1、 Department of Mathematics7.2 共形映射的一般理论共形映射的一般理论1.2.1 单叶解析函数的性质单叶解析函数的性质 解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理单叶解析函数的映射性质 论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数w=f(z)在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那
2、么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称即为单叶函数。注解 单叶函数是确定一个单射的解析函数。例子：例1、函数w=z+a及w=az是z平面上的单叶解析函数它们把z平面映射成w平面，其中a是复常数，并且对于第二个映射 。0例2、在每个带形zew,2Imaza内单叶解析，并且把这个带形映射成z平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a是任意实常数。引理7.3:引理7.3 设函数f(z)在z=z0解析，并且w0=f(z0),设.)3,2,1(0)(,0)(.)()(0)(0)1(00pzfzfzfzfpp那么f(z)-w0在z0有p阶零点，并且对充分小的正数|00ww 在 0)(wzf|00zz
3、，存在着一个正数，使得 在 内有p个一阶零点。引理7.3证明：f(z)-w0在z0有p阶零点是显然的。由于f(z)不恒等于零，可以作出以z0为心的开圆盘，|:|0zzD其边界为C，使得f(z)在CDD并且使得f(z)-w0及f(z)除去在z0外在上无其它零点。那么,0|)(|min0wzfCz其边界为C，使得f(z)在 上解析，引理7.3的证明：取w，使|00ww现在应用儒歇定理，比较f(z)-w及f(z)-w0在内D的零点的个数。由于),()()(00wwwzfwzf而当Cz,0|)(|00wwwzf可见f(z)-w及f(z)-w0在D内的零点个数同为p（每个n阶零点作n个零点）。这是因为0
4、ww 0zz 0)(0zzwzf而当 时这是因为 ，所以这是因为 ，所以 ，而定理7.6、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一点，.0)(zf证明：反证之。假定,0)(,00zfDz那么由引理7.1，可得出与单叶相矛盾得结论。注解1、如果一个函数在区域D内单叶解析，那么它的导数在D内任意一点不等于零；注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如 w=ez的导数在z平面上任意一点不为零，而这个函数在整个z平面上不是单叶的。定理7.7、设函数w=f(z)在z=z0解析，并且0)(0zf定理7.9、设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不恒等于常数，那么D1=f(z)是一个区域，即f确定从
5、D到D1的一个满射。证明：先证明D1是开集，即证明任一点10Dw 是它的内点。设Dz 000)(wzf由引理1.1，可以找到一个正数|01ww那么f(z)在z0的一个邻域内单叶解析。是它的内点。设 ，并且 。，使得对于任何满足的复数w1，我们有 ，使得 。Dz 111)(wzf因此开圆盘|0ww包含在D1内，即w0是D1的内点。其次我们证明的连通性，即证明在D1内任意不同两点w1及w2可以用在D1的一条折线连接起来我们有 ，使得 。)()(btatzz2211)(,)(wzfwzfDzz21,由于D是一个区域，在D内有折线连接z1及z2，在这里 。)(),(21bzzazz函数w=f(z)把这
6、条折线上每一条线段映射成D1 内一条光滑曲线，从而把这折线映射成D1内连接w1及w2的一条光滑曲线：)()(:btatzfw另一方面，由于 是D1内的一个紧集，根据有限覆盖定理，它可以被D1内有限个开圆盘所覆盖，从而在D1内可以作出w1及w2连接的折线 。1注解：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，那么根据定理7.6，它把区域D双射成区域)(1DfD 于是f(z)有一个在D1内确定的反函数。定理7.8 设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且D1=f(D)那么w=f(z)有一个在D1内单叶解析的反函数，)(wz并且如果 ，那么)(,0010wzDw.)(1)(00zfw证明：先证明 在D1内任一
7、点连续。)(wz由引理7.3，任给 ，选取这一引理结论中的正数 及 ，使得0,那么当 时|0ww,|)()(|0ww因此 在D1内任一点连续。)(wz下面证明导数公式成立。当 ，并且 时，我们有1Dw)(wz0,zzDz于是,1)()(000000zzwwwwzzwwww因为当 时，0ww)()(00zzwz所以000000lim1)()(limzzwwwwwwzzww,)(1)()(lim10000zfzzzfzfzz即定理的结论成立。施瓦茨引理：引理7.4设f(z)是在开圆盘|z|1内的解析函数。设f(0)=0，并且当|z|1时，|f(z)|1。在这些条件下，我们有（1）当|z|1时，|;
8、|)(|zzf（2）、;1|)0(|f（3）、如果对于某一个复常数|)(|),1|0(0000zzfzz或者如果|f(0)|=1，那么在|z|1内其中,)(zzf1|其中 是一个复常数，并且 。施瓦茨引理的证明：令1r,1|)(|zg于是当0|z|1时，,1|)(|zzf即|)(|zzf由于f(0)=0，当z=0时，上式成立，我们就得到引理中的结论(1)；（2）的结论也显然成立。令 ，我们就得到：当|z|1时施瓦茨引理的证明：设在某一点|,|)(|),1|0(0000zzfzz那么，或者|g(z)|在z0达到它的最大模1。或者设|f(0)|=1，那么我们有|g(0)|=|f(0)|=1，即在|
9、g(z)|在0达到它的最大值1。因此，由极大模原理，在|z|1内，)(zg其中其中 是一个模为1的复常数。注解：注解1、此引理表明，设f(z)在|z|1内解析。设在映射w=f(z)下，|z|1的象在|w|1内，并设f(0)=0，那么（1）|z|r(0r1)的象在 内；rw|（2）;1|)0(|f（3）如果某一z0(0|z0|1)和它的象的模相等，或者|f(0)|=1，那么,)(zzf其中 是一个模等于1的复常数。注解2、施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上，曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注。其中 共形映射的基本问题共形映射的基本问题v问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数 w=f(z
10、)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D保形地映射为G；v问题二：给定两个区域D和G，求一个解析函数w=f(z)，使得f(z)将D保形地映射为G；v问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域。)(zf)(wg)(1wgwD平面z1|平面G平面w)(1zfgw黎曼映照存在唯一性定理黎曼映照存在唯一性定理,()DGwf zDG定理7.11（黎曼存在唯一定理）设 与 是任意给定的两个连通区域 它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数把 保形地映射为。是唯一的。则映射，且满足，要求函数并且任给一实数，和内再分别任意指定一点和如果在)()(arg)()()(00000000zfwzfwzfzfwwzGD()DCwf zDDCC定理7.12 (边界对应）设区域 的边界为简单闭曲线，函数在上解析，且将 双方单值地映射成简单闭曲线。保形映射成区域将为边界的区域，则是以的正向，并令绕行方向定为的正向绕行时，相应的沿当GDzfwGwCz)(D1z2z3zC1w3w2wD1w3w2w图 Thank you！Complex Function Theory Department of Mathematics
