1、1 线性方程组的 消元解法第三章第三章 线性代数初步线性代数初步2 矩阵及其运算 线性代数线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。最古老的线性代数问题是线性方程组的求解线性方程组的求解，在中国古代的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。线性代数线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论物理
2、和理论化学等不可缺少的代数基础知识。随着研究线性方程组线性方程组和变量的线性变换变量的线性变换问题的深入，矩阵在1819世纪期间应运而生，为处理线性问线性问题题提供了有力的工具，从而推动了线性代数线性代数的发展。本节的主要内容本节的主要内容1 1、线性方程组、线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb解的讨论及其求解方法解的讨论及其求解方法（m,n 未必相等）。2 2、数表、数表mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211的线性运算的线性运算（重要的工具）。对二元一次方程组二元一次方程组11
3、1122121 12222a xa xba xa xb我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组，且未知量个数和方程个数未必相同。1 1 线性方程组的消元解线性方程组的消元解法法 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以将一次方程称为线性方程线性方程，将一次方程组称为线线性方程组性方程组。线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式否则称为非齐次线性方程组。则称方程组为(1)11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb其中有 n 个未知量 ，m 个方程，12,nx xx是未知
4、量的系数，ijaR是常数项。(1,;1,)im jn若右端常数项 均为零，1,mbbR12,mb bb齐次线性方程组；1、线性方程组是否有解？将要研究的问题将要研究的问题3、有解时，如何求出全部的解？2、若有解，解是否唯一？研究的思路和途径研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方法：高斯消元法；2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在与否的判断方法。求解线性方程组123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx 解解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，(-2)(2)+(1)，(-4)(2)+
5、(3)得 例例1由2323322(4)342(5)xxxx 该方程组比原方程组少一个未知量。由(5)-(4)得由(-1/2)(6)得32 (7)x 最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3，由2(7)+(4)得236 (8)x2323322(4)342(5)xxxx 其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，324(6)x 这比原方程组又少了一个未知量。由(-1/3)(8)得22 (9)x 123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx32 (7)x 236 (8)x将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2,x3，由(-2)(7)+(2)，(2)-(
6、9)得11x 故原方程组的解为1231,2,2xxx 从上述求解过程可以看出从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直至得到便于求解的一个形式简单的方程。为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求解，仍以例例1 1为例，完整规范的写出它的解题步骤。解解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置12312312321(2)224(1)442(3)xxxxxxxxx 第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1，(1)-2(2)，(3)-4(2)得求解线性方程组123123123
7、224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx 例例11123232321 (2)322(4)342(5)xxxxxxx 12312312321(2)224(1)442(3)xxxxxxxxx(1)-2(2)，(3)-4(2)得 第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，(5)-(4)得 此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。123232321 (2)322(4)342(5)xxxxxxx 第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，(5)-(4)得12323321(2)322 (4)(6)24xxxxxx 第四步，使(6)中的
8、x3 的系数变为1，(-1/2)(6)得12323321(2)322 (4)(6)24xxxxxx 第五步，消去(2)(4)中的 x3，12323321(2)322 (4)(7)2xxxxxx(2)-2(7)，(4)+2(7)第五步，消去(2)(4)中的 x3，12323321(2)322 (4)(7)2xxxxxx(2)-2(7)，(4)+2(7)(-1/3)(9)得 第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，1223 3(8)3 6 (9)(7)2xxxx(-1/3)(9)得 第六步，使(9)中的 x2 的系数变为1，1223 3(8)3 6 (9)(7)2xxxx 第七步，消去(8)中的
9、x2，1223 3(8)2 (10)(7)2xxxx (8)-(10)得 第七步，消去(8)中的x2，1223 3(8)2 (10)(7)2xxxx (8)-(10)得由此得到了方程组的解。思考思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步对原方程组进行消元变简？123 1 22xxx 用到了如下三种变换用到了如下三种变换1、交换两个方程的顺序；3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上；2、用一个非零常数乘某个方程；称上述三种变换为线性方程组的初等变换。初等变换的作用在于初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与原方程组是同解方程组。用消元法求解线性方程组的实质用消元法求解线性方
10、程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐步化简以求其解。思考思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？那和什么有关呢？没有和未知量的系数以及右端的常数项有关！问题问题：在用初等变换求解方程组时，本质上是对什么在运算？什么在变化？未知量的系数以及右端的常数项！基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时就出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表：经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映了一般线性方程组的求解规律。此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。加上常数项得数表(1)(2)称上述矩形表为矩阵，横的排称为行，竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元素。矩阵(1)称为方程组的系数矩阵，记为
11、A，矩阵(2)称为方程组的增广矩阵，记为.A12312312322421442xxxxxxxxx212112414A212411214142A 定义定义1对于一般的线性方程组对于一般的线性方程组111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab 增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上
