1、 定积分：以直代曲，用定积分：以直代曲，用“均匀均匀”的研究的研究“不均匀不均匀”的；用无限的方的；用无限的方法研究有限的问题，从局部到整体法研究有限的问题，从局部到整体 具体实例：具体实例：曲边梯形的面积曲边梯形的面积、变速直线运动的路程变速直线运动的路程新课导入新课导入 中学学习过：三角形，圆形，矩形，中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算，而计算而计算平面曲线围成的平面平面曲线围成的平面“曲边图形曲边图形”的面积的面积、变速直线运动物体位移变速直线运动物体位移、变力做变力做功功等问题等问题.我们已学过了我们已学过了如何计
2、算曲边图形面积如何计算曲边图形面积.如何计算变速如何计算变速直线物体位移呢？直线物体位移呢？利用导数我们解决了利用导数我们解决了“已知物已知物体运动路程与时间的关系，求物体体运动路程与时间的关系，求物体运动速度运动速度”的问题的问题.反之，如果已知反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程？其在一定时间内经过的路程？提出问题提出问题1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程教学目标教学目标知识与能力知识与能力 “以不变代变以不变代变”的方法，把的方法，把变速直线运动的路程问题化归为变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，凭借匀速
3、直线运动的路程问题，凭借求曲边梯形的经验解决问题求曲边梯形的经验解决问题.过程与方法过程与方法 (1)结合求曲线梯形面积化为四结合求曲线梯形面积化为四个步骤：分割、近似代替、求和、个步骤：分割、近似代替、求和、取极限分析汽车变速直线运动取极限分析汽车变速直线运动.(2)了解定积分概念中蕴涵的最了解定积分概念中蕴涵的最本质的思想本质的思想.情感态度与价值观情感态度与价值观 本节通过实例加深同学对本节通过实例加深同学对“以不变代变以不变代变”“”“分割分割”“”“以局以局部代整体部代整体”等积分思想的理解等积分思想的理解.教学重难点教学重难点重点重点 结合上节知识解决汽车变速直线运结合上节知识解决
4、汽车变速直线运动的问题动的问题.难点难点 以以“不变代变不变代变”的思想方法，定积的思想方法，定积分的概念分的概念.汽车以速度汽车以速度v作作匀速直线运动时，匀速直线运动时，经过时间经过时间t所行驶的所行驶的路程为路程为s=vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为的速度为 (t的单位：的单位：h，v的单位：的单位：km/h)，那么它在，那么它在 这这段时间内行驶的路程段时间内行驶的路程s（单位：（单位：km）是）是多少？多少？2v(t)=-t+20t1 与求曲边梯形面积相似，与求曲边梯形面积相似，我们采取我们采取“以不变代变以不变代变”的方的方法，把法，把求
5、变速直线运动的路程求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动问题，化归为求匀速直线运动的路程问题的路程问题.将区间将区间0,1等分成等分成n个小区间，在个小区间，在每个小区间上每个小区间上.由于由于v(t)的变化很小的变化很小.可以认为汽车近似做匀速直线运动，从可以认为汽车近似做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得近似值，再求和得s的近似值，最后让的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到趋向于无穷大就得到s的精确值的精确值.1T2Txoi1tit1it 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成
6、个分点，将它等分成n个小区间：个小区间：112n-10,1nnnn 记第记第i i个区间为个区间为 ，其长度为：其长度为：i-1 i,i=1,2,nnnii-11t=-=nnn 把汽车在时间段把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作：上行驶的路程分别记作：112n-10,1nnnn nii=1S=S12nS,S,S 显然有显然有 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，近似的变化值很小，近似地等于一个常数地等于一个常数.从物理意义上看，就是汽车在时间从物理意义上看，就是汽车在时间段段 上的速度变化很小，上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻不妨认为它
7、近似地以时刻 处的速度作处的速度作匀速行驶匀速行驶.i-1i,nnt2v(t)=-t+2i-1ni-1 i,i=1,2,nnn2ii2i-1i-11s=s=vt=-+2nnni-112=-+i=1,2,nnnn在区间在区间 上，近似地认为上，近似地认为 即即在局部小范围内认为在局部小范围内认为“以匀速代变以匀速代变速速”.i-1i,nn2i-1i-1v=-+2nn 由近似代替求得：由近似代替求得：nnnii=1i=12ni=12222233i-1ss=s=v tni-112=-+nnn111n-11=-0-+2nnnnn1=-1+2+n-1+2n1(n-1)n(2 n-1)=-+2n6111=
8、-1-1-+23n2 n nnnni=1n1i-1s=lims=limvnn1115=lim-1-1-+2=3n2n3 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时，趋向于趋向于s，从而有，从而有n111s=-1-1-+23n2nt 结合求曲线梯形面积的过程，你结合求曲线梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程认为汽车行驶的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的曲所围成的曲边梯形的面积有什么关系？边梯形的面积有什么关系？2v(t)=-t+2 由于由于 在数值上等于下图所有小在数值上等于下图所有小矩形的面积之和矩形的面积之和.其极限就是由直线其极限就是由直
