1、求曲线的方程1.1.坐标法坐标法坐标法是指借助于坐标法是指借助于_，通过研究方程的性质间接地来研，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法究曲线性质的方法.2.2.解析几何解析几何(1)(1)解析几何是指数学中用解析几何是指数学中用_研究几何图形的知识形成的研究几何图形的知识形成的学科学科.(2)(2)解析几何研究的主要问题是解析几何研究的主要问题是根据已知条件根据已知条件,求出求出_;_;通过曲线的方程通过曲线的方程,研究研究_._.坐标系坐标系坐标法坐标法表示曲线的方程表示曲线的方程曲线的性质曲线的性质3.3.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤建系、设点建系、设点建立适当的坐标系
2、，用建立适当的坐标系，用有序实数对（有序实数对（x,yx,y）表示表示曲线上任意一点曲线上任意一点M M的坐标；的坐标；写点集写点集写出适合条件写出适合条件P P的点的点M M的集合的集合P=P=M|P(M)M|P(M)；用用坐标坐标表示条件表示条件P(M)P(M)，列出，列出方程方程f(x,yf(x,y)=0)=0；化方程化方程f(x,yf(x,y)=0)=0为为最简最简形式；形式；说明以化简后的方程的解为坐标说明以化简后的方程的解为坐标的点都在的点都在曲线上曲线上.列方程列方程化简化简证明证明1.1.求曲线方程时求曲线方程时,建系、设点是第一步，如何判断题中是否已建系、设点是第一步，如何判
3、断题中是否已存在坐标系？存在坐标系？提示：提示：判定的方法具体如下判定的方法具体如下:是否有点的坐标形式是否有点的坐标形式,是否出现了是否出现了其他的曲线方程其他的曲线方程,是否有与坐标系有关的词语等是否有与坐标系有关的词语等.若题设条件中若题设条件中没有坐标系没有坐标系,则应首先建立坐标系则应首先建立坐标系,否则曲线不能转化成方程否则曲线不能转化成方程.2.2.设设A(2A(2，0)0)，B(0B(0，2)2)，能否说线段，能否说线段ABAB的方程是的方程是x+y-2=0?x+y-2=0?为什为什么？么？提示：提示：不能说线段不能说线段ABAB的方程是的方程是x+y-2=0 x+y-2=0，
4、如点，如点(-3,5)(-3,5)的坐标是的坐标是方程方程x+y-2=0 x+y-2=0的一个解，但点的一个解，但点(-3(-3，5)5)不在线段不在线段ABAB上，所以线段上，所以线段ABAB的方程不是的方程不是x+y-2=0,x+y-2=0,而是而是x+y-2=0(0 x2).x+y-2=0(0 x2).3.3.平面上有三点平面上有三点A(A(2 2，y)y)，B(0B(0，)，C(xC(x，y)y)，若若 ，则动点，则动点C C的轨迹方程为的轨迹方程为_【解析【解析】(2(2，)，(x(x，)，由，由 ,得得 0 0，即，即2x2x()0 0，即，即y y2 28x.8x.答案：答案：y
5、 y2 28x8xy2ABBC AB y2y2ABBC AB BC y2y2BC 1.1.坐标法解决问题的基本思路坐标法解决问题的基本思路几何问题几何问题代数问题代数问题代数结论代数结论几何结论几何结论直角坐标系直角坐标系转化转化转化转化几何意义几何意义代数方程代数方程2.2.正确认识求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤求曲线方程的五个步骤构成一个有机整体求曲线方程的五个步骤构成一个有机整体,每一步都有其特点每一步都有其特点和重要性和重要性.在具体实施的过程中可以省略第二步在具体实施的过程中可以省略第二步“写点集写点集”和和最后一步的证明过程最后一步的证明过程,但要注意化简过程中运
6、算的合理性和准但要注意化简过程中运算的合理性和准确性确性,避免出现避免出现“失解失解”和和“增解增解”的情况的情况.求曲线方程的步骤求曲线方程的步骤可概括为可概括为“建建(系系)、设、设(点点)、限、限(注意限制条件注意限制条件)、代、代(将坐标将坐标代入方程代入方程)、化、化(化简方程化简方程)”.)”.3.3.关于求曲线方程的三点说明关于求曲线方程的三点说明(1)(1)求曲线方程时求曲线方程时,由于建系的方法不同由于建系的方法不同,求得的方程也不同；求得的方程也不同；(2)(2)一般地一般地,求哪个点的运动轨迹方程求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是就设哪个点的坐标是(x,y(x,y
