1、习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分学多元函数微分学一、一、基本概念基本概念连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在可微性可微性1.多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系几个基本概念的关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习机动
2、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.讨论二重极限讨论二重极限yxyxyx 00lim解法解法101lim1100 xyyx原式原式解法解法2 令令,xky 01lim0 kkxx原式原式解法解法3 令令,sin,cos ryrx0sincossincoslim0 rr原式原式时时,下列算法下列算法是否正确是否正确?分析分析:yxyxyx 00lim解法解法101lim1100 xyyx解法解法2 令令,xky 01lim0 kkxx原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的
3、情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况.时时例如例如xxy 21lim2230 xxxx原式原式此时极限为此时极限为 1.第二步第二步 未考虑分母变化的所有情况未考虑分母变化的所有情况,1,111 xyxxy时时例如例如解法解法3 令令,sin,cos ryrx0sincossincoslim0 rr原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性,时时当当4,0 r)sin(2sincossincossincos4 rr极限不存在极限不存在!由以上分析可见由以上分析可见,三种解法都不对三种解法都不对,因为都
4、不能保证因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的的变化应该是任意的.同时还可看到同时还可看到,本题极限实际上不存在本题极限实际上不存在.xxyyxsinlim.200计算极限yxxaxy 2)11(lim.3),(y)(x,求求 0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示:利用利用,222yxyx 2122)(41),(yxyxf )0,0(0),(lim00fyxfyx 故故
5、f 在在(0,0)连续连续;,0),0()0,(yfxf又因又因0)0,0()0,0(yxff所以所以知知在点在点(0,0)处连续且偏导数存在处连续且偏导数存在,但不可微但不可微.4.证明证明:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 而而 )0,0(f,00时时，当当 yx22)0,0()()(yxf 22222)()()()(yxyx 0所以所以 f 在点在点(0,0)不可微不可微!232222)()()()(yxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.已知已知求出求出 的表达式的表达式.),(yxf解法解法1 令令,yxu ),(vuf
6、)(uvu 即即)(),(xyxyxf ,)0,(xxf)1(),(yxyxf解法解法2)()(),(yxyxyxyxyxf )(),(xyxyxf 以下与解法以下与解法1 相同相同.,)(),(22yxyxyxyxf ,)0(xxf，）（）（vuyvux 2121,则则xx )(且且,yxv )()()(241241uvuvu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1.分析复合结构分析复合结构(画变量关系图画变量关系图)自变量个数自变量个数=变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求
7、对象判定自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习题练习题,1),(2 xyyxf,2),(21xyxfxy 1.已知已知求求.),(22xyyxf 解解:由由1),(2 xxf两边对两边对 x 求导求导,得得02),(),(2221 xxxfxxfxxxf2),(21 1),(22 xxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
8、2.)1,1(,1()1(ff 1)(dd3 xxx1)1,1(f1dd)(32 xxx 3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf),(2xxf 1 x 351,1)1,1(f,),(,()(xxfxfx ,2)1,1(xf求求.1)(dd3 xxx),(yxfz 在点在点)1,1(处可微处可微,且且设函数设函数,3)1,1(yf解解:由题设由题设 2 3)32(考研题考研题)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.设设其中其中 f 与与F分别具分别具,0),(,)(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得 xz
9、dd)0(23 FFfx xzdd 1F 23FFfx 1 32FFfx 12FFfxffx 221FffFxfFx 有一阶导数或偏导数有一阶导数或偏导数,求求fxfxzxyfx dddd132ddddFxzFxyF f fx)dd1(xy.ddxz xyFdd20dd3 xzF(考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2 0),(,)(zyxFyxfxz方程两边求微分方程两边求微分,得得化简化简消去消去 即可得即可得yd.ddxzyF d2 0d3 zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321 zFyFxFxfxfd)(xF d1 机
10、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习题练习题1.设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数求下列函数的二阶偏导数.2xyz ),()3()()2()()1(222xyxfzxyxfzxyfxz 2.同济同济(下下)P73 题题12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解答提示解答提示:)()1(2xyfxz :)()2(2xyxfz xyxyfxyz2)(2 xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2 xyz2 xyz2 fy2)(22xy fxy 2)1(22xy fxy22第第 1 题题机动
11、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2222fxyxyz)(2xy21f 2222fxy :),()3(2xyxfz 22fxyyz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvuxuv P73 题题12 设设求求,sin,cosvuzveyvexuu yzxz ,zvuyxyxxz 得得由由,sin,cosveyvexuu 得得由由,vuz vveuvexuudsindcosd 提示提示:vveuveyuudcosdsind 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yvuyuv yz 利用行列式解出利用行列式解出 du,dv：veveveveveyvexu
12、uuuuuucossinsincoscosdsindd xu yxdd veucos veusin 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yu 代入代入即得即得;xz xv yxvddd veusin veucos yv xvxu 及及将将代入代入即得即得.yz yvyu 及及将将tdtteyxezxxyx 0sin,2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,)(xyy 及及)(xzz 分别由下两式确定分别由下两式确定求求.ddxu又函数又函数答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux (考研考研）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
