1、第二章第二章 解析函数解析函数1 解析函数的概念2 函数解析的充要条件3 初等函数11 解析函数的概念解析函数的概念1.复变函数的导数与微分2.解析函数的概念21.复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分zzfzzfz)()(lim000存在,则就说 f(z)在z0可导,此极限值就称为 f(z)在在 z00000()()d()lim.d|z zzf zzf zwfzzzi)导数的定义导数的定义定义 设函数 w=f(z)定义于区域D,z0为D中一点,点的导数的导数,记作0zz不出D的范围。如果极限3也就是说,对于任给的000()()().f zzf zfzz时,有0()0 0z,存在,使得当00
2、()()f zzf zz应当注意,定义中任意的,定义中极限值存在的要求与无关,也就是说,当都趋于同一个数。若 f(z)在D内处处可导,就说 f(z)在在内可导内可导。00zzz 0z 00zzz 0zz(即)的方式是的方式在区域D内以任何方式趋于z0时,比值42200()()()limlimzzf zzf zzzzzz所以例例1 求 f(z)=z2 的导数。解解 因为0lim(2)2.zzzz()2.fzz50()()limzf zzf zz例例2 问 f(z)=x+2yi 是否可导？解解02limzxyixyi0()2()2limzxxyy ixyizzz设沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，
3、因而0y 这时极限002limlim1.zxxyixxyix6zz设沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而0y 这时极限0022limlim2.zyxyiyixyiyi所以 f(z)=x+2yi 的导数不存在。设沿着平行于 y轴的直线趋向于 z，因而这时极限002limlim1.zxxyixxyixzz0 x 7ii)可导与连续可导与连续000()()()f zzf zfzz容易证明,在z0点可导的函数必定在z0点连续连续。事实上,由在z0点可导的定义，对于任给的相应地有一个令则000()()()()f zzf zzfzz0lim()0zz0,0,使得当0 z时,有8000lim()()zf
4、zzf z由此得所以即在连续连续。000()()()()f zzf zfzzzz0z()f ziii)求导法则求导法则 与实函数相同,复变函数也有类似的求导公式与法则，罗列如下：1)()0c ,其中c为复常数。,其中n为正整数。12)()nnznz 9f zg z fzf z g zg zg zgz2()15)()()()(),()0()()1)()0c ,其中c为复常数。,其中n为正整数。12)()nnznz。3)()()()()f zg zfzg z4)()()()()()()f z g zfz g zf z g z。6)()()()f g zfw g z。()wg z，其中17)()()
5、fzw，其中w=f(z)与()zw是两个互为反函数的单值函数，且()0w。10iv)微分的概念微分的概念0lim()0,zz小量,而设函数w=f(z)在z0可导,则有000()()()(),wf zzf zfzzzz其中因此,如果函数在z0的微分存在,则称函数函数 f(z)在在z0可微可微。()zz是 z的高阶无穷的线性部0()fzz是函数w=f(z)的改变量w分,称为函数w=f(z)在点在点z0的微分的微分,记作0(),dwfzz11即|0dd)(zzzwzf由此可见,函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的。特别,当f(z)=z时,得dzz。于是上式可变为0(),dwfz dz若f(
6、z)在区域D内处处可微,则称 f(z)在在D内可微内可微。122.解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数 f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,则称 如果 f(z)在 z0不解析,则称 z0为 f(z)的奇点奇点f(z)在z0解析解析,若 f(z)在区域D内每一点解析,则称 f(z)在D内解析,或称 f(z)是 D内的一个解析函数解析函数(全纯函数全纯函数或由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是,函数在一点处解析和在一点处可导不等价。即,函数在一点处可导,不一定在该点处解析。函数在一正则函数正则函数)点处解析比在该点处可导的要求要高得多。13220000()()|h
7、zzh zzzzzz例例3 研究函数解解0000()()zz zzz zz2(),()2f zzg zxyi2()|h zz和的解析性。由解析函数的定义与前面的例题可知，2()f zz在复平面内是解析的，而()2g zxyi却是处处不解析的。下面研究2()|h zz的解析性。由于00,zzzzz 14如果00z 0z 00z 0zz00()yyk xx，那么当时，上式的极限是零。如果，令沿直线趋于0z0z 1111yizxyikixyzxyikiix 00()()h zzh zz，由于k 的任意性，不趋于一个确定的值。所以当的极限不存在。时，因此，2()|h zz仅在 z=0 处可导，而在其他
