1、课件 一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.复积分的基本定理；复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算课件 二、内容提要二、内容提要有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数课件 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选
2、定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那末我们就把那末我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,.C记为记为1.1.有向曲线有向曲线课件2.2.积分的定义积分的定义,)(110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 n
3、zkz1 kz2z1zk C1 2,),2,1(1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段 课件,)()()(111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2,max 1knks 记记,11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz (,0 时时无限增加且无限增加且当当 n ,)(,记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfSCnk.)(limd)(1knkknCzfzzf 课件3.3.积分存在的条件及计算积
4、分存在的条件及计算（1 1）化成线积分）化成线积分且且存在存在则积分则积分连续连续沿逐段光滑的曲线沿逐段光滑的曲线设设,d)(,),(),()(CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则课件4.积分的性质积分的性质;d)(d)()1(CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)
5、(d)(d)()()3(CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连结而成连结而成由由设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)5(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线课件5.柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理).d)(,)(无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC.0d)(:)(,)(czzfCBzfBz
6、f的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数课件).()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函数解析函数内的一个内的一个必为必为那末函数那末函数析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C课件6.6.原函数的定义原函数的定义.)()(,)()(,)()(的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如
7、果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)(d)()(0的一个原函数的一个原函数是是因此因此zffzFzz .)(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf.,)()(d)(,)()(,)(100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz (牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)课件7.7.闭路变形原理闭路变形原理,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的
8、简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末课件).,:(,2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC.0d)()2(zzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf课件8.柯西积分
9、公式柯西积分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.则有则有是圆周是圆周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf课件 9.高阶导数公式高阶导数公式.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线
10、线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 课件.),(0,),(2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 10.调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.课件.,的共轭调和函数的共轭调和函数
11、称为称为和函数中和函数中的两个调的两个调内满足方程内满足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,.),(),(,),(的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为函数函数内构成解析函数的调和内构成解析函数的调和在在们把使们把使我我内给定的调和函数内给定的调和函数为区域为区域设设yxuyxvDivuDyxu 定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数轭调和函数.共轭调和函数共轭调和函数课件 三、典型例题三、典型例题例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：与从与从 到到 的线段
12、的线段 所接成的折线所接成的折线.czzd)0,0()1,1(;10,ttytx)0,0()0,1(,10,0,:1 tytxC)0,1()1,1(10,1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1,1()0,1(C1C2COxy;1 课件zzzzzzcccddd)221 1010d)1(dtiittt i2121.1i 说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.课件，因为因为21 z22111 zzz所以所以221 z,2 因此因此zzzzzzccd11d11 证证.8222 例例2 2 设设C为圆周
13、为圆周 证明下列不等式证明下列不等式.21 z.8d11 czzz课件解解222442zzzz ,1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例3 3 计算计算1 z当当 时时,故由柯西积分定理得故由柯西积分定理得.0d42)1cos(21001 zzzzzz课件计算以下积分计算以下积分沿指定路径沿指定路径23:izC例4例4 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzz
14、zzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222课件 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古萨基本定理及重要公式古萨基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西-古萨基本定理有古萨基本定理有,0d1211 zizC,0d1211 zizC,0d12 zzC,0d1212 zizCyxOi i C2C1C课件 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212.i 课件 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(
15、1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii.i 课件由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析内解析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得课件 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzz
16、izizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 课件.10,d)1(3光滑曲线光滑曲线的闭的闭与与是不经过是不经过其中其中计算计算CzzzeCz 例5例5解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也不包含也不包含既不包含既不包含若封闭曲线若封闭曲线,10)1C,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz .0d)1(3 Czzzze古萨基本定理得古萨基本定理得由柯西由柯西课件则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线,10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzez
17、zzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 课件则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线,01)3C,)(内解析内解析在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(!22fi 132)22(zzzezzi.ie 课件,01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1,0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据复合闭路定理有据复合闭路定理有 Czzzzed)1(3 21
18、d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C课件 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分课件解解0)1(1)1()!1(2d)1(znznnizz;0 0)1(1)()!1(2d)2(znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 为大于为大于1的自然数的自然数.n 例例6 6 计算下列积分计算下列积分所以所以的奇点的奇点和和是是因为因为,10nznzezz 课件).,()
19、,()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及解析函数及解析函数轭调和函数轭调和函数求其共求其共已知调和函数已知调和函数例7例7解法一解法一 不定积分法不定积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又课件,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为任意常数为任意常数因此因此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222i
20、Cyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 课件 解法二解法二 线积分法线积分法.),()0,0(),(d),(yxCyxvyxv因因为为 ),()0,0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0(yxCyxuxyu ),()0,0(d)2(d)2(),(yxCyyxxxyyxv所所以以 )0,()0,0()0,()0,0(d)2(d)2(xxyyxxxy ),()0,(),()0,(d)2(d)2(yxxyxxCyyxxxy课件 xyCyyxxx00d)2(d)0(),(22222为任意常数为任意常数CCyxyx 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(y
21、xiyxuzf .2)2(2iCiz Cyyxxxyxxyyx d)2(d)2(000课件解法三解法三 全微分法全微分法yyvxxvvddd 因为因为yxuxyudd yyxxxyd)2(d)2()dd()dd(2xxyyyxxy 22d)(d222xyxy,222d22 xyxy)(222),(22为任意常数为任意常数所以所以CCxyxyyxv 得得代入代入ivuzf )(.)2(2)(2iCizzf 课件解解xuyv 因为因为yyxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因为因为)666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(.0)0(f例例8 8 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件,312322yxyx 课件)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0(f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且,0 C放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.课件
