1、知识回顾 回顾一下我们学过的方程，一元一次回顾一下我们学过的方程，一元一次方程，如：方程，如：x+2=5，满足方程的解满足方程的解x=3.一元一次方程一元一次方程的特征是只含有一个的特征是只含有一个未知数未知数x，含有未知数的个数与方程的个数，含有未知数的个数与方程的个数一样多，一样多，x有有整数解，而且整数解，而且仅有一个解仅有一个解.导入新课 当方程的个数少于未知数的个数当方程的个数少于未知数的个数时怎样解？如方程：时怎样解？如方程：x+y=3，想一想这想一想这样的方程该怎样解呢？它的解是否只样的方程该怎样解呢？它的解是否只有一组有一组?类似这样的方程是否一定有解类似这样的方程是否一定有解
2、呢？呢？鸡翁一，值钱五，鸡母一，鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何.你能算出有多你能算出有多少只鸡吗？少只鸡吗？上面的问题即是著名的上面的问题即是著名的“百钱买百百钱买百鸡鸡”，百钱能买到百鸡吗？若能买到，百钱能买到百鸡吗？若能买到，能买到鸡翁、鸡母和鸡雏各多少只？能买到鸡翁、鸡母和鸡雏各多少只？生活中类似的问题还有很多，要怎生活中类似的问题还有很多，要怎样顺利的解决这些问题，就需要学习新样顺利的解决这些问题，就需要学习新的知识的知识二元一次不定方程二元一次不定方程.二元一次不定方程二元一次不
3、定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）教学目标知识与能力知识与能力 1、掌握二元一次不定方才有整数掌握二元一次不定方才有整数解的判别准则解的判别准则.2、理解掌握二元一次不定方程有理解掌握二元一次不定方程有整数解时整数通解的表示整数解时整数通解的表示.3、学会求解简单的二元一次不定学会求解简单的二元一次不定方程及方程及“百钱买百鸡百钱买百鸡”问题问题.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人
4、教版1 1（精品课件）（精品课件）情感态度与价值观情感态度与价值观 了解我过古代数学家在不定方程的研究方了解我过古代数学家在不定方程的研究方面取得的一些成就面取得的一些成就.过程与方法过程与方法 1、联系生活对比一元一次方程，引出二联系生活对比一元一次方程，引出二元一次不定方程元一次不定方程.2、通过实例介绍不定方程有解的条件，通过实例介绍不定方程有解的条件，及其特解、通解及其特解、通解.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）教学重难点重点重点 1、理解二元一次
5、不定方程有整数解的理解二元一次不定方程有整数解的判别准则及其探究过程判别准则及其探究过程.2、二元一次不定方程有整数解时整数二元一次不定方程有整数解时整数通解的表示方法并能求解简单一次不定方程通解的表示方法并能求解简单一次不定方程.难点难点 探究二元一次不定方程有整数解的判探究二元一次不定方程有整数解的判定准则和整数通解的表示定准则和整数通解的表示.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）学过的一元一次方程，如学过的一元一次方程，如x+7=9.这样的这样的方程含有
6、一个未知数，并且未知数的个数与方程含有一个未知数，并且未知数的个数与方程的个数是相等的，方程的个数是相等的，对于对于x+y=9这样的方程来说，即未知数这样的方程来说，即未知数的个数多于方程的过个数的方程或方程组我的个数多于方程的过个数的方程或方程组我们叫做们叫做不定方程不定方程.二元一次不定方程一般式：二元一次不定方程一般式：ax+by=c，其中其中a，b，c为整数，且为整数，且a，b不等于零不等于零.不定方程不定方程二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）例一、
7、例一、解不定方程解不定方程4x+6y=1.解：解：原式可以化为原式可以化为2（2x+3y）=1由于由于左边必是左边必是2的倍数，而右边是的倍数，而右边是1，所以所以不可不可能有整数解能有整数解.所以所以，不定方程，不定方程不一定不一定有整数解有整数解.下面我们就来讨论什么情况下不定方下面我们就来讨论什么情况下不定方程有整数解程有整数解.分析（一）分析（一）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）分析（一）分析（一）设设不定方程不定方程ax+by=c有整数解有整数解
8、x=x0，y=y0.因为因为（a，b）a，（，（a，b）b 所以所以（a，b）ax0+by0=c，即即若不定方程有整数解，若不定方程有整数解，则则（a，b）c 这是不定方程有解时系数之间的关系，这是不定方程有解时系数之间的关系，下面我们来看验证，当系数满足下面我们来看验证，当系数满足 （a，b）c 时是否一定有整数时是否一定有整数 解解.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）若若d=（a，b）c，令令a=ad，b=bd，c=cd，则则不定方程化简为不定方程化简为
