1、(4.9)D 定理定理4.14(泰勒定理泰勒定理)设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,则则f(z)在在K内能展成内能展成如下幂级数如下幂级数 0()()nnnfzcza(4.8)其中系数()11()()2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n展式是唯一的.4.3.1.泰勒泰勒(Taylor)定理定理KaK 证证:证明的关键是利用柯西积分公式及如下证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式熟知的公式:011nnuu(|u|1).(4.10)总有一个圆周总有一个圆周:|(0),aR使点使点z含在含在 (图图4.1中虚线表中虚
2、线表).azD图图4.1的内部的内部zK(2)1()pziffzd()fz 我们设法将被积式我们设法将被积式:由柯西积分公式得由柯西积分公式得表示为一个含有表示为一个含有z-a的正幂次级数的正幂次级数.为此改写：为此改写：()()()()11fffzzaaaaaz(4.11)由由 时时|,|1zazaa应用公式应用公式(4.10),我们有我们有0,1()1nnzazaaa右端的级数在右端的级数在 上上(关于关于 )是一致收敛的是一致收敛的.()fa于是于是(4.11)表示为表示为 上一致收敛级数上一致收敛级数01()(,)()nnnfafzaa 将将上上式式沿沿积积分分，并并以以乘乘所所得得结
3、结果果根根据据逐逐项项积积分分定定理理即即得得1.2,i 以在以在 上的有界函数上的有界函数一致收敛级数一致收敛级数相乘相乘,仍然得到仍然得到 上的上的()1()2pf zdfiz10(),1()2nnpnzaifda由定理3.13知()11()(),2()!nnpffadian最后得出0.)()(nnnazczf其中的系数由其中的系数由Cn公式公式(4.9)给出给出.上面证明对于上面证明对于任意任意z均成立均成立,故定理的前半部分得证故定理的前半部分得证.下面证明展式是唯一的下面证明展式是唯一的.设另有展式设另有展式0()()(:|).nnnf zcz azK z aR 由定理由定理4.13
4、(3)即知即知nnncnafc!)()(n=0,1,2,),故展式是唯一的故展式是唯一的.定义定义4.8 (4.8)称为称为f(z)在点在点a的的泰勒展式泰勒展式,(4.9)称为其称为其泰勒系数泰勒系数,而而(4.8)右边的级数右边的级数,则称则称为为泰勒级数泰勒级数.0()()(5.8)nnnf zcza ()11()()(4.9)2()!nnnffacdian 定理定理4.15 f(z)在区域在区域D内解析的充要条件为内解析的充要条件为:f(z)在在D内任一点内任一点a的邻域内可展成的邻域内可展成z-a的幂级数的幂级数,即泰勒级数即泰勒级数.由第三章的柯西不等式知若由第三章的柯西不等式知若
5、f(z)在在|z-a|0,且)|:|(,)()(0RazKzazczfnnn则则f(z)在收敛圆周在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点上至少有一奇点,即即不可能有这样的函数不可能有这样的函数F(z)存在存在,它在它在|z-a|R内与内与f(z)恒等恒等,而在而在C上处处解析上处处解析.证 假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z1a0()nnnczaK/:|z-a|R+内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6
6、z8z9z10a注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.232222()123nzzzzfzn21()123nzzzfzn(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.2462111xxxx 常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:,2,1,0,)(!10)(nzfncnn.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数例例1.0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1,0
7、(,1)(0)(neznz故有故有 02!21nnnznznzzze,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze.R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)()(znzee 因为因为仿照上例仿照上例,)!12()1(!5!3sin1253 nzzzzznn)(R,)!2()1(!4!21cos242 nzzzznn)(R.0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得 zzz2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分积分等等)和其它数学技巧和其它数
8、学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.例例2.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi01()()2!nnnizizinn 01(1()2!nnnnizin 02(1()2(1)210,1,2,nnknkiinkk 附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,!
9、21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,)1()1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)41253 nzzzzznn)1(z)1(z)(z)(z242205)cos1(1)(1),2!4!(2)!(2)!nnnnnzzzzznn )(z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1(z 32!3)2)(1(!2)1(1)1()7zzzz ,!)1()1(nznn )1(z例例3 3.)1(1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz)1(11121 z4.3.4 4.3
10、.4 典型例题典型例题,11)1(12 zzz上上有有一一奇奇点点在在由由于于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z zz11)1(12.1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,例例4 4.0 )1ln(泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z.1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d1
11、1000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解zz 11)1ln(02)1()1(1nnnnnzzzz)1(z,0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 例例5 5.231)(的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz.32,123 zz即即例例6 6.0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因为因为1,)(
12、)1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(.1,12)1(012 znznnn例例7 7.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 !6)2(!4)2(!2)2(12cos642zzzz zzzz!62!42!221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz!62!42!22165432例例8 8.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1(zzfzfz对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:,1所以收敛半径
13、为所以收敛半径为,1 内内进进行行展展开开可可在在 z,11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,1)(zzezfz ,2)0(,1)0(,0)0(,1)0(ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf.1,31211132 zzzzez0)()()1()()1(zfzfzzfz0)()2()()1(zfzzfz4.3.5、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.泰勒资料泰勒资料Born:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House,London,EnglandBrook Taylor
