1、第三节第三节 复合函数的求导法则复合函数的求导法则Rule for Derivative ofRule for Derivative of Composite functionComposite function 二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则一、基本求导法则与导数公式一、基本求导法则与导数公式返回返回三、隐函数的导数三、隐函数的导数四、对数求导法四、对数求导法三、求导法则与导数基本公式三、求导法则与导数基本公式Rules for Finding Derivatives and the Derivative Formulas1.1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的
2、导数公式the Derivative Formulas of the Constant Function and the Basic Elementary FunctionsxxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 都可导，则都可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )
3、(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(3.3.反函数的求导法则反函数的求导法则,)(1)(),()(0)()(11yfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 且且有有,内内也也可可导导在在区区间间那那末末它它的的反反函函数数,且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间设设函函数数或或dydxdxdy1 Theorem 2:If the function x=f(y)is monotonic defferentiable on the interval and f(y)0,th
4、en its inverse function is differentiable on the interval I and .xfy1()dxdydydx1三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则Rule for Derivative of Composite functionComposite function 定理定理).()()()()()(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导,可导,在点在点则复合函数则复合函数,可导可导在点在点而而,可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求
5、导等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)Theorem Let y=f(u)and u=g(x).If g(x)is differentiable at x and f(x)is differentiable at u=g(x),then the composite function y=fg(x)is differentiable at x and xufdxdududydxdy/推广推广),(),(),(xvvuufy 设设的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy 例例1 1.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.
6、sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot.dxdvdvdududydxdy yaxy求,)(201920)(20)()(axaxaxy 例例2yeyx求,25)5()(252xeyx例例3解：解：解：解：225510)10(xxxexeyxarexy求,tan3ln2)()tan()3()3(ln22xxarexxy例例4解：解：422121)2()(11331xxxxxx例例5 5 求求 ),cos(lnxey dxdy解解)cos()cos(1)cos(lnxxxeeedxdy返回返回)tan()()cos()sin(xxxxxeeeee例例
7、6 6 求求,12sin2xxy dxdy解解212sinxxy 可看作由可看作由 复合而成，复合而成，212,sinxxuuy ududycos2222222)1()1(2)1()2()1(2xxxxxdxdu222212cos)1()1(2xxxxdxdy幂指幂指函数函数 也可表示成也可表示成)0)()()()(xuxuxfxv)(ln)()(xuxvexf 这样这样,便可直接求得便可直接求得)()()()(ln)()()(ln)(xuxuxvxuxvexfxuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxvyxyx求,)31()31ln()31ln(xxxeeyx)31
8、ln()()31ln(xxeyxx)3)(31(n l)31ln()31ln(xxxxxexx313)31ln(313)31ln()31ln()31ln(xxxexxxexxxx例例7解：解：三、隐函数的导数三、隐函数的导数例例8 8 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数0 exyeydxdy解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x),方程左边对方程左边对x求导得求导得 ,dxdyxydxdyeexyedxdyy 方程右边对方程右边对x求导得求导得0)0(0 dxdyxydxdyey所以所以从而从而)0)(yyexexydxdy注意
9、注意:在这个结果中在这个结果中,分式中的分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数0 exyey例例9 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处的处的 导数导数03275 xxyy0 xdxdy因为当因为当x=0时时,从原方程得从原方程得y=0,所以所以21 0 xdxdy解解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,02112564 xdxdydxdyy由此得由此得2521146 yxdxdy所以所以 四四.对数求导法对数求导法方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求然后
10、利用隐函数的求导方法求出导数出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu下面通过例子来说明这种方法下面通过例子来说明这种方法例例10.),0(sinyxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfd
11、xdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy.22xa 例例1111.的导数的导数求函数求函数axaxaxyarcsin22222 )0(aaaxaxaxxxa1122)2(2212222222222222222121xaaxaxxa 例例1111的导数.的导数.求函数求函数)2(11ln32 xxxy解解),1ln(31)1ln(212 xxy)1(31211212 xxxy)1(3112 xxx例例1212的导数.的导数.求函数求函数xey1sin 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 4.4.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()()()(),(xgufxydxdududydxdyxgfyxgufxguufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数都可导,都可导,及及且且而而设设