9、线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的曲所围成的曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上等于由直线在数值上等于由直线t=0，t=1,v=0和曲和曲线线 所围成的曲边梯形的面所围成的曲边梯形的面积积.ns2v(t)=-t+22v(t)=-t+22 2v v=-t t+2 2xoya.一般地，如果物体做变速直线运一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为动，速度函数为 ，那么我们也，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在极限的方法，求出它在 内的位内的位移移s.v=v(t)atb 我想到了我想到了单位
10、时间通过的路程例题1 小王驱车到小王驱车到80km外的一个小镇，外的一个小镇，共用了共用了2个小时，个小时，(km/h)为汽车行驶的平均速度，然而车速为汽车行驶的平均速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在不器显示的速度（瞬时速度）却在不停地变化，因为汽车作的是变速运停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算汽车行驶的瞬时速度动，如何计算汽车行驶的瞬时速度呢呢?s80v=40t2一般地：一般地：设设S是某一物体从某一选定时刻到时是某一物体从某一选定时刻到时刻刻t 所走过的路程，则所走过的路程，则S是是t 的一个函数的一个函数下面讨论物体在任一时刻下面讨论物体在任一时刻t0 的的瞬时速度瞬时速
11、度.S=S(t)00t,t+t00S=S t+t-S tsO 0tstts000S t+t-S tSv=tt瞬时速度内的内的平均速度平均速度为为ttt 很小时，速度的变化不大，可以很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替以匀速代替.0v tt0=limvt0S=limt 00t0S t+t-S t=limt 越小，平均速度越小，平均速度 就越接近于时就越接近于时刻刻 的瞬时速度令的瞬时速度令 取极限，取极限，得得到到瞬时速度瞬时速度tv0 0t tt00v t 局部以匀速代替变速，以平均速度代局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速
12、度的近似值过渡到瞬时速度的精确值度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.21sgt,t0,102 一小球做自由落体一小球做自由落体运动，其运动方程为运动，其运动方程为研究研究0tt t例题2 考察小球在考察小球在 s 时的瞬时时的瞬时速度速度 .v(2)t=2 tsvtt1.5,2 1.99,2 1.9999,2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2019.62,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5 其变化情况见下表：从表上可以看出，不同时间段上从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等
13、，当时间段的平均速度不相等，当时间段 很小时，平均速度很小时，平均速度 很接近某一确很接近某一确定的值定的值19.6(m/s)，即小球在，即小球在 s时的瞬时速度为：时的瞬时速度为：tvt=2v(2)=19.6m/s.你能用学过的知你能用学过的知识计算出来吗？识计算出来吗？相关实例（1）分割）分割1012n-1n2T=t t t t t=T1 iiitttiiitvs )(（3）求和）求和iinitvs )(1（4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 （2）取近似）取近似课堂小结课堂小结 若做为整体来看，物体做若做为整体来看，物体做变速直变速直线运动线运动，求路
14、程，求路程.没有现成公式，与上没有现成公式，与上例类似，例类似，把时间间隔分成若干小段把时间间隔分成若干小段，在每一小段时间间隔内，近似地认为在每一小段时间间隔内，近似地认为速度不变，用速度不变，用匀速直线运动代替，求匀速直线运动代替，求出各小段的路程再相加，得到路程的出各小段的路程再相加，得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分近似值，最后通过对时间的无限细分求得路程的精确值求得路程的精确值课堂练习课堂练习 设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由离，若气体体积由 变至变至 ，求
15、气体压力，求气体压力所做的功（如下图）所做的功（如下图）.O S 1 S 2 S 1 1V V2 2V V 气体膨胀为等温过程，所以气体气体膨胀为等温过程，所以气体压强为压强为 (气体体积，气体体积，常常数），而活塞上的总压力为数），而活塞上的总压力为：CQCF=PQ=VS，CP=VVC课堂答案课堂答案（活塞的截面积，活塞的截面积，为活塞移动的距为活塞移动的距离，）以离，）以 与与 表示活塞的初始与终止位置，表示活塞的初始与终止位置，于是得功为于是得功为QSVSQ1S2S22112121SSSSVVV2V11W=FdS=CdSS1=CdVVV=ClnV=Cln.V教材习题答案教材习题答案2ii
16、21s=s=vt=-+2n12=-+i=1,2,nnniinnin 1、解：、解：能用能用.nnnii=1i=12ni=12223322ss=s=v t12=-+nn1111=-0-ininnn1+2+n(n+1)n(2 n+3)+2nnnn1=-+2n1=-+2n6131+1+n2 n1=-+23nnnni=1nin131+1+n2n1s=lims=limvn15=lim-+2=33 所以能用，求得的极限仍所以能用，求得的极限仍是是 .仍是仍是由直线由直线t=0，t=1,v=0和和曲线曲线 所围成的曲边梯所围成的曲边梯形的面积形的面积.532v(t)=-t+2（1）分割：将）分割：将0，2等分，等分，（2）（3）求和：）求和：(4)取极限：取极限：i-1i-1 v(t)=i=1 nn取取2nniii=ni=n(i-1)2v(t)t=-+5.nn 22222 2n-1 4n-11122(n-1)1.=-(+)+10=-+10nnnnn6nii-1ii-1t=,t=i=1 nnn 2nn-1 n 2n-1122lim-+10=n6n32、解：、解：