8、点都不可导，由定义，它在复平面内处处不解析。15例例4 研究函数解解1wz的解析性。因为w在复平面内除点z=0外处处可导，且21,dwdzz 所以在除 z=0外的复平面内，函数1wz处处解析，而z=0是它的奇点。16所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析解析。2)设 h=g(z)在 z平面上的区域 D内解析,w=f(h)在 h平面上的区域 G 内解析。如果对D内的每一个点 z,g(z)对应值 h 都属于G,则复合函数 w=f g(z)在D内有理分式函数 P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点。根据求导法则
9、可知：定理定理 1)在区域D内解析的两个函数 f(z)与g(z)的解析。172 函数解析的充要条件函数解析的充要条件18在工程中,往往是要用复变函数来解决实际问题。而实际问题中遇到的复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来的。即,如果原来有一个实变函数 f(x)，自变量是实数,函数值也是实数,则将x用一个复数代替，就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数。事实上我们只关心这样的复变函数。比如说实变函数经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数。2()1f xxx2()1f zzz,则相应的延拓的复变函数就是19件。设 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,
10、y)定义在区域D内,()()()()f zzf zfzzzz 且在D内一点z=x+iy可导。，有0lim()0zz 判断一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义，往往比较困难。因此，需要寻找判断函数解析的简便方法。先考察函数在一点可导一点可导(或可微或可微)应当满足什么条|0zxi y 其中则对于充分小的2012()()()()ui vaibxi yixi y 令。由上式得()(),(),f zzf zui vfzaib 12()zi1221()()a xb yxyi b xa yxy 12ua xb yxy 从而有21vb xa yxy 由于0lim()0zz 120000lim0,lim
11、0 xxyy ，所以。因此得知 u(x,y)和 v(x,y)在(x,y)可微，而且满足方程21,uvuvabxyyx 这就是函数 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z=x+iy可导的必要条件必要条件。而且满足方程,uvuvxyyx 方程称为柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程。实际上，这个条件也是充分的。且也有下面的定理：22定理一定理一 设函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)定义在区域D内,而 f(z)在D内一点 z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西柯西-黎曼黎曼(
12、Cauchy-Riemann)方程方程。,uvuvxyyx 证证 条件的必要性上面已经证明,下面证充分性。充分性充分性由于()()(,)(,)f zzf zu xx yyu x y23这里充分性充分性由于又因为u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，可知12,uuuxyxyxy ()()(,)(,)f zzf zu xx yyu x y34,vvvxyxyxy 00lim0(1,2,3,4).kxyk (,)(,)i v xx yyv x y,ui v 241324()().ixiy 因此()()()()uvuvf zzf zixiyxxyy 根据柯西-黎曼方程2,uvvvuiyxxyx
13、 所以()()()()uvf zzf zixi yxx 1324()().ixiy 25或13()()()f zzf zuvxiizxxz24().yiz最后两项都趋于零。因此这就是说,函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处可导0()()()lim.zf zzf zuvfzizxx 因为1,1xyzz，故当z趋于零时，上式右端的26根据函数在区域内解析的定义及定理一，就可得由定理一可得函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点1().uvuvfzixxiyyz=x+i y 处的导数公式：到判断函数在区域D内解析的一个充要条件。定理二定理二 函数 f(z)=u(x,
