1、第第1717讲讲函数与方程函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式题型一函数零点所在区间的判断【例1】(1)函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间
2、是()A.(1,2)B.(2,3)C.(1,e)和(3,4)D.(e,+)(2)设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式(2)h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标,其大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围为(0,1),故选A.【答案】(1)B(2)A知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能
3、 力 提 升典 例 变 式【规律总结】判断函数零点所在区间的三种方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.(2)定理法:利用函数零点的存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)1.【答案】(1)B(2)(1,+)第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式【规律方法】判断函数零点个数的三种方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲
4、线,且f(a)f(b)0),y2=ln x(x0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式A.4B.3C.2D.1 A【解析】由f(f(x)+1=0得f(f(x)=-1,综上可得函数y=f(f(x)+1的零点的个数是4,故选A.第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式题型三函数零点的应用(高频考点)函数零点的应用是每年高考的重点,多以选择题或填空题的形式考查,难度中档及以上.主要命题角度有:已知函数在
5、某区间上有零点求参数;已知函数零点或方程根的个数求参数.考法一根据零点的范围求参数【例3-1】若函数f(x)=log2x+x-k(kZ)在区间(2,3)上有零点,则k=.【解析】函数f(x)=log2x+x-k在(2,3)上单调递增,所以f(2)f(3)0,即(log22+2-k)(log23+3-k)0,整理得(3-k)(log23+3-k)0,解得3k3+log23,而43+log23m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m0,解得m3.【答案】(3,+)第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基
6、 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式【规律方法】已知函数的零点或方程根的个数,求参数问题的三种方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式变式训练三 围是.(0,1)【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出
7、函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升典 例 变 式2.设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0A【解析】依题意,f(0)=-30,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0a1,g(1)=-30,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1bf(1)0.又函数g(x)在(
8、0,1)内是增函数,因此有g(a)g(1)0,所以g(a)01,0b1,0b1,f(x)=ax+x-b,所以f(x)为增函数,f(-1)=-1-b0,则由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0.所以0a0时,f(x)=3x-1有一个零点x=,所以只需要当x0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x0时,ex(0,1,所以-a(0,1,即a-1,0).知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升基 础 训 练为.3 解得x=2,解得x=-1或x=-2,因此,函数g(x)=
9、f(x)+x的零点个数为3.知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升基 础 训 练7.方程2x+3x=k的解在1,2)内,则k的取值范围为.5,10)【解析】令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k10.当f(1)=0时,k=5.8.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是.(-,1)【解析】设函数f(x)=x2+mx-6,则根据条件有f(2)0,即4+2m-60,解得m0)的解的个数是()A.1B.2 C.3D.4B
10、【解析】(数形结合法)因为a0,所以a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图所示,所以y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升能 力 提 升2.已知a是函数f(x)=2x-x的零点,若0 x00C.f(x0)0D.f(x0)的符号不确定C 第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升能 力 提 升有零点之和为.第17讲函数与方程第17讲函数与方程知 识 梳 理典 例 变 式基 础 训 练能 力 提 升能 力 提 升(1)求g(f(1)的值;(2)若方程g(f(x)-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解:(1)利用解析式直接求解得g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t(-,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象(图略),第17讲函数与方程第17讲函数与方程
