1、1第五章 留数及其应用 5.2 留数 5.2 留数留数一、留数的概念一、留数的概念二、留数的计算方法二、留数的计算方法三、三、留数定理留数定理四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数2第五章 留数及其应用 5.2 留数 一、留数的概念一、留数的概念将将 在在 的去心邻域的去心邻域 )(zf0z设设 为函数为函数 的孤立奇点，的孤立奇点，定义定义 0z)(zf称称 为为 在在 处的处的留数留数，1 a0z)(zf记作：记作：10,)(Res azzf,d)(21zzfiC 内展开成洛朗级数：内展开成洛朗级数：(两边积分两边积分)nnnzzazf)()(0,)(01001 zzaazza其
2、中，其中，C 是是 的去心邻域内绕的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。的一条简单闭曲线。0z0zP112定义定义 5.4 (留数的产生留数的产生)3第五章 留数及其应用 5.2 留数 而且在使用该方法时，而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。并不需要知道奇点的类型。二、留数的计算方法二、留数的计算方法若若 为为 的可去奇点，的可去奇点，方法方法 0z)(zf1.可去奇点可去奇点 若若 为为 的本性奇点，的本性奇点，方法方法 0z)(zf2.本性奇点本性奇点 则则“只好只好”将将 在在 的去心的去心 0z)(zf邻域内展开成洛朗级数。邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出
3、在具体展开的时候，并不需要写出“完整完整”的洛朗级数，的洛朗级数，注注 1 a只需将其中负一次幂的系数只需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。求出来就可以了。(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，.0,)(Res0 zzf则则 4第五章 留数及其应用 5.2 留数 理由理由 ,)()()(010010 zzaazzazzazfmm,)()()()(001010 mmmmzzazzaazfzz,)()()!1()()(dd01011zzzamzfzzzmmm 二、留数的计算方法二、留数的计算方法3.极点极点 方法方法 (法则法则)
4、若若 为为 的的 m 阶极点，阶极点，0z)(zf P115法则法则 5第五章 留数及其应用 5.2 留数 (法则法则).)()(lim),(Res000zfzzzzfzz (1)若若 为为 的简单极点，的简单极点，0z)(zf特别特别 .)()(,)(Res000zQzPzzf 则则 ,0)(,0)(,0)(000 zPzQzQ,)()()(zQzPzf(2)若若 且且 在在 点解析，点解析，)(,)(zQzP0z则则 P114法则法则 P114法则法则二、留数的计算方法二、留数的计算方法方法方法 3.极点极点 P115法则法则若若 为为 的的 m 阶极点，阶极点，0z)(zf6第五章 留数
5、及其应用 5.2 留数 二、留数的计算方法二、留数的计算方法3.极点极点 特别特别 .)()(,)(Res000zQzPzzf 则则 ,0)(,0)(,0)(000 zPzQzQ,)()()(zQzPzf(2)若若 且且 在在 点解析，点解析，)(,)(zQzP0z000)()()(limzzzQzQzPz )()()(lim,)(Res000zQzPzzzzfzz .)()(00zQzP 事实上，此时事实上，此时 为为 的简单极点，的简单极点，0z)(zf故有故有 7第五章 留数及其应用 5.2 留数 )(lim0,)(Res102zfzzfz 是是 的可去奇的可去奇 点，点，解解 0 z)
6、(1zf(1).00,)(Res1 zf和和 均为均为 的一阶极点，的一阶极点，0 z)(2zf(2)1 z11lim0 zz,1 zz1lim1.1 )()1(lim1,)(Res212zfzzfz 8第五章 留数及其应用 5.2 留数 (罗比达法则罗比达法则)是是 的三阶极点，的三阶极点，解解 0 z)(1zf(1)为为 的二阶极点，的二阶极点，0 z)(2zf(2)0,)(Res1zf 0lim!21z334coszzz 8cosz 0 z.81 0,)(Res2zf 0lim!11z324sinzzz 204sincoslimzzzzz .0 0limzzz4sin8sinlim0zz
7、 9第五章 留数及其应用 5.2 留数 )()(lim11zfzzzz ,)(Res1zzf?(麻烦麻烦)()(lim43221zzzzzzzzz 函数函数 有四个简单极点，有四个简单极点，解解 )(zf11,41eiz ,42eiz ,433eiz ,434eiz )1(42 zz1zz z41 1zz,414ei ,414ei,)(Res3zzf,4143ei ,)(Res4zzf.4143ei,)(Res2zzfz41 2zz 同理同理 10第五章 留数及其应用 5.2 留数 是是 的本性奇点，的本性奇点，解解 0 z)(zf.00,)(Res zf将将 在在 的去心邻域内洛朗展开，的去