13、 返回返回 结束结束 3.设设导数。有二阶有二阶连续偏导数求所其中具设),ecosx,f(sinx,z.4yx三、多元函数微学的应用三、多元函数微学的应用1.1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面(关键关键:抓住切向量抓住切向量)求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线(关键关键:抓住法向量抓住法向量)2.极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法)求解最值问题求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法最小二乘法
14、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.4.在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面1222222 czbyax的切平面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点并求切点.解解:设设,1),(222222 czbyaxzyxF切点为切点为),(000zyxM则切平面的法向量为则切平面的法向量为,220ax ,220by 202czM即即 zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程切平面方程0)(2020 zzcz)(2020yyby )(2020 xxax 机动机动 目录目录 上页上页 下页下
15、页 返回返回 结束结束 ),(zyxFFFn 问题归结为求问题归结为求 222222zcybxas 在条件在条件1222222 czbyax下的条件极值问题下的条件极值问题.设拉格朗日函数设拉格朗日函数 222222zcybxaF 1222222czbyax)0,0,0(zyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 切平面在三坐标轴上的截距为切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令令 2222xaxaFx 022 ax 0222222 byybybFy 0222222 czzczcFz1222222 czbyaxcbaaax cbabby cbaccz 由实
16、际意义可知由实际意义可知 cbacccbabbcbaaaM,为所求切点为所求切点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 唯一驻点唯一驻点例例5.22yxz 求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解：解：2261 zyxd设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点，则则 P),(zyxP22yxz 的距离为的距离为022 zyx问题归结为问题归结为(min)22(2 zyx约束条件约束条件:022 zyx目标函数目标函数:22 zyx作拉氏函数作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结
17、束结束 到平面到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41 zyx令令22yxz 解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点02)22(2 yzyxFy0)2)(22(2 zyxFz02)22(2 xzyxFx由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在,241414161min d647 故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上求一点上求一点,使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1.在曲面在曲面yxz ,093 zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 .提示提示:设所求点为设所求点为,),(000zyx则法线方程为则法线方程为0
18、00zzyyxx 利用利用113100 xy得得3,1,3000 zyx平面平面0y0 x1 000yxz 法线垂直于平面法线垂直于平面点在曲面上点在曲面上机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面1222222 czbyax的切平面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积并求此体积.提示提示:设切点为设切点为,),(000zyx)1(222222 czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出用拉格朗日乘数法可求出.),(000zyx则切平面为则切平面为所指四面体围体积所指四面体围体积120
19、2020 czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大最大,故取拉格朗日函数故取拉格朗日函数 例例4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (见例见例4)测测 验验 题题 3 3、22)(lim2200yxyxyx().().(A)0 (A)0 ；(B)1 (B)1 ；(C)2 (C)2 ；(D)(D)e .4 4、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在该点可微在该点可微 的的().().（A A）充分条件
20、）充分条件,但不是必要条件；但不是必要条件；（B B）必要条件）必要条件,但不是充分条件；但不是充分条件；（C C）充分必要条件；）充分必要条件；（D D）既不是充分条件）既不是充分条件,也不是必要条件也不是必要条件.7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=().V=().(A)(A)323a；(B)(B)33a；(C)(C)329a；(D)(D)36a.8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是().().(A)(1,2)(A)(1,2)；(B)(1.-2 (B)(1.-2)；(C
21、)(-1,2)(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).(D)(-1,-1).9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0,0,0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ().().(A)1 (A)1 ；(B)0 (B)0 ；(C)(C)61 ；(D)(D)81 .10 10、设函数、设函数),(),(yxvvyxuu 在点在点),(yx的某邻的某邻 域内可微分域内可微分,则则 在点在点),(yx处有处有 )(uvgrad().().)(;)(;)(;)(graduvDgradvuCgraduvgradvuBgradvgraduA 二、讨论函数二、讨论函数33yxyxz
22、的连续性，并指出间断点类型的连续性，并指出间断点类型.一、一、1 1、A A；2 2、B B；3 3、B B；4 4、B B；5 5、D D；6 6、C C；7 7、A A；8 8、A A；9 9、D D；10 10、B.B.二、二、(1)(1)当当0 yx时时,在点在点),(yx函数连续；函数连续；(2)(2)当当0 yx时时,而而),(yx不是原点时不是原点时,则则),(yx为可去间断点为可去间断点,)0,0(为无穷间断点为无穷间断点.三、三、1 1、1ln)(ln yxxyz,yyxyxzlnln；2 2、,)(321fxyzyzyffuxx 32)(fxyzxzxfuyy .3 3、,0,00,)(2),(22222223 yxyxyxxyyxfx测验题答案测验题答案 0,0,)()(),(2222222222yxoyxyxyxxyxfy.四、四、dyzyzfdxzyff1)()()1)(221 .五、五、uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2.六、六、.)sincos(,)sincos(uuevvvuyzevuvvxz 七、七、,sincos lf,4,45 43.47 及及 )3()2()1(八、八、).1235,53,54(九、切点九、切点abcVcba23),3,3,3(min.
