1、竞赛数学典型问题的解决第一节 函数方程 函数方程的解法是古老的分析问题之一.许多数学家都曾对函数方程进行过研究,可是至今还没有完整的理论及解法.一些简单的函数方程只需要以初等数学为工具,在IMO中从七十年代以来,常有有关函数方程方面的问题.本节 简单介绍函数方程的常见解法和有关基本问题.基础知识1.含有未知函数的等式称为函数方程.如 1)()()(yfxfyxf),()(xfxf等等.2.在定义域内均满足函数方程的函数称为该函数方程的解.如)()(xfxf-其解为一切偶函数.3.寻找函数方程的解或证明函数方程无解的过程称为解函数方程.4.有关函数方程问题大致分为三类：(3)确定函数表达式(解函
2、数方程)(2)确定函数性质；(1)确定函数值；二.函数方程及有关问题的解法关于解函数方程及有关问题的解法,理论上没有完整的一般方法.但 归纳起来还是有一些常用的解法是可以借鉴的.1.定义法此方法是通过配方、凑项等手法,使函数方程变形为关于“自变量”原象的表达式,然后以x代替“自变量”,即得函数表达式.例1 已知 ,1)1(22xxxxf求).(xf解,2)1()1(2xxxxf).2(2)(2xxxf说明：解得的函数必须注明定义域,必须检验是否为函数方程的解.但为了简便,常省略.例2 2.换元法与方程组法此方法是通过换元,得到新的函数方程,最后通过解函数方程组求出原函数方程的解.设)(xf适合
3、等式,)1(2)(xxfxf则)(xf的值域是(2005年江西省高中数学联赛)解,1)(2)1(xxfxf得).2(31)(xxxf322231)(xxxf由 得).,322322,()(xf的值域为x得 以 x1换x与原方程消去)1(xf例3 设)(xF是对除 0 x及 1x有定义的实值函数,且 以外的一切实数xxxFxF11)(求).(xF(美国普特南)解 xxxFxxF12111在中以 x11代替 x得 xxxFxF1211由解得).1,0()1(21)(23xxxxxxFx得 在中以 xx1代替 例4 设函数,)(RRxf：满足,1)0(f且对任意 Ryx、都有,2)()()()1(x
4、yfyfxfxyf则)(xf(200年全国高中数学联赛)解、在函数方程中以x、0换,yx、得 2)()()0()1(xfxfff在函数方程中以 0 x、换,yx、得 2)0()0()()1(xffxff由、得.1)(xxf3.赋值法 赋值法(和代换法)是确定函数方程的函数性质的基本方法,在函数定义区域内赋予变量一个或几个特殊值,使方程化繁为简,达到解决问题的目的.例5 解函数方程 yxfyxfyxfcos)(2)()(解 在中令 tyx,0得 tftftfcos)0(2)()(再令 2,2ytx得 0)()(tftf得.sin)2(cos)0()(tftftf得 又再令 tyx2,2tftft
5、fsin)2(2)()()2(),0(fbfa为任意常数.其中 是原函数方程的解xbxaxfsincos)(所以,例6函数)(xf满足:对任意实数 yx、都有,23)()()(yxxyfyfxf则)36(f.(2005年全国高中联赛福建赛区预赛)解 令,0 yx得 若,2)0(f2)0(f或.3令 0y得,23)0()0()(xffxf.223)(xxf代入原函数方程知该函数不是原方程的解.若,3)0(f同理可解得,3)(xxf知该函数是原方程的解.代入原式所以,.39336)36(f4.递归法对定义在自然数集上的函数,若已知初始值及递推关系,则可利用递归关系解决问题.例7，、yx对任意实数
6、函数 满足)(xf.1)()()(xyyxfyfxf若,1)1(f则对负整数n,)(nf的表达式为 (2005年上海市高中数学联赛(CASIO杯)解 可得.2)()1(xxfxf又,1)0(f故对负整数n,有)2()1()1()()(nfnfnfnfnf)0()0()1(fff取,1y例7，、yx对任意实数 函数 满足)(xf.1)()()(xyyxfyfxf若,1)1(f则对负整数n,)(nf的表达式为 (2005年上海市高中数学联赛(CASIO杯)解 取,1y可得.2)()1(xxfxf又,易知,1)0(f故对负整数n,有)2()1()1()()(nfnfnfnfnf)0()0()1(ff
7、f1 1)3()2(nn.2232nn则 的值是 )2002(f例8 函数)(xf定义在正整数集上,且满足)()2()1(,2002)1(nffff)(2nfn)1(n(2002年上海市高中联赛)解 依题意)()2()1(nfff)(2nfn)1()1()1()()2()1(2nfnnfnfff两式相减得).(2)1(nfnnnf于是)1(112)1(nfnnnnnf)1(312112fnnnnnn)1()1)(2(2fnn.20032)2002(f5.数学归纳法 数学归纳法对解决定义在自然数集上的函数 是十分重要的方法.解 先证明“对任意自然数,k只要,kn 则.)(knf”例9 设 是定义
8、在自然数集上的函数,并在自然数集中取值.试证:如果对每一个 式的值,不等)()1(nffnf都成立,那么对每一个 n式 nnf)(都成立.的值,等)(nfn1k因1是 时,)(nf值域中最小的数,命题成立.设命题对自然数 k成立,则 1 kn时,1kn由假设有,)1(knf.)1(knff条件得 于是由,)1()(knffnf由整数的离散性得 .1)(knf再用假设有 即 1 kn时命题成立.因此,对任意自然数 n有.)(nnf再令),(kfn 则).()(kfkff又),()1(nffnf故),()1(kfkf这说明)(nf是严格递增函数.对任意,n有),()1(nffnf又)(nf是严格递