14、y)+i v(x,y)在其定义域D内解析的充要条件充要条件是 u(x,y)与 v(x,y)在D内可微,并满足柯西-黎曼方程。27这两个定理是本章的主要定理。不但提供了判断函数 f(z)在某点是否可导，在区域内是否解析的常用办法，而且给出了一个简洁的求导公式。是否满足柯西-黎曼方程是定理中的主要条件。如果 f(z)在区域D内不满足柯西-黎曼方程，那么，f(z)在D内不解析；如果在D内满足柯西-黎曼方程,且u和v具有一阶连续偏导数,那么,f(z)在D内解析。对于f(z)在一点z=x+iy的可导性，也有类似的结论。28例例1 判断下列函数在何处可导,在何处解析：1);2)()(cossin);3)R
15、e()xwzf zeyiywzz1,0,0,1yvxvyuxu解解不可导,处处不解析。,ux vy 1)因为可知柯西-黎曼方程不满足,所以wz在复平面内处处292)因为yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cosee cos,e sin,xxuy vy柯西-黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以 f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且有()(cossin)()xfzeyiyf z从而,uvuvxyyx;()(cossin);Re(3)1)2)xwzf zeyiywzz解解例例1 判断下列函数在何处可导,在何处解析：303)由容易看出，这四个偏导数处处连续，但仅
16、当x=y=0时，2,0,.uuxxyvvyxxy2Re()wzzxixy2,ux vxy,得,所以才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在z=0可导，但在复平面内任何地方都不解析。;()(cossin);Re(3)1)2)xwzf zeyiywzz解解例例1 判断下列函数在何处可导,在何处解析：311)因为226,00,9uuxxyvvyxy332,3,ux vy时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数在直线63 yx从而仅当2223xy332()23;(12)f zxiyf zxiy解解例例 判断下列函数在何处可导,在何处解析：上处处可导，而在复平面上处处不解析。322)因为2,00,1uuxxyvvx
17、y 2,ux vy 时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数在直线12x 从而仅当12x 332()23;(12)f zxiyf zxiy解解例例 判断下列函数在何处可导,在何处解析：上处处可导，而在复平面上处处不解析。33例例2 设函数 问常数a,b,c,d 取何值时,f(z)在复平面内处处解析?解解 由于 从而要使只需因此,当内处处解析,这时2,2,xyuxayuaxby2,2,xyvcxdyvdxy,xyyxuvuv 22,22.xaydxycxdyaxby 2222()2(2)f zxxyyixxyy22(1)()(1)i xiyi z2,1,1,2abcd 时,此函数在复平面2222()(
18、)f zxaxybyi cxdxyy34例例 设函数 问常数a,b,c 取何值时,f(z)在复平面内处处解析?解解 先求 从而要使只需，因此,2,2,xyuxauyb 3,2,xyvcyvcx,xyyxuvuv 22,23.xacxybcy 22()(23)(232)f zxyxyixyxy223zziz22()()(32)f zxyaxbyi cxyxy2,3,2.abc 所以，有35例例 设解析函数 的实部解解 由于 又函数解析，则有即对求v关于y的偏导数，得2,2,xyuxuy,xyyxuvuv 2,2,xyvyvx()0,y222()(2)f zxyixyCziCxv积分得()(,)(
19、,)f zu x yiv x y22uxy，那么求 f(z)。2()vxyy2()yvxy则即(),yC所以有36例例3 如果0uuvvxyxy所以u=常数,v=常数,因而 f(z)在D内是常数。证证 因为()fz在区域D处处为零,则 f(z)在D内为()0uvvufziixxyy故一常数。37例例4 如果 f(z)=u+iv为一解析函数，且 f(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2为证证 由于如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为利用柯西-黎曼方程得和1xykuu 2,xykvv()0,yyfz
20、iuv 故 uy与 vy不全为零。12()()()()1yyxxyyyyvuuvk kuvuv 常数。38例例4 如果 f(z)=u+iv为一解析函数，且 f(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2为因此，二曲线族互相正交。如果uy与vy其中有一个为零，则另一个必不为零,此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交。12()()()()1yyxxyyyyvuuvk kuvuv 常数。证证 利用柯西-黎曼方程得393 初等函数初等函数.指数函数.对数函数.乘幂与幂函数ba.三角函数与双曲函数.反三角函数与反双曲函数401.指数函数指数函数内也能
