1、15.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法R八年级上册 前面我们探讨了分式的有关性质及其前面我们探讨了分式的有关性质及其运算，在分式的研究中，还有一个重要的运算，在分式的研究中，还有一个重要的内容就是分式方程，今天我们一起走进分内容就是分式方程，今天我们一起走进分式方程式方程.（1 1）知道分式方程的概念，）知道分式方程的概念，分式方程及其解法分式方程及其解法.分式方程产生增根的原因分式方程产生增根的原因.（2 2）会解分式方程）会解分式方程.l知识点1l解分式方程（一）为了解决引言中的问题，我们得到了方程为了解决引言中的问题，我们得到了方程 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？仔细观
2、察这个方程，未知数的位置有什么特点？90603030vv=+-+-l分母中含有未知数 l追问你能再写出几个分式方程吗？l分式方程的概念：l分母中含有未知数的方程叫做分式方程ll我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中21211023525；=+-+-xxxxl注意l思考思考l如何解分式方程 可以可以先去分母先去分母，将分式方程转化为我们熟知的，将分式方程转化为我们熟知的整式方程整式方程，再解整式方程，再解整式方程90603030vv=+-+-l l例如解分式方程l方程两边同乘各分母的最简公分母 l得l解得90603030=+-+-vv3030（）（），+-+-vv90 3060
3、30（）（）-=+.-=+.vv6=.=.v检验：将检验：将v v=6=6代入原方程中，左边代入原方程中，左边=2.5=2.5=右边，因此右边，因此v v=6=6是是原方程的解原方程的解.l将方程化成整式方程的关键步骤是什么？l归纳归纳 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是式方程，具体做法是“去分母去分母”，即方程两边乘最简公，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法分母，这也是解分式方程的一般方法.l下面我们再讨论一个分式方程在方程两边乘最简公分在方程两边乘最简公分母母 ，得得 x x+5=10+5=10 解得解得 x x=
4、5=5（x x-5-5）（）（x x+5+5）2110525xxlx x=5=5是原分式方程是原分式方程的解吗？的解吗？将将x x=5=5代入原分式方程检验，发现这时分母代入原分式方程检验，发现这时分母x x-5-5和和x x2 2-25-25的值都为的值都为0 0，相应的分式无意义，因此，相应的分式无意义，因此x x=5=5不是分不是分式方程的解，实际上，这个分式方程无解式方程的解，实际上，这个分式方程无解.练习练习1 1 下列方程哪些是分式方程？下列方程哪些是分式方程？_x x+y y=1=12253xyz12x35yx11xx235xx练习练习2 2 指出下列方程中各分母的最简分母，并指
5、出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程写出去分母后得到的整式方程.l1223xx22411xxl解：解：最简公分母最简公分母2 2x x(x x+3)+3)，去分母得去分母得x x+3=4+3=4x x；最简公分母最简公分母x x2 2-1-1，去分母得去分母得2 2(x x+1+1)=4=4；练习练习3 3解方程并检验解方程并检验.1223xx解：解：最简公分母最简公分母 2 2x x（x x+3+3），），去分母得去分母得 x x+3=4+3=4x x，x x=1.=1.l检验：l左边=右边12l知识点2l解分式方程（二）l思考 上面两个分式方程中，为什么上面两个分式方
6、程中，为什么 去分母后所得整去分母后所得整式方程的解就是的解，而去分母后所得整式方程的解却式方程的解就是的解，而去分母后所得整式方程的解却不是的解呢？不是的解呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）一个含未知数的式子（最简公分母）.l方程l方程当当v v=6=6时，（时，（30+30+v v）（）（30-30-v v）0 0，这就是说，去分，这就是说，去分母时，方程两边乘了同一个不为母时，方程两边乘了同一个不为0 0的式子，因此的式子，因此所得整式方程的解与的解相同所得整式方程的解与的解相同.当当x x=5=5时，（时，（x x-
7、5-5）（）（x x+5+5）=0=0，这就是说，去分母，这就是说，去分母时，方程两边乘了同一个等于时，方程两边乘了同一个等于0 0的式子，这时所的式子，这时所得整式方程的解使出现分母为得整式方程的解使出现分母为0 0的现象，因此这的现象，因此这样的解不是的解样的解不是的解.一般地，解分式方程时，去分母后所得整式一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为方程的解有可能使原方程中分母为0 0，因此应做如下检，因此应做如下检验：验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为公分母的值不为0 0，则整式方程的解是原方程的解；否