9、ax+bx=c，（，（a，b）=1.由由最大公约数的性质，存在一对整数最大公约数的性质，存在一对整数u，v，使得，使得au+bv=1.于是于是a（uc）+b(vc)=c，从而从而有有a（uc）+b(vc)=c.得得x=uc，y=vc 就是不定就是不定方程的整数解方程的整数解.如果不定方程如果不定方程ax+by=c有整数解，那么有整数解，那么（a，b）c.反过来，当反过来，当（a，b）c 时，时，不定方程不定方程ax+by=c一定有整数解一定有整数解.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1
10、1（精品课件）（精品课件）分析（二）分析（二）对于一元一次方程对于一元一次方程x+7=9，我们容易得我们容易得到到x的整数解为的整数解为x=2，知道，知道一元一次方程一元一次方程的的解是解是唯一唯一的的.不定方程不定方程x+y=9的解却可以是的解却可以是x=1，y=8；x=-1，y=10等情况等情况.也就是说不定方程也就是说不定方程的解是的解是不唯一不唯一的的.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）分析（三）分析（三）对于不定方程对于不定方程x+y=9，我们不可
11、能将，我们不可能将所有不定方程的解都写出来，但是却可以所有不定方程的解都写出来，但是却可以将所有解表示表示一组式子将所有解表示表示一组式子 x=1+t，y=8-t，t是任意整数是任意整数.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）分析（三）分析（三）当当ax+by=c有整数解，且有整数解，且（a，b）=1时设时设x=x0，y=y0为不定方程的整数解，对于任意的整为不定方程的整数解，对于任意的整数数t，x=x0+bt y=y0-at 注意：注意：x=x0，y=y0为方
12、程的一个特解为方程的一个特解，为不为不定方程的通解定方程的通解.当不定方程当不定方程 ax+by=c的（的（a，b）1可以化为可以化为ax+bx=c其中（其中（a，b）=1.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）设设（a，b）=1则不定方程则不定方程ax+by=c的整的整数通解为数通解为，x=x0+bt y=y0-at 其中其中t为为任意的整数任意的整数x=x0，y=y0为不定方程为不定方程 ax+by=c的一个特解的一个特解.二元一次不定方程二元一次不定方程p
13、ptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）课堂小结一、二元一次不定方程一般式：一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c.其其中中 a，b，c为整数，且为整数，且a，b不等于零不等于零.二、二、ax+by=c有整数解的条件：有整数解的条件：（a，b）c三、三、ax+by=c有整数解的时通解：有整数解的时通解：x=x0+bt y=y0-at 其中其中t是任意整数是任意整数，x=x0，y=y0是一个特解是一个特解.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元
14、一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）针对性练习 1、某电台在黄金时段的、某电台在黄金时段的2 2分钟广告时间内，分钟广告时间内，计划插播长度为计划插播长度为1515秒和秒和3030秒的两种广告秒的两种广告.1515秒秒广告每播广告每播1 1次收费次收费0.60.6万元，万元，3030秒广告每播秒广告每播1 1次次收费收费1 1万元，若要求每种广告播放不少于万元，若要求每种广告播放不少于2 2次，次，问：问：两种广告的播放次数有几种安排方式？两种广告的播放次数有几种安排方式？电视台选择哪种方式播放收益最大？电视台选择哪种方式播放收益最大？二元一次不定
15、方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）答：电视台选择答：电视台选择15 秒秒4 次次，30 秒秒2 次收益最大次收益最大.解：设解：设15秒广告播放秒广告播放x次，次，30 秒广告播放秒广告播放y次次 得得15x+30y=120，所以所以x=8-2y 因为因为 x、y 为不小于为不小于2 的正整数，的正整数，所以所以 x=4，y=2或或 x=2，y=3所以两种方式，所以两种方式，即即15秒广告播放秒广告播放4 次次，30 秒广告播放秒广告播放2 次；次；或或 15 秒播放秒
16、播放2 次次，30 秒播放秒播放3 次次 若若x=4,y=2，则则 0.64+12=4.4（万元）（万元）若若x=2,y=3，则则 0.64+13=4.2（万元）（万元）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）解：设解：设买甲物买甲物x斤，乙物斤，乙物y斤，丙物斤，丙物z斤，斤，则则 5x 3y z=100，x y z=100.消去消去z，得到得到7x 4y=100.(1)显然显然x=0，y=25是方程是方程(1)的解，的解，因此因此，方程，方程(1)的一般解是的