21、定义一个函数 f(z)具有ex的三个性质三个性质:i)f(z)在复平面内解析;前面的例题中已经知道,函数是一个在复平面处处解析的函数,且有时,f(z)=ex。f(z)称为指数函数指数函数。记作实函数中的指数函数是很特殊的,希望能够在复平面ii)f(z)=f(z);iii)当Im(z)=0时,f(z)=ex,其中x=Re(z)。()(cossin)xf zeyiy()()fzf z,当y=0exp(cossin)xzeyiyze41等价于关系式：exp,xzeArg(exp)2(zykk为整数)由上式可知12121122expexp(cossin)(cossin)xxzzeyiyeyiy事实上,
22、设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有exp0z 12exp()zz1212(sincoscossin)iyyyy121212cos()sin()xxeyyiyy121212(coscossinsin)xxeyyyy跟ex一样,exp z也服从加法定理：加法定理：1212expexpexp()zzzz42鉴于exp z满足条件iii)，且加法定理也成立，为了方便，往往用ez代替exp z。但必须注意，这里的ez 没有幂的意义，仅仅作为代替exp z的符号使用，因此就有由加法定理,可以推出exp z的周期性。,即特别,当x=0时,有(cossin).zxeeyiycossiniyey
23、iy22zk izk izeeee其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。2k i它的周期是432.对数函数对数函数所以和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反函数。将满足方程0wezzln|Argwziz的函数w=f(z)称为对数函数对数函数。令,则,iwuiv zreu iviereln,ur v由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w=f(z)为多因此值函数，并且每两个值相差的整数倍,记作2 iLnln|Argzziz44Lnln|Argzziz如果规定上式中的Arg z取主值arg z，则Ln z为一单值函数，记作ln z,称为Ln z的主值主值,因此有lnln|argzz
24、iz表达。对于每一个固定的k，上式为一单值函数,称为Ln z的一个分支分支。而其余各值可由特别,当z=x 0时,Ln z的主值ln z=ln x,就是实变Lnln2(1,2,)zzk ik 数对数函数。45例例1 求Ln 2,Ln(-1)以及它们相应的主值。解解 因为Ln2ln22k i,所以它的主值就是ln2。Ln(1)ln1(1)(21)iArgki而(k为整数),所以它的主值是。ln(1)i不再成立。而且正实数的对数也是无穷多值的。在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内1122LnLnLnzzzz利用幅角的性质不难证明，复变数对函数函数保持1 212Ln()LnLnz zzz了实
25、变数对数函数的基本性质：46例例 求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它们相应的主值。解解 因为Ln()i所以它的主值就是Ln(34)i 而(k为整数),所以它的主值是Ln(34)i,ln5(34)iArgi ln()2ii 4ln5(2arctan)3ik4ln5(arctan)3i22ik i ln1(2)2ik471LnLnnzzn但应注意，与第一章中关于乘积和商的辐角等式体是相同的，还应注意的是，等式：LnLn,nznz不再成立，其中n为大于1的正整数。一样，这些等式也应理解为两端可能取的函数值的全对数函数的解析性对数函数的解析性 就主值ln z而言,其中ln|z|除原点外在其它点都
26、是连续的，而arg z在原点与负实轴上都不连续。4800lim arg,lim arg.yyzz 所以除去原点与负实轴，在复平面内其他点，lnz处处因为若设 z=x+iy,则当 z 0)时,由于ln|(arg2)eppaiakbqqa ab具有q个值,即当k=0,1,.,(q-1)时相应的各个值。ln|ecos(arg2)sin(arg2),paqppakiakqq除此而外,一般而论ab具有无穷多个值。52例例2 求和 的值。21ii解解22Ln1221k iee22Ln22,iik ikiiiieee由此可见,ii是正实数，它的主值是2.ecos(22)sin(22),kik(0,1,2,)
27、k 53例例 求和的值。12,exp(1)/4,3iiei(1)ii解解12ieexp(1)/4i3icos()sin()22ei,ie 142(1),2ei14cossin44ei2(cosln3sinln3),keLn3ieln3 2ik ieln3 2ike54例例 求和的值。12,exp(1)/4,3iiei(1)ii解解(2)4ln2ln2(cossin)22kei(1)iiln2(2)4iikeLn(1)iie55时是与 a的n 次幂及a的n 次根的定义是完全一致的。应当指出，定义，当b为正整数n及分数Lnebbaa 1ni)当b 为正整数n 时，根据定义LnLnLnLnnnaaa