8、心邻域内洛朗展开，0 z)(zfzzzf1cos)(2)(6422!61!41!211 zzzz,!61!41!21422 zzz有有 11第五章 留数及其应用 5.2 留数 是是 的本性奇点，的本性奇点，解解 0 z)(zf.230,)(Res zf将将 在在 的去心邻域内洛朗展开，的去心邻域内洛朗展开，0 z)(zf,1!211)(z)(32!31!2111)1(zzzze)1()(zzf z1有有 12第五章 留数及其应用 5.2 留数 是是 的本性奇点，的本性奇点，解解 1 z)(zf.11,)(Res zf将将 在在 的去心邻域内洛朗展开，的去心邻域内洛朗展开，0 z)(zf)(42
9、2)1(!41)1(!2111)1(2)1(zzzz11cos)(2 zzzf11cos)11(2 zz,11!212)(z有有 13第五章 留数及其应用 5.2 留数 )()(22!211111 zzzzz,)!31!2111(1 z是是 的一阶极点，的一阶极点，解解 1 z)(zf(1)1,)(Reszfe1lim1zzz1.e 是是 的的本性奇点本性奇点，0 z)(zf(2)z1e111zz e)1(1)(zzzfz1 0,)(Reszf)!31!2111(.e (证明是本性奇点证明是本性奇点?)?)14第五章 留数及其应用 5.2 留数 方法一方法一 利用洛朗展式求留数利用洛朗展式求留
10、数 解解 )(7536!71!51!311)(zzzzzzzf,!71!51!313 zzz.!510,)(Res zf将将 在在 的去心邻域展开，的去心邻域展开，0 z)(zf得得 15第五章 留数及其应用 5.2 留数 )(lim!210,)(Res30 zfzzfz.!51 由于由于 是是 三阶极点，三阶极点，0 z)(zf解解 方法二方法二 利用极点的留数计算法则求解利用极点的留数计算法则求解 5206cos6sin)12(lim!21zzzzzzz 0lim!21z3sinzzz !5cos2sin4coslim!2120zzzzzz (罗比达法则罗比达法则)因此有因此有 (好麻烦好
11、麻烦!)!)16第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 方法二方法二 利用极点的留数计算法则求解利用极点的留数计算法则求解 若若“不幸不幸”将将 判断成了判断成了 的的六阶六阶极点，极点，0 z)(zf)(ddlim)!16(10,)(Res6551zfzzzfz )sin(ddlim!51551zzzz )cos(lim!511zz .!51 巧合巧合?(非也非也!)!)注注 (1)此类函数求留数，可考虑利此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。用洛朗展式。(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
12、而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。17第五章 留数及其应用 5.2 留数 DC2znz1z三、三、留数定理留数定理 .,)(Res2d)(1 nkkCzzfizzf处处解析，在边界处处解析，在边界 C 上连续，上连续，定理定理 设设 在区域在区域 D 内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点 外外 )(zfnzzz,21注意注意 只需计算积分曲线只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。所围成的有限区域内奇点的留数。1c2c1c如图，将孤立奇点用含于如图，将孤立奇点用含于 D 内且内且 证明证明 互不重叠的圆圈包围起来，互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有根据复合闭路定理有
13、Czzfd)(kcnkzzfd)(1.,)(Res21 nkkzzfi则则 P113定理定理 5.7 18第五章 留数及其应用 5.2 留数 .00,)(Res zf解解 被积函数被积函数 在在 内有两个奇点：内有两个奇点：)(zf2|z可去奇点可去奇点 一阶极点一阶极点 ,0 z,1 z)(1,)(Res0,)(Res2zfzfiI )()1(lim1,)(Res1zfzzfz .1sin2.1sin22i 221sinlimzzz P116 例例5.21 19第五章 留数及其应用 5.2 留数 )(lim0,)(Res0zfzzfz 解解 被积函数被积函数 在在 内有两个奇点：内有两个奇点
