)(d)(d)()(CCCzzgzzfzzgzf CCzzfzzf|d|)(|d)(|(4)(2).d)(d)(CCzzfzzf Cszfd|)(|(3),d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf其中，其中，.21CCC 其中，其中，,|)(|maxzfMCz L为曲线为曲线C的弧长。的弧长。,ML P58 6第三章 复变函
4、数的积分3.1 复积分的概念 估计估计 Czzzde例例的模的一个上界，其中的模的一个上界，其中 C 如图所示如图所示。xyCi1 1 Czszd|e|Cxsd|e|Cxsde.e 解解 Czzzde Czzz|d|e7第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 解解 曲线曲线 C：,10:t,43titz|)14(3|titiz22)14()3(tt18252 tt259254252)(t.53 Czizd1 Csizd|1.325535 xyC34P58 例例3.4 i8第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 证证 不妨设不妨设,1 r2412rr zzzrzd1|23 0szzrzd
5、|1|23 szzrzd|1|23|.)0(,0r|22|1|1|zz P59 例例3.5 9第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 三、三、复积分的计算复积分的计算 CCyixviuzzf)dd()(d)(.dddd CCyuxviyvxu附附 格林格林(Green)公式公式 进一步可化为进一步可化为定积分定积分或者或者二重积分二重积分。方法一方法一 化为第二类曲线积分化为第二类曲线积分 P55 定理定理3.1 (推导推导?)?)10第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 ,d)()(d)(baCttztzfzzf三、三、复积分的计算复积分的计算方法二方法二 直接化为定积分直接化为定
6、积分,)()()(:tyitxtzzC ,:bat设曲线设曲线则则.)()()(tyitxtz 其中，其中，附附 其它方法其它方法(后面的章节介绍后面的章节介绍)利用原函数计算，即利用原函数计算，即.)(d)(10zzCzFzzf 利用柯西积分公式、高阶导公式计算。利用柯西积分公式、高阶导公式计算。利用留数计算利用留数计算。P56 11第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 解解,xz (1)曲线曲线 C1 的方程为的方程为,10:x,1yiz 曲线曲线 C2 的方程为的方程为,10:y,dd12 CCzzzzI 1010)1(d)1(dyiyixx 1010d)1(dyyiixx1021
7、02)21(21yyix .i xyC1C2C3i1C42yx 计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为为(如图如图)：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P57 例例3.3 修改修改 12第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 解解(2)曲线曲线 C3 的方程为的方程为,10:t,t itz 3dCzzI102212ti .i 10)(d)(t itt it 10d)1()1(ttiixyC1C2C3i1C42yx 计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为为(如图如图)：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P57 例例3.3 修改修改 13第三章 复变
8、函数的积分3.1 复积分的概念 解解,10:t(3)曲线曲线 C4 的方程为的方程为,2t itz 4dCzzI.i 1022)(d)(t itt it1022)(21t it 2)1(21i xyC1C2C3i1C42yx 计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为为(如图如图)：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P57 例例3.3 修改修改 14第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 解解,xz (1)曲线曲线 C1 的方程为的方程为,10:x,1yiz 曲线曲线 C2 的方程为的方程为,10:y 1010)1(d)1(dyiyixx 1010d)1(dyyiixx1
9、02102)21(21yyix .1i xyC1C2C3i1计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为：为：(1);21CCC (2).3CC ,dd12 CCzzzzIP56 例例3.1 修改修改 15第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 解解(2)曲线曲线 C3 的方程为的方程为,10:t,t itz 102212t .1 10)(d)(t itt it 10d)1()1(ttii 3dCzzIxyC1C2C3i1计算计算,d CzzI例例其中其中 C 为：为：(1);21CCC (2).3CC P56 例例3.1 修改修改 16第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 niiri
10、rI20d)(ee ,e0 irzz 解解 曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为,20:,d20)1(1e ninri 当当 时，时，1 n;2 iI 当当 时，时，1 n.0)1(20)1(1e ninrniiI xry0zzC注注 此例的结果很重要！此例的结果很重要！P57 例例3.2 17第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 休息一下18第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 附：附：复积分化为第二类曲线积分的公式推导复积分化为第二类曲线积分的公式推导az0zk 1znzkbxyz zkC设函数设函数 在在 C 上连续，上连续，viuzf )(则则 也在也在 C 上连续；上连
11、续；),(,),(yxvyxu,kkkyixz 由由有有当当 时，时，0|max1 knkz,0|max1 knkx;0|max1 knky,),(kkk z z 记记则则 nkkkzf1)(z z,)(,(),(1 nkkkkkkkyixivu ,)(lim10 nkkkzfz z Czzfd)(如图如图(1)19第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 nkkkzf1)(z z,)(,(),(1 nkkkkkkkyixivu ,),(),(1kkkkkknkyuxvi nkkkkkkkyvxu1),(),(Czzfd)(.dddd CCyuxviyvxu将上式两端取极限将上式两端取极限(
12、即令即令 )，得，得0|max1 knkz 附：附：复积分化为第二类曲线积分的公式推导复积分化为第二类曲线积分的公式推导20第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念 )(tz Czzfd)(.dddd CCyuxviyvxu.d)()(battztzf(2),)()()(:tyitxtzzC ,:bat设曲线设曲线则则 Czzfd)(battytytxvtxtytxud)()(,)()()(,)()()(battytytxutxtytxvid)()(,)()()(,)()()(batty itxtytxvitytxud)()()(,)()(,)()()(.d)()(d)(baCttztzfzzf即即附：附：复积分化为第二类曲线积分的公式推导复积分化为第二类曲线积分的公式推导(返回返回)