9、增，故),(1nfn即.)(nnf综上,对每一个 n的值,等式 nnf)(都成立.6.反证法 对正面直接证明有困难的命题,可以考虑用反证法.例11 是否存在定义域为实数集的函数),(xf得下列恒等式成立.使xxff)(xxff1)1)(解 则对任意实数 设题设函数存在，、ba若有),()(bfaf则有),()(bffaff由知.ba 这表示 f是实数集R到R的单射.又,在中令 0 x得 得 0)0(ff在中令 1x0)1)1(ff1)1()0(ff分别在中令 0,1xx得,1)1(ff.1)1)0(ff由此及 是单射得f1)0()1(ff得,20 矛盾.故满足题设的函数不存在.0)1)1(ff
10、0)0(ffxxff)(xxff1)1)(由及 f是单射得 7.函数迭代法函数迭代是函数复合的一种特殊形式,在现代数学中占有一定的地位.例12 设 N为自然数集,Nk若函数 NNf：格递增,且对任意,Nn都有.)(knnff对任意,Nn严都有.21)(12nknfnkk(1990年,CMO)求证:证明 对,Nn设),()(Naanf则,)()(knnffaf,)()(kaaffknf.)()(2nkknffkaf因,)(Nnf且)(nf严格递增,所以1)1()(nfnf2)2(nf.)1()1(nnf又由于,)(anf故由得.na,2)(aknaknaf所以,2)1(knak即.12)(kkn
11、nf)(2kafnk1)1(kafknkaknf)(.2knkaknkaka于是,22kaknnk所以,21nka即.21)(nknf进而另一方面,由得),()(nfnff即.akn 于是1)1()(knfknfka,12kkna1)1()(nfnf2)2(nf.)1()1(nnf又由于,)(anf故由得.na 综上,得证.8.不动点法方程 xxf)(的根称为函数)(xf的不动点.用它解决函数方程问题是一种重要的方法.例13 求所有函数),(xf值为正实数,且满足 其定义域为一切正实数,；（任意)0,0)()()1(yxxyfyxff).(0)(2xxf当）（(IMO24)解 先证:1是)(x
12、f的不动点.对任意,0,00 xa因,0)(0 xf有,0)(00 xfay故,)()(0000axfyyfxf这表明任意正实数都在)(xf的值域内.特别地,存在,0y使.1)(yf则)(1(yff),1()1(yff因,0)1(f所以.1)1(,1fy即其次证:若 ba、是)(xf的不动点,则 aab、1也是)(xf的不动点.若 ba、是)(xf的不动点,则有.)(,)(bbfaaf于是有)1(1f)1(aaf)(1(afaf),1(aaf即,1)1(aaf所以 a1是)(xf的不动点;又)(abf)(baff,)(ababf所以 ab也是)(xf不动点.的再证:1是)(xf唯一的不动点.若
13、)(xf有不动点,1a则 a1及 都是(na对任意)Nn)(xf的不动点.不妨设,1a则,lim)(lim0nnnnaaf矛盾.故1是)(xf唯一的不动点.由条件(1),对任意,0 x有),()(xxfxxff即)(xxf为)(xf的不动点.于是 所以.1)(xxf,1)(xxf9.柯西法 柯西法要求涉及的函数是连续函数或单调的函数.值,直至实数值的函数方程的解.柯西法解函数方程的基本步骤是:依次求出 对自变量的所有正自然数值、整数值、有理数 例14 设 是 上的连续函数,且对一切 fR,Ryx、有),()()(yfxfyxf求.)(xf解(1)当自变量取自然数时,由数学归纳法得).)()()
14、()(2121Rxxfxfxfxxxfinn 令 得nxxx21).,)()(RxNnxnfnxf令 得1x).1()(nfnf记,)1(af于是).()(Nnannf(2)当自变量取整数时,由 得)0()()0(fxfxf.0)0(f又),()()()0(0nfnfnnff故).)()()(Nnnaannfnf由知).()(Znannf(3)当自变量取有理数时,设.,ZmNnnmr由有),()()(nmnfnmnfmf由有,1)(1)(nmaamnmfnnmf即).()(Qrarrf(4)当自变量取实数时,对任意,Rx存在,2,1Qxnn,nx使得.limxxnn f由 f 的连续性及得,l
15、im)(lim)(axaxxfxfnnnn所以).()(Rxaxxf本例中的函数方程由数学家柯西首先研究,故称为柯西方程,其解法称为柯西方法.该解法十分典型,解法分若干步逼近最后的结果,其中每一步都成为后面推理的基础,故可形象地称为“爬坡式”推理.柯西方程也是一个重要的方程,许多方程可通过代换转化为柯西方程.例15 设 在 上单调,且)(xfR),()(21)2(yfxfyxf求).(xf解 设,)0(bf由条件得),0()(2120)()()(21fyxfyxfyfxf即),0()()()(fyfxfyxf亦即).0()()0()()0()(fyffxffyxf令),0()()(fxfxg则),()()(ygxgyxg由柯西方程知).()(Rxaxxg所以).()(为实数、babaxxf作业