14、：)(zf2|z一阶极点一阶极点 二阶极点二阶极点 ,0 z,1 z20)1(lime zzz.1)(1,)(Res0,)(Res2zfzfiI 21)1(limezzzz )()1(ddlim)!12(11,)(Res21zfzzzfz dlim1zzezzd.0.2 i 20第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 被积函数被积函数 的奇点为的奇点为 )(zf,21 kzk,2,1,0 k但在但在 内只有两个内只有两个简单级点简单级点：1|z,210 z,211 z,)(Res0zzf0zz)(cose zzzzsine 0zz,121e ,)(Res0zzfzzsine 1zz,121e
15、 iI221e1 21e1.21sh4i 21第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 被积函数被积函数 在在 内有两个奇点内有两个奇点：)(zfz|,)(Res1zzf1zz)sin22(cose zzzzcos2cose 1zz,2222e ,)(Res0zzfzzcos2cose 2zz.22sh22i ,41z ,432z 简单级点简单级点 ,2222e iI222e22 22e22 22第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 ,1sin)(zzzf令令 1 z为为 的本性奇点，的本性奇点，)(zf将将 在在 内展开为洛朗级数：内展开为洛朗级数：|1|0z)(zf,1cos1,)(R
16、es zf.1cos2 iI )(111sin)(zzf11sin1cos11cos1sin zz)(42)1(!41)1(!2111sin zz,)1(!31111cos)(3 zz23第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 ,)1(1)(2101zzzf 令令 0 z为为 的的 101 阶极点。阶极点。)(zf将将 在在 内展开为洛朗级数：内展开为洛朗级数：1|0 z)(zf 021011)(nnzzzf,111299101 zzzzz,10,)(Res zf0,)(Res2zfiI .2 i 24第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 方法一方法一 利用极点的留数计算法则求解利用极点
17、的留数计算法则求解 (罗比达法则罗比达法则)为被积函数为被积函数 的二阶极点，的二阶极点，0 z)(zf0,)(Reszf 0lim!11z321ezzz 201limeezzzzz 2lime0zz.21 0limzzz1e 0,)(Res2zfiI .i 方法二方法二 利用高阶导数公式求解利用高阶导数公式求解 )1(lim!212e0 zziI.i 25第五章 留数及其应用 5.2 留数 方法三方法三 利用洛朗展式求解利用洛朗展式求解 解解 )(1!41!31!2111)(4323 zzzzzf,!41!311!21 zz.21!210,)(Res zf将被积函数将被积函数 在在 的去心邻
18、域展开，的去心邻域展开，0 z)(zf0,)(Res2zfiI .i 26第五章 留数及其应用 5.2 留数 DD C 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 设想设想 如图，设如图，设 C 是一条简单闭曲线，是一条简单闭曲线，一一般说来般说来,闭路积分只与该闭路所包围的区域内的奇点闭路积分只与该闭路所包围的区域内的奇点 有关，但为什么又要引入无穷远点的留数呢？有关，但为什么又要引入无穷远点的留数呢？将曲线将曲线 C 围成的区域记为围成的区域记为 D，而曲线而曲线 围成的区域记为围成的区域记为 C.D甚至只有无穷远点甚至只有无穷远点 为奇点，为奇点，.d)(d)(CCzzfzzf则则
19、 如果区域如果区域 D 内的奇点很多，内的奇点很多，显然比计算等式显然比计算等式左边左边的积分要的积分要“省心省心”的多。的多。则计算等式则计算等式右边右边的积分的积分 D但区域但区域 内的奇点很少，内的奇点很少，C27第五章 留数及其应用 5.2 留数 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 )(zf定义定义 如果函数如果函数 在无穷远点在无穷远点 的去心邻域的去心邻域 )(zf|)(|zfR内解析，则称内解析，则称点点 为为 的孤立奇点的孤立奇点。则点则点 对应于点对应于点 z,0 相应地，相应地，fzf)(1记为记为 ,)(因此，因
20、此，函数函数 在无穷远点在无穷远点 的的性态性态可由可由 )(zf z函数函数 在原点在原点 的的性态性态来刻画。来刻画。)(0 手段手段 令令 ,z 1P108 P108定义定义 5.3 28第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 令令 ,1 z记为记为 ,)(则则 1 fzf)(1sin1 均为均为 的奇点，的奇点，,k k1,0 ,2,1,0 k可知可知 )(由于由于 不是不是 的孤立奇点，的孤立奇点，0 )(因此因此 不是不是 的孤立奇点。的孤立奇点。)(zf zP111 例例5.13 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 2