8、，则整式方程的解是原方程的解；否则这个解不是原方程的解则这个解不是原方程的解.例例1 1 解方解方程程 .233xx解：解：方程两边乘方程两边乘 x x（x x-3-3），得），得2 2x x=3=3x x-9-9x x=9=9l检验：当当 x x=9=9时，时，x x（x x-3-3）0 0，所以，原分式方程的解为所以，原分式方程的解为 x x=9.=9.例例2 2 解方解方程程 .31112（）（）xxxx解：解：方程两边乘（方程两边乘（x x-1 1）（）（x x+2+2），得），得x x（x x+2+2）-（x x-1-1）（）（x x+2+2）=3=3x x=1=1l检验：l当x=1
9、时，（x-1）（x+2）=0所以，原分式方程无解所以，原分式方程无解.因此，因此，x x=1=1不是原分式方程的解不是原分式方程的解.练习练习4 4 解解关于关于x x 的的方程方程 （b b 1 1）.1abxa解：解：方程两边同乘方程两边同乘x x-a a，得，得 a+ba+b（x x-a a）=（x x-a a）去括号，得去括号，得 a+bx a+bx-ab ab=x x-a a 移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得 （b b-1 1）x x =abab-2 2a al21abaxb检验：检验：当当 时，时，b b 1 1，b b-1 1 0 0，x x-a a 0 0，所以所以 是
10、原分式方程的解是原分式方程的解21abaxb21abaxbA.2A.2（2 2x x）=1=1 B.2+B.2+（2 2x x）=1=1C.2C.2（2 2x x）=x x1 1 D.2+D.2+（2 2x x）=（x x1 1）1.1.把分式方程把分式方程 两边同乘两边同乘（x x1 1），约去分母后，得，约去分母后，得（）22111xxxD D2.2.分式方程分式方程 的解是（的解是（）A.A.x x=1=1B.B.x x=1 1C.C.x x=1414D.D.无解无解365011()()xxxx xD D3.3.已知关于已知关于x x的方程的方程 有增根，求该方程的增根和有增根，求该方程
11、的增根和k k的值的值.解：解：去分母，得去分母，得3 3x x+3-+3-（x x-1-1）=x x2 2+kxkx，整理，得整理，得x x2 2+（k k-2-2）x x-4=0.-4=0.因为有增根，所以增根为因为有增根，所以增根为x x=0=0或或x x=1.=1.当当x x=0=0时，代入方程得时，代入方程得-4=0-4=0，所以所以x x=0=0不是方程的增根；不是方程的增根；当当x x=1=1时，代入方程，得时，代入方程，得k k=5=5，所以所以k k=5=5时方程有增根时方程有增根x x=1.=1.211333xxkxxxx4.4.解方程：解方程：11122511588111
12、13324()()()()()()()()xxxxxxxxx1111113123251111113583811113324xxxxxxxxx解：解：方程可化为：方程可化为：得得1111113111318xxx 解得解得x x=-3=-3，经检验：经检验：x x=-3 3是原方程的根是原方程的根.分式方程分式方程整式方程整式方程x=ax=ax=ax=a是分式是分式方程的解方程的解x=ax=a不是分不是分式方程的解式方程的解最简公分母不为最简公分母不为0 0最简公分母为最简公分母为0 0l去分母l解整式方程l检验l解分式方程的一般步骤：l 1.从课后习题中选取；l 2.完成练习册本课时的习题。在本
13、课的教学过程中，应从这样的几个方面在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：入手：（1 1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：方程式里必须有分式，式方程必须满足的两个条件：方程式里必须有分式，分母中含有未知数分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的必要条件为分式方程的必要条件.同时，由于分母中含有未知数，同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根式有意义，否则，这个根就是
14、原方程的增根.正是由于正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验行检验.（2 2）分式方程和整式方程的联系：分式方）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想这种化归思想.（3 3）解分式方程时，如果分母是多项式，）解分式方程时，如果分母是多项式，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母生准确无误地找出最简公分母.另外，对分式方程可能产生增根的原因，另外，对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论要启发学生认真思考和讨论.