12、，1、交换矩阵的某两行，记为2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为记为12312312322421442xxxxxxxxx212411214142A;ijrr;ik r.ijrk r称此三种变换为矩阵的行初等变换。由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增广矩阵的行初等变换。求解线性方程组123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx 例例1 解解：方程组的增广矩阵212411214142A互换(1)与(2)的位置得123123123224(1)21(2)442(3)xxxxxxxxx212411214142A12312312321224442xxxxxxxxx1211
13、2121244142rr(2)-2(1)，(3)-4(1)得(2)-2(1)，(3)-4(1)得123232321 322 342xxxxxxx(3)-(2)得213121121032240342rrrr 12312312321224442xxxxxxxxx12112121244142rr 32112103220024rr 123232321 322 342xxxxxxx(3)-(2)得213121121032240342rrrr 1232332132224xxxxxx（行阶梯形矩阵）（阶梯形方程组）(-1/2)(3)得32112103220024rr 1232332132224xxxxxx(
14、-1/2)(3)得123233213222xxxxxx311211032220012r (1)-2(3)，(2)+2(3)得123233213222xxxxxx311211032220012r (1)-2(3)，(2)+2(3)得1223 33 6 2xxxx 132321103030620012rrrr (-1/3)(2)得1223 33 6 2xxxx 132321103030620012rrrr (-1/3)(2)得1223 3 22xxxx 211031010230012r(1)-(2)得12100101020012rr123 1 22xxx 1223 3 22xxxx 2110310
15、10230012r(1)-(2)得（行最简阶梯形矩阵）阶梯上第一个元素为1，同列的其它元素都为零。从而原方程组的解为1231,2,2xxx 上述解法的基本思路和步骤上述解法的基本思路和步骤 反复利用矩阵的行初等变换，逐步将线性方程组的增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵，从而求出方程组的解。此种方法称为高斯消元法，它是解线性方程组的最一般、最有效的方法。将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步 化行阶梯形：从上到下，从左到右；化行最简阶梯形：从下到上，从右到左。在我国古代数学经典著作九章算术(约公元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问：今有上禾三秉(束)
16、，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾一秉几何？该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式是自上而下，从右到左)：例习例习上禾秉数中禾秉数下禾秉数斗数 试列出此问题的方程组，并用高斯消元法求出其解。上禾秉数中禾秉数下禾秉数斗数123123123323923342326xxxxxxxxx321392313412326A13123262313432139rr 213112326015180483923rrrr 1232601518048393212326015180012334rr 231232
17、601518110014112rr1232601518110014231371120417010411530014rrrr 123710041701041100142rr 上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。讨论下列线性方程组解的情况，并从几何上给以说明。思考思考 (1)无解，12122324)2(1xxxx12122324)6(2xxxx12122023)0(3xxxx12122024)0(4xxxx平行但不重合；(2)无穷多解，平行且重合；(3)唯一解，相交但不重合；(4)同(2)。解线性方程组 例例223123123362537xxxxxxx03
18、3 6121 5130 7A12121 5033 6130 7rr 解解：方程组的增广矩阵2121 51011 23000 0r 121 5033 6130 731121 5033 6011 2rr 32121 51033 63000 0rr 有何特点？12103 12011 2000 0rr 则同解方程组为，即则原方程组的解为有何特点？103 1011 2000 01323 31 2xxxx令 x3=k，1323312xxxx 123312xkxkxk 显然方程组有无穷多解，称上述含任意常数的解为方程组的通解通解。解线性方程组 例例312341234123413431211423223345
19、1xxxxxxxxxxxxxxx 1131 12111423223310451A 解解：方程组的增广矩阵1131 12111423223310451A21314121131 13015600176001762rrrrrr 1131 101560017600176232421131 101560001200001202rrrr 431131 10156000120000002rr 1131 101560001200001202 同解方程组最后一个方程 0=2 是矛盾方程！所以方程组无解，此时称该方程组是不相容的或矛盾的。有何特点？由以上由以上3 3例思考例思考 1.线性方程组都有解吗？若有解，解
20、一定唯一吗？2.如何判断解的各种情况？不一定！唯一解无穷多解无解112103220024121 5033 6000 01131 10156000120000002 线性方程组解的判定方法线性方程组解的判定方法将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后：1.若出现(0,0,d)0 的非零行，则无解；2.若不出现(0,0,d)0 的非零行，则有解，且 .非零行行数等于未知量个数，则有唯一解；.非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。无解1131 10156000120000002唯一解无穷多解112103220024121 5033 6000 0求解齐次线性方程组 解解：对系数矩阵施行行初等变换化为
21、行最简阶梯形齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况 例例41234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx122121221143A21312122103640364rrrr 12510232401230000rr 齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况12210364036432122103640000rr 2122114012330000r 有何特点？12510232401230000rr 齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况有何特点？写出等价方程组并移项134234523423xxxxxx 齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组解的情况写出等价方程
22、组并移项134234523423xxxxxx 则方程组的通解为 事实上，齐次线性方程组总有零解，称其为平凡解平凡解。1122123142523423xccxccxcxc 令3142,xcxc 齐次线性方程组解的判定方法齐次线性方程组解的判定方法将线性方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵后：1.若非零行行数等于未知量个数，则有唯一解；2.若非零行行数小于未知量个数，则有无穷多解。1221401230000线性方程组的解题步骤线性方程组的解题步骤线性方程组线性方程组增广矩阵增广矩阵行最简形行最简形同解方程组同解方程组得其解得其解判断是否有解判断是否有解 有解有解行变换行变换 无解无解结束结束 讨论下面的线性方程组何时无解，何时有无穷多解。思考思考 d30 时无解；11223122332332 0 xc xxdxc xdxd d30 时有无穷多解。小小 结结 本节主要围绕解一般线性方程组的问题，从运用加减消元法去求解特殊的线性方程组入手，一步一步的提出问题，分析问题，逐步探索出求解任意线性方程组的一般方法：高斯消元法。高斯消元法的基本思想：逐步将原方程组化简，直至易于求解的形式；使用的手段：施行矩阵的行初等变换，将增广矩阵化为行最简阶梯形矩阵；理论依据：变形后的方程组与原方程组同解。作业作业 P120 P120线性方程组的消元解法：1 1，2 2，3 3