21、9第五章 留数及其应用 5.2 留数 记为记为 ,)(解解 令令 ,1 z则则 fzf)(1由于由于 是是 的可去奇点，的可去奇点，0 )(因此因此 是是 的可去奇点。的可去奇点。)(zf z 111 12)1(22 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 P110 例例5.10 30第五章 留数及其应用 5.2 留数 记为记为 ,)(解解 令令 ,1 z则则 fzf)(1由于由于 是是 的一阶极点，的一阶极点，0 )(因此因此 是是 的一阶极点。的一阶极点。)(zf z)1(12 11 12 1试判断奇点试判断奇点 的类型。的类型。,1
22、1)(2zzzf 设设 z例例 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 31第五章 留数及其应用 5.2 留数 记为记为 ,)(由于由于 是是 的本性奇点，的本性奇点，0 )(因此因此 是是 的本性奇点。的本性奇点。)(zf z解解 令令 ,1 z则则 fzf)(1e 1试判断奇点试判断奇点 的类型。的类型。,)(ezzf 设设 z例例 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 P111 例例5.12 32第五章 留数及其应用 5.2 留数 R 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远
23、点的留数 2.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 ,d)(21,)(Res Czzfizf域域 内解析，内解析，设函数设函数 在圆环在圆环 定义定义 )(zf|zR其中，其中，C 为为 .|Rz ,d)(21,)(Res0 czzfizzf其中，其中，c 为为.|rz函数函数 在在“有限有限”孤立奇点孤立奇点 的留数为的留数为:对比对比 )(zf0z则则 在在 点的留数点的留数为：为：)(zf5.2 留数 CC0z crP117定义定义 5.5 无穷远点的留无穷远点的留数的完整介绍数的完整介绍33第五章 留数及其应用 5.2 留数 四、函数在
24、无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 2.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数 1.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态 如何计算在无穷远点的留数如何计算在无穷远点的留数？推导推导 如图，如图，公式公式 .0,Res f,)(Res zfz1z12则则 ,)(Res zf cfi d21 1 12 .0,Res fz1z12,z 1令令 0 CCc1 1,d)(21,)(Res Czzfizf已知已知 P118 法则法则 34第五章 留数及其应用 5.2 留数 四、函数在无穷远点的留数四、函数在无穷远点的留数 2.函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态函数在
25、无穷远点的性态 在无穷远点的留数有何用处在无穷远点的留数有何用处？.0,)(Res,)(Res1 nkkzfzzf则则 定理定理 设设 在扩充平面上除有限个孤立奇点在扩充平面上除有限个孤立奇点 )(zf,21nzzz nkkzzf1,)(Res证明证明 如图，如图，则则 Czzfizfd)(21,)(Res Czzfid)(21外处处解析，外处处解析，即证。即证。CC1z2z3znz,|maxkkz 令令 充分大，即充分大，即 P117定理定理 5.8 35第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 函数函数 在在 内内 1)(43 zzzf2|z 30,)(Res2kkzzfiI,)(Res2
26、 zfi 0,Res2 fiz1z120,)1(1Res24zzi .2 i,42eikkz ,3,2,1,0 k有四个一阶极点有四个一阶极点 由留数定理有由留数定理有 1C22 36第五章 留数及其应用 5.2 留数 解解 ,52eikkz ,4,3,2,1,0 k 40,)(Res2kkzzfiI.)(,)(Res3,)(Res2 zfzfi(1)函数函数 在在 内有五个一阶极点内有五个一阶极点 2|z)3()1(1)(35 zzzf1C22 3由留数定理有由留数定理有 37第五章 留数及其应用 5.2 留数 (2)解解 )(,)(Res3,)(Res2 zfzfiI 0,Res2,)(R
