1、4.1 4.1 复数的概念复数的概念 Ssxxcyh 4.1 复数的概念复数的概念知识回顾知识回顾 对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程 ，当时，当时 ，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？02 cbxax042 acb解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构
2、成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是
3、无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数4.1 复数的概念复数的概念自然数自然数 有理数有理数整数整数无理数无理数实数实数 复数复数数系的扩充数系的扩充4.1 复数的概念复数的概念引入一个新数引入一个新数 ，叫
4、做叫做虚数单位虚数单位，并规定：，并规定：ii （1）它的平方等于它的平方等于-1，即，即 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立的加、乘运算律仍然成立 12 i形如形如 的数，叫做复数的数，叫做复数)R,(babia全体复数所形成的集合叫做复数集，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母一般用字母C表示表示.N Z Q R CNZQR新授课新授课很明显,引进虚数单位后,有 i 2=-1,(-i)2=i 2=-1,所以方程 x2=-1 的解是 x=I虚数单位的幂的性质:i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+
5、2=-1,i 4n+3=-i (nN)以上性质叫 i 的周期性.4.1 复数的概念复数的概念新授课新授课复数的表示：复数的表示：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即),(Rbabiaz 当当 时，时，z 是实数是实数a0 b当当 时，时，z 叫做虚数叫做虚数0 b当当a=0且且 时，时，z=bi 叫做纯虚数叫做纯虚数0 b实部实部虚部虚部复数复数复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般
6、地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.b Z(a，b)a o y x点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复
7、数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.z=a+bi(a、bR)是复数
8、的代数表示法zabi 一一对应(,)Z a b共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）（2）复数z的共轭复数用 表示若 z=a+bi(a、bR)，则z=abi（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称例例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？例例2 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？例例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？例例4已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y.iiii
9、53,31,213,32课堂练习课堂练习：1.设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的是()A.AB=C B.A=B C.AB=D.BB=C2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满足()A.x=B.x=2或 C.x2 D.x1且x221213.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，则实数m的值为()A.1 B.1或4 C.6 D.6或14.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_.5.复数z=a+bi，z=c+di(a、b、c、dR)，则z=z的充要条件是_.6
10、.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，求m的值.7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.8.已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.1)2(mmm214.1 复数的概念复数的概念例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？immz)1(1 解解：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数01 m1 m（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数
11、是虚数01 m1 m（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复数时，复数z 是是01 m01 m1 m纯虚数纯虚数新授课新授课小结小结：1在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。2复数集与复平面上的点注意事项：（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上
12、。（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。英文英文calculate（计算）一词是从希腊文计算）一词是从希腊文calculus（石卵）石卵）演变来的。中国古藉易系辞中说：上演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治，古结绳而治，后世圣人易之以书契。后世圣人易之以书契。直至直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。理论。自然数自然数返回返回 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算零
13、不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命数法中的零（数法中的零（zero）来自印度的（来自印度的（sunya）字，其原意也是字，其原意也是空或空白。空或空白。中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的了负整数的引入。减法运算可看作求解方程引入。减法运算
14、可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然数，是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。然数系扩大为整数系。整数整数返回返回分分 数数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部八部对对“分分”的解释：的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合合分术分术”有云：有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。实如法而一。不满法者，以法命之
15、。”这句这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。个分数。古埃及人约于公元前古埃及人约于公元前1717世纪已使用分数。世纪已使用分数。返回返回 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进引进无理数。约在公元前无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的的正方形的对角线的长度（即正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。）不能是有理数。1
16、5世纪达芬奇（世纪达芬奇（Leonardo da Vinci,1452-1519）把它把它们称为是们称为是“无理的数无理的数”（irrational number），），开普勒（开普勒（J.Kepler,1571-1630）称它们是称它们是“不可名状不可名状”的数。的数。法国数学家柯西（法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：无给出了回答：无理数是有理数序列的极限。理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用到用“无限不循环小数无限不循环小数”来定义无理
17、数，这也是直至来定义无理数，这也是直至1919世纪世纪中叶以前的实际做法。中叶以前的实际做法。2无理数无理数返回返回 实数系的逻辑基础直到实数系的逻辑基础直到1919世纪世纪7070年代才得以奠定。从年代才得以奠定。从1919世纪世纪2020年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（理论。在这方面，外尔斯特拉斯（18591859年年 开始）、梅雷开始）、梅雷（18691869）、戴德金（）、戴德金（187218
18、72）与康托尔（）与康托尔（1872 1872）作出了杰出的）作出了杰出的贡献。贡献。实数实数返回返回复数复数 从从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。平方的问题。卡尔达诺在大法（卡尔达诺在大法（1545）中阐述一元三次方程解法时，发）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是数运算的几何表示，是18世纪末到世纪末到19世纪世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又年提出了四元数的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更有序对定义了八元数。它们都被称为超复数，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。返回返回