17、一般解是 ，t Ztytx7254 2、甲物每斤、甲物每斤5元，乙物每斤元，乙物每斤3元，丙物元，丙物每三斤每三斤1元，现在用元，现在用100元买这三样东西共元买这三样东西共100斤，问各买几斤斤，问各买几斤?二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）因为因为 x 0，y 0，所以所以0 t 3.即即 t可以取值可以取值t1=0，t2=1，t3=2，t4=3.相应的相应的x，y，z的值是的值是(x,y,z)=(0,25,75)，(4,18,78)，(8,11,81)
18、，(12,4,84).3 3、求不定方程求不定方程15x+19y=1 的整数解的整数解 二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）解：因为解：因为（15，19）=1，所以所以原不定方程有整数解比较原不定方程有整数解比较x，y的系数，的系数，用系数用系数1515除不定方程得除不定方程得 因为因为x，yz，所以所以 z，令令 则则15s=1+11y，所以所以 因为因为y，s z，所以所以 z，得到得到 所以所以 x=-5 x=-5+19t y=4是方程的一个特解是方程的
19、一个特解.得解得解 y=4-15t t z1 191 1121515yyxy 1 1115y1 1115ys151411111ssys4111s34,5syx 二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）课堂练习1、二元一次方程二元一次方程3x+2y=11().().A A、任何一对有理数都是它的解任何一对有理数都是它的解B B、只有一个解、只有一个解 C C、只有两个解、只有两个解 D D、无穷多个解、无穷多个解D D2、x x、y y的方程的方程ax2+bx+2y
20、=3是一个二元一次是一个二元一次方程，则方程，则a、b的值为（的值为（）.A A、a=0a=0且且b=0 Bb=0 B、a=0a=0或或b=0 b=0 C C、a=0a=0且且b0 Db0 D、a0a0且且b0b0C C二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）3、已知方程已知方程5x+3y=7 5x-7=2 2xy=1 x2-y=1 5(x-y)+2(2x-3y)=4其中二元一次其中二元一次方程的个数是方程的个数是 （）.34、下列方程组：（下列方程组：（x、y
21、为未知数）为未知数）x+y=5 x+y=9 x=10 x=a 2xy=7 y+z=0 y=4 x-y=b其中二元一次方程组的个数是其中二元一次方程组的个数是 （）3二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）解解：(3,6)=3 15，所以方程有解，所以方程有解.由直接观察，可知由直接观察，可知x=1，y=1是是 3x 6y=3的解，的解，所以所以 x0=5，y0=5是原方程的一个解是原方程的一个解.所以所以 所求方程的解是所求方程的解是tytx5255、求不定方程求
22、不定方程3x 6y=15的解的解.二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）6、求不定方程求不定方程13x 17y=5 的解的解.解：因为解：因为（13，17）=1，所以所以原不定方程有整数解比较原不定方程有整数解比较x，y的系数，的系数，用系数用系数13除不定方程得除不定方程得 因为因为x，yz，所以所以 z，令令 则则13s=5+9y，所以所以 因为因为y，s z，所以所以 z，得到得到 所以所以 x=3 x=3+17t y=-2是方程的一个特解是方程的一个特解
23、.得解得解 y=-2-13t t z5 175921313yyxy 5913y5913ys1354599ssys459s12,3syx 二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）7 7、求不定方程求不定方程126x-102y=18的整数解的整数解.因为因为（126，102）=6，且且618 所以所以原不定方程有整数解原不定方程有整数解.原不定方程可化为原不定方程可化为 21x-17y=3.观察得观察得x=5，y=6时成立，时成立，所以所以原方程的解为原方程的解为 x=5+17t y=6+21t二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）再见再见二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）二元一次不定方程二元一次不定方程pptppt人教版人教版1 1（精品课件）（精品课件）
