1、第四节一、几种常见的曲面及其方程一、几种常见的曲面及其方程二、二次曲面二、二次曲面 三、曲线三、曲线曲面与曲线 第七七章 由两点间距离公式1.空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。),(zyxM),(0000zyxM特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为定值为R，定点xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx定点叫球心，定值叫半径。例例2.研究方程042222yxzyx解解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图
2、形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.5)2()1(222zyxxyzxyzol2、柱面、柱面.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.抛物柱面抛物柱面,椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byax经过z 轴的平面平面.0 yx以上的柱面母线都平行于Z轴 CC 叫做准线准线,l 叫做母线母线.xyzoooClM1M222Ryx圆柱面圆柱面xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面
3、上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l一条平面曲线3 3、旋转曲面、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周 所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC思考：思考：当曲线
4、 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L),0(zyMxy例例4.求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可
5、得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0)zyx1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc
6、 时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z2.抛物面抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)zyx3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bb
7、y或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线:双曲线:0(2)双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面图形图形4.椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222tbytaxtz,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆
8、锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P316)xyz内容小结内容小结1.空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面:22222zbyax1
9、1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC2三、曲线又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzaozyxo2 2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度
10、,称为螺距螺距.)(tyy)(tzz M例例1.将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解:(1)根据第一方程引入参数,txcostysin)cos26(31tz(2)将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t3 3、空间曲线在坐标面上的投影、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGz
11、yxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzxyo1C又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.(2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2几种常见的曲线及在坐标平面上的投影(3)zxyo oaoa222azx222ayxP324 题2(1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xyyz2x319422yx3y022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao作业作业 P32 3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