7、),),而不设成而不设成(x(x0 0,y,y0 0)或或(x(x1 1,y,y1 1)；(3)(3)化简方程时化简方程时,一般将方程一般将方程f(x,yf(x,y)=0)=0化成关于化成关于x,yx,y的整式形式，的整式形式，并且要保证化简过程的恒等性并且要保证化简过程的恒等性.直接法求曲线方程直接法求曲线方程1.1.直接法直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含单明确，直接表述成含x x，y y的等式，就得到轨迹方程，这种方的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法法称为直接法2.2.建立坐标系的
8、原则和方法建立坐标系的原则和方法建立坐标系要遵循垂直性和对称性的原则建立坐标系要遵循垂直性和对称性的原则,常用以下方法常用以下方法:(1)(1)用已知定点作为原点用已知定点作为原点;(2)(2)用已知定直线作为坐标轴用已知定直线作为坐标轴(x(x轴或轴或y y轴轴)；(3)(3)用已知线段所在直线作为坐标轴用已知线段所在直线作为坐标轴(x(x轴或轴或y y轴轴)，以线段的中，以线段的中点作为坐标原点；点作为坐标原点；(4)(4)用已知的互相垂直的直线作为坐标轴；用已知的互相垂直的直线作为坐标轴；(5)(5)让尽可能多的点落在坐标轴上让尽可能多的点落在坐标轴上.【典例训练【典例训练】1.1.已知
9、动点已知动点M M到到A(2,0)A(2,0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线x x1 1的距离的的距离的2 2倍，则点倍，则点M M的轨迹方程为的轨迹方程为_._.2.(20112.(2011新课标全国卷新课标全国卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点A(0,-1)A(0,-1)，B B点在直线点在直线y=-3y=-3上，上，M M点满足点满足 M M点的轨迹为曲线点的轨迹为曲线C,C,求求C C的方程的方程.MB BA ，MBOA MA AB ，【解析【解析】1.1.设设M(xM(x，y).y).由题意，得由题意，得 =2|x+1|,=2|x+1|,化简化
10、简得得 ，即，即y y2 2=3x=3x2 2+12x.+12x.答案：答案：y y2 2=3x=3x2 2+12x+12x22x2y223x12xy02.2.解题流程解题流程:【思考【思考】(1)(1)直接法求点的轨迹方程的关键是什么？直接法求点的轨迹方程的关键是什么？(2)(2)动点的轨迹和轨迹方程一样吗动点的轨迹和轨迹方程一样吗?它们有什么区别？它们有什么区别？提示：提示：(1)(1)利用直接法求点的轨迹方程的关键是找到所求点满利用直接法求点的轨迹方程的关键是找到所求点满足的关系式足的关系式.(2)“(2)“轨迹轨迹”和和“轨迹方程轨迹方程”是两个完全不同的概念是两个完全不同的概念.“.
11、“轨迹方轨迹方程程”是坐标等量式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指是坐标等量式，是一个方程，有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；而明变量的取值范围；而“轨迹轨迹”是适合某种条件的点的集合，是适合某种条件的点的集合，是一条曲线，是一种几何图形是一条曲线，是一种几何图形.代入法求曲线方程代入法求曲线方程代入法的定义及解题步骤代入法的定义及解题步骤(1)(1)定义定义若动点若动点P P 依赖于已知曲线上的动点依赖于已知曲线上的动点M,M,借助于动点借助于动点M M求动点求动点P P的轨的轨迹方程的方法通常叫代入法迹方程的方法通常叫代入法,又叫相关点法又叫相关点法(动点动点M M叫相关动点叫
12、相关动点),),也叫坐标转移法也叫坐标转移法.(2)(2)求解步骤求解步骤设动点设动点P(x,yP(x,y)，相关动点，相关动点M(xM(x0 0,y,y0 0)；利用条件求出两动点坐标之间的关系利用条件求出两动点坐标之间的关系代入相关动点的轨迹方程；代入相关动点的轨迹方程；化简、整理，得所求轨迹方程化简、整理，得所求轨迹方程.其步骤可总结为其步骤可总结为“一设二找三代四整理一设二找三代四整理”.00 xf x,yyg x,y，；【典例训练【典例训练】1.1.已知点已知点A(0A(0，-1)-1)，当点，当点B B在曲线在曲线y=2xy=2x2 2+1+1上运动时，线段上运动时，线段ABAB的
