1、求动点的轨迹方程常用的四种方法求动点的轨迹方程常用的四种方法求动点的轨迹方程常用的四种方法求动点的轨迹方程常用的四种方法一、直接法一、直接法二、定义法二、定义法四、参数法四、参数法三、代入法三、代入法一、直接法一、直接法1、建立适当的直角坐标系，设动点坐标、建立适当的直角坐标系，设动点坐标M(x,y)2、列出命题给出的等量关系（可用集合形式）、列出命题给出的等量关系（可用集合形式）3、将上式中的几何量用代数式表示即成方程、将上式中的几何量用代数式表示即成方程4、化简上式方程、化简上式方程5、证明（或排除异点）、证明（或排除异点）已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数 ，求点M的轨迹
2、方程，并说明是什么曲线。例例1x(,)M x yOY(,0)A a(,0)B a分析：1、如图所示建立直角坐标系2、利用命题所给条件建立等量关系|M AM B3、把|MA|，|MB|转换代数式2222()()xayxay4、化简并整理这方程2222222(1)(1)2(1)(1)0 xyaxa化简并整理得：11当 时，即|MA|=|MB|时，点M得轨迹方程为x=0当 时，点M的轨迹方程是：222222(1)01axyx a所以，点M的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆。22(1)1(,0)a22|1|a例例2一圆被两直线 截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程。20,20 xyxyOMYr
3、X1d2d2l1l分析：由于该问题存在12224rd22222rd即：22221242dd所以用直接法(,)M x y1|2|5xyd2|2|5xyd设：所以|2|2|2255()()12xyxy化简得1 52xy r例例3一动椭圆过点 ,以x轴为准线，离心率为 ，求椭圆的下顶点的轨迹方程。(1,2)P1212|P FdOyxMFCP分析：由于该命题给出条件，利用圆锥曲线统一定义存在等量关系：d2d 设：(,)M x y只需找点F坐标用x,y来表示就行了。事实上12cea2ac224|4acCDccc32(,)F xy2232(1)(2)122xyD24239()(1)14yx化简得:二、定义
4、法二、定义法1、熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的第一、第二定义；以及初三时学习的六种基本轨迹定义。2、分析命题给出的条件符合那种曲线的定义。3、解题步骤：定形利用定义确定曲线类型 定位利用条件确定曲线位置 （此时可确定曲线的待定系数方程）定大小求方程中的待定系数。Oyx例例4已知圆O方程 ，定点 ，求过点A且和圆O相切的动圆圆心P的轨迹。224xy(4,0)AAP分析：动圆P过点A且与圆O外切时有：|2POPA动圆P过点A且与圆O内切时有：|2PAPO所以：|2POPA这个式子说明动点P到定点O,A的距离之差的绝对值等于2（小于|OA|);所以点P的轨迹是双曲线。POyx该双曲线的两焦点为O,，
5、中心在线段OA的中点此时c=2,a=1，所以 3b 22(2)13yx 所以所求的双曲线方程为：AO(4,0)A(2,0)OOyx例例5一动圆与圆 外切，而与圆 内切，求动圆圆心的轨迹。221xy22680 xyxCM分析：两定圆圆心 半径(0,0),(3,0)OC121rr设动圆圆心 半径为r，就有：(,)M x y1|1MOrrr2|1MCrrr|2MOMC这个式子说明了动点M到两定点O,C的距离之差等于2；这符合双曲线右支的定义。该双曲线中心 所以点M的轨迹方程是：223245()1()52yxx3(,0)2C31,2ac52b Oyx例例6求与圆 外切，又与Y轴相切的圆的圆心的轨迹方程
6、。2240 xyxAM分析：已知圆A的圆心（2，0）半径 ，设动圆圆心 半径为 ；d12r(,)M x y|2MArrdr，点M到y轴的距离把y轴向左平移2个单位得直线2x 这样就有点M到点A的距离等于点M到直线 的距离，这符合抛物线的定义，所以点M的轨迹就是以点A为焦点，以直线 为准线的抛物线。2x 2x 即所求的轨迹方程为：28(0)yx x0(0)yx当x 0时就有：2x 或三、代入法三、代入法当主动点当主动点P在某曲线在某曲线 上移动时，与上移动时，与P具备相关具备相关关系的因动点关系的因动点M随其移动而形成曲线，求动点随其移动而形成曲线，求动点M的轨迹的轨迹方程方程 的方法叫代入法。
7、分析关系如下：的方法叫代入法。分析关系如下：(,)0f x y 01(,)xh x y(,)0f x y 02(,)yhx y00(,)P xy(,)M x y(,)0g x y(,)0g x y 其上任一点形成轨迹Oyx例例7动点P在圆 上移动时，求它与定点 的连线的中点M的轨迹方程。221xy(3,0)AMPA解析：设 ，由M为PA中点有：(,)M x y00(,)P xy032xx002yy023xx02yy由点P在圆O上，代入 得：22(23)(2)1xy223124()xy221xy化简得：Oyx例例8已知抛物线 及点 ，B是抛物线上任意一点，P分线段 的比为2：1，求P点的轨迹方程
8、。A B(4,1)A24yxABP解析：设 ，由P分 的比为2：1有：00(,)B xy(,)P x y0342xxA B 04212xx01212yy0312yy由点B在抛物线上，代入 得：24yx3123422()4yx化简得：2814333()()yxOyx例例9RNMPQ如图所示，P为抛物线 上的一个动点，连接原点O与P，以OP为边作一个正方形OPQR，求动点R的轨迹。2yx解析：作 轴，轴，由 PMxRNx|,OROPORNPOM OPMORN|,|OMRNPMON设00(,),(,)R x yP xy2yx00 xyyx 有代入得2yx 四、参数法四、参数法当动点是受某个量的变化而
9、的移动，该种求轨迹问题一般使用参数法。参数法解题步骤如下：1、选取适当的参数2、分别用参数表示动点坐标 x，y得轨迹的参数方程。3、消去参数即得其普通方程。Oyx例例10过椭圆 内一点 作椭圆的弦AB，求动弦AB的中点M的轨迹方程。1x ABx(1,1)D22194xyDBMA解析：若直线 轴则方程为 此时AB中点为（1，0）1(1)yk x229()49kkxk若直线不垂直x轴轴则方程为：代入椭圆方程并整理得：2222(49)18()92270kxkk xkk0 显然有：设：212218()49kkxxk(,)M x y1122(,),(,)A xyB xy24449kyk代入得：得：94x
10、ky 2222244494916944981xyxyyyxyxy49xky代入得：2249490 xyxyy0化简为：由点（1，0）满足该方程所以所求点M的轨迹方程为：2249490 xyxyOyx(,)x y例例11已知ABC的一边BC固定，顶点A在平行于底边且距底边为定值d的直线上移动，求ABC的垂心M的轨迹方程CBAMH解析：如图，以BC所在直线为x轴，以BC中点为原点建立直角坐标系。设BC的长为 ，则：(,)H x y(,)A t d(,0),(,0)22aaBCa设 （t为参数）2:()2BHatalyxd 2BHatkd 2ACdkat设垂心 则xt2()2atayxd 为方程组的解2214ayxdd xt221()4aytd 消去t得：即为所求得轨迹方程