28、aaee(指数n项)(因子n个)LnLnLnaaaeee(因子n个).a aa ii)当b为分数1 n时，有因为111Lnln|arg2arg2eecossinaannnakakainn56111Lnln|arg2arg2eecossinaannnakakainnii)当b为分数1 n时，有,na1arg2arg2|cossinnakakainn其中0,1,2,(1).kn所以，如果 a=z为一复变数，就得到一般的幂函数bwz，当b=n与1n时，就分别得到通常的幂函数,nwz及1.nnwzzzn 在复平面内是单值解析函数,且(zn)=nzn-1.57111Ln11()()().znnnnzze
29、zn对数函数Ln z的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,因而各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，且有幂函数是一个多值函数，具有n个分支，又1nnzz值函数，当b为无理数或复数时，是无穷多值的。同样的道理，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面幂函数(除去b=n与 两种情况外)也是一个多bwz1n内也是解析的，并且有1().bbzbz 584.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数 cos,sin.22iyiyiyiyeeeeyyi现将其推广到自变数取复值的情形,定义cos,sin.22izizizizeeeezzi当z为实数时,显然这与上式完全一致。由欧拉公式欧拉公式有将
30、这两式相加与相减,分别得到cossiniyeyiycossiniyeyiy592 i为周期的周期函数,因此cos z和sin z以由于ez是以也容易推出cos z是偶函数,sin z是奇函数：又由指数函数的导数公式可以求得从公式还易知普遍正确,即对于复数,欧拉公式仍然成立。为周期,即2cos(2)cos,sin(2)sinzzzzcos()cos,sin()sinzzzz(cos)sin,(sin)coszzzz cossinizeziz60由定义和指数函数的加法定理，可知三角函数许多仍然成立由此得但当z为纯虚数iy时,有12121212121222cos()coscossinsinsin()
31、sincoscossinsincos1zzzzzzzzzzzzzzcos()cos cossin sin,sin()sin coscos sin.xiyxiyxiyxiyxiyxiy61但当z为纯虚数iy时,有cosch2sinsh2yyyyeeiyyeeiyiyi所以cos()cos chsin sh,sin()sin chcos sh.xiyxyixyxiyxyixy这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用。62.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz当y时，|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大，因此，|sinz|1和|cos
32、z|1在复数范围内不再成立。其它复变数三角函数的定义如下：ch,sh,th22zzzzzzzzeeeeeezzzee分别称为双曲余弦双曲余弦,正弦和正切函数正弦和正切函数。与三角函数密切相关的是双曲函数双曲函数,定义63ch()ch cossh sin,sh()sh cosch sin.xiyxyixyxiyxyixysh z为奇函数，它们都是复平面内的解析函数，导数不难证明(ch)sh,(sh)chzzzzchcos,shsiniyyiyiych z和sh z都是以2 i为周期的函数，chz为偶函数,及分别为：64例例 解方程：sincos0zz解解1022izizizizeeeei(1)(
33、1)0 izizeiei即或2izei 即2Ln()izi(2)2ik所以4zk65例例 解方程：sincos0zz解解2sincos2sin()04zzz即则sin()04z所以4zk即4zk665.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数则称w为z的反余弦函数,记作反三角函数定义为三角函数的反函数,设cos,zwArccos.wz由得二次方程1cos()2iwiwzwee2210.iwiweze 数数。两端取对数得21z 它的根为21,iwezz其中应理解为双值函双值函2ArccosLn(1)zizz 672ArccosLn(1)zizz 显然Arccos z是一个多值函数，它的多值性正是cos w的偶性和周期性的反映。用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数,并且.11Ln2Arctg),1Ln(Arcsin2izizizziziz重复上述步骤,可以得到它们的表达式：68反双曲函数定义为双曲函数的反函数。用与推导它们都是多值函数。反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式：2ArshLn(1)zzz反双曲正弦反双曲正弦反双曲余弦反双曲余弦反双曲正切反双曲正切2ArchLn(1)zzz11ArthLn21zzz69