13、的中点中点M M的轨迹方程是的轨迹方程是_._.2.2.动点动点M M在曲线在曲线x x2 2+y+y2 2=1=1上移动，上移动，M M和定点和定点B(3,0)B(3,0)连线的中点为连线的中点为P P，求求P P点的轨迹方程点的轨迹方程【解析【解析】1.1.设点设点B(xB(x0 0,y,y0 0),),则则y y0 0=2 +1.=2 +1.设线段设线段ABAB的中点为的中点为M(x,yM(x,y),),则则 .即即 ,代入式，得代入式，得2y+1=22y+1=2(2x)(2x)2 2+1+1，即即y=4xy=4x2 2为线段为线段ABAB中点的轨迹方程中点的轨迹方程.答案：答案：y=4
14、xy=4x2 220 x00 xy1x,y2200 x2x,y2y12.2.设设P(xP(x，y)y)，M(xM(x0 0，y y0 0).P).P为为MBMB的中点，的中点，又又MM在曲线在曲线x x2 2y y2 21 1上，上，(2x(2x3)3)2 24y4y2 21,1,PP点的轨迹方程为点的轨迹方程为(2x(2x3)3)2 24y4y2 21.1.0000 x3xx2x32yy2y.y2，即，【互动探究【互动探究】将题将题2 2中的条件中的条件“M M和定点和定点B(3,0)B(3,0)连线的中点为连线的中点为P”P”改为改为“一动点一动点P P和定点和定点B(3,0)B(3,0)
15、连线的中点为连线的中点为M”.M”.试求动点试求动点P P的轨的轨迹方程迹方程.【解析【解析】设设P(xP(x，y)y)，M(xM(x0 0，y y0 0).M).M为为PBPB的中点的中点 ，化简得，化简得(x+3)(x+3)2 2y y2 24,4,PP点的轨迹方程为点的轨迹方程为(x+3)(x+3)2 2y y2 24.4.0220 x3x2Mxy1yy.2，又在曲线 上，22x3y()()122【总结【总结】利用代入法求轨迹方程的关键利用代入法求轨迹方程的关键.提示：提示：利用代入法求轨迹方程的关键在于确定两个动点坐标之利用代入法求轨迹方程的关键在于确定两个动点坐标之间的关系，用未知动
16、点坐标表示已知动点坐标间的关系，用未知动点坐标表示已知动点坐标,用已知轨迹方用已知轨迹方程求未知轨迹方程程求未知轨迹方程.定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程1.1.对定义法求轨迹方程的认识对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用中被广泛使用,是一种重要的解题方法是一种重要的解题方法.
17、2.2.定义法求轨迹方程的方法与技巧定义法求轨迹方程的方法与技巧(1)(1)要熟悉各种常见的曲线的定义要熟悉各种常见的曲线的定义.(2)(2)要善于利用数形结合的方法要善于利用数形结合的方法,利用图形具有的相关几何性质利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系寻找等量关系.(3)(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程.【典例训练【典例训练】1.1.平面内到点平面内到点(1 1，2)2)的距离等于的距离等于3 3的动点的动点M M的轨迹方程是的轨迹方程是_._.2.2.由动点由动点P P向圆向圆x x2 2+y+y2 2=1=1引两条切线引两条切线
18、PAPA，PBPB，切点分别为，切点分别为A A，B B，APB=APB=.求动点求动点P P的轨迹方程的轨迹方程.【解析【解析】1.1.根据圆的定义根据圆的定义,动点动点M M的轨迹是以点的轨迹是以点(1 1，2)2)为圆心，为圆心，以以3 3为半径的圆为半径的圆,因此动点因此动点M M的轨迹方程为的轨迹方程为(x(x1)1)2 2(y(y2)2)2 29.9.答案：答案：(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9=960。2.2.如图，连接如图，连接OP,OA,OB,OP,OA,OB,则则APO=APO=，OAPA.OAPA.又又|OA|=1|OA|=1，|OP|=2.|
19、OP|=2.由圆的定义知，动点由圆的定义知，动点P P的轨迹是以原点为圆心，的轨迹是以原点为圆心，2 2为半径的圆，为半径的圆，故所求轨迹方程为故所求轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=4.=4.30。【想一想【想一想】解答本类题的关键及题解答本类题的关键及题2 2中能否用代入法求轨迹方中能否用代入法求轨迹方程？程？提示：提示：(1)(1)解答本类题的关键是利用题中的条件确定所求点的解答本类题的关键是利用题中的条件确定所求点的轨迹，然后求其方程轨迹，然后求其方程.(2)(2)题题2 2不能用代入法求，因为所求动点与已知曲线上的两个动不能用代入法求，因为所求动点与已知曲线上的两个动点的关系不易用坐标表达点的关系不易用坐标表达.