27、es fizfz1z120,)31()1(Res23514zzzi .0)()3(lim3,)(Res3zfzzfz ,)13(135 35)13(2 i.141724882 i 38第五章 留数及其应用 5.2 留数 休息一下39第五章 留数及其应用 5.2 留数 R CC0 r1Rc 1附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 回顾回顾 则则 对应于对应于 z,0 相应地，相应地，fzf)(1记为记为 ,)(因此，因此，函数函数 在无穷远点在无穷远点 的的性态性态可由可由 )(zf z函数函数 在原点在原点 的的性态性态来刻画。来刻画。)(0
28、 令令 ,z 1,z1即即 Rz|,|r 对应于对应于 40第五章 留数及其应用 5.2 留数 cni d)(211 R CC0 r1Rc 1附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?)(zf,)(1011 aaaaNN由由 在原点在原点 的邻域的邻域 内的洛朗展式：内的洛朗展式：)(0 r|0,)(1101 zbbzbzbzfNN得得 在无穷远点在无穷远点 的邻域的邻域 内的洛朗展式：内的洛朗展式：z)(zf|zR其中，其中，nnab .),2,1,0(n Cnzzzfid)(
29、21141第五章 留数及其应用 5.2 留数 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 )(zf,)(1011 aaaaNN,)(1101 zbbzbzbzfNN(1)可去奇点可去奇点：(2)N 阶极点阶极点：(3)本性奇点本性奇点：无穷远点的奇点类型的划分无穷远点的奇点类型的划分 不含正幂项；不含正幂项；含有限多的正幂项含有限多的正幂项,且最高幂次为且最高幂次为 N，含有无穷多的正幂项。含有无穷多的正幂项。;)()(zzzfN 此时，此时，42第五章 留数及其应用 5.2 留数
30、 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 )(zf,)(1011 aaaaNN,)(1101 zbbzbzbzfNN(1)可去奇点可去奇点：(2)N 阶极点阶极点：(3)本性奇点本性奇点：无穷远点的奇点类型的判别无穷远点的奇点类型的判别 不含正幂项；不含正幂项；含有限多的正幂项含有限多的正幂项,且最高幂次为且最高幂次为 N，含有无穷多的正幂项。含有无穷多的正幂项。)(limzfz不存在且不为不存在且不为 .czfz)(lim(常数常数)；;)(lim zfz;)()(zzzfN
31、 此时，此时，43第五章 留数及其应用 5.2 留数 函数函数 在无穷远点的邻域内的洛朗展式在无穷远点的邻域内的洛朗展式?附：附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义 )(zf,)(1011 aaaaNN,)(1101 zbbzbzbzfNN 函数函数 在在无穷远点的留数无穷远点的留数 )(zf R CC0 r1Rc 1(两边沿两边沿 C 积分积分)称称 为函数为函数 在在无穷远点的无穷远点的 1 b定义定义 )(zf留数留数。nb,d)(211 Cnzzzfi由由 .d)(211 Czzfib有有 (返回返回)44第五章 留数及其应用 5.2 留数
32、 附：附：留数留数(Residu)的产生的产生 柯西在柯西在“求沿着两条有相同起点与终点且包围着求沿着两条有相同起点与终点且包围着 函数极点的路径积分之差函数极点的路径积分之差”时得到了这个概念。时得到了这个概念。这也是使用该名称的缘故。这也是使用该名称的缘故。1829年年 柯西创建了留数理论。柯西创建了留数理论。1814年年 柯西第一个注意到了留数的概念。柯西第一个注意到了留数的概念。(即即留数留数、残数残数、剩余剩余)这个术语。这个术语。1826年年 柯西在他的研究报告中首次使用了柯西在他的研究报告中首次使用了“residu”(返回返回)45第五章 留数及其应用 5.2 留数 若若 为为
33、的的 m 阶极点，阶极点，0z)(zf,)()()(010010 zzaazzazzazfmm)()(0zfzzn,)()()!1()()(dd01011zzzanzfzzznnn 附：附：关于极点的留数计算法则的说明关于极点的留数计算法则的说明 ,)()()(001010 nnmnmzzazzazza(其中其中 )mn .)()(ddlim)!1(101110zfzzznannnzz (其中其中 )mn 则则 (返回返回)46第五章 留数及其应用 5.2 留数 (罗比达法则罗比达法则)附：附：关于关于 是是 的本性奇点的本性奇点 e)1(1)(zzzfz10 z 只需考察只需考察 即即 不存在且不等于不存在且不等于 e1lim0zzz1 elim.(1)e0lim yxxxxelim,令令 ,yix (2)e0lim yxxxxelim.0 ttt e)(limtttelim tte1lim 故故 不存在且不等于不存在且不等于 elim.则则 (返回返回)
