1、1第一部分：初等数学及高等数学的应用第一部分：初等数学及高等数学的应用2例例1345 例2：股票的黄金分割法股票的黄金分割法 黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上直接从波段的低点加上0.382倍、倍、0.618倍、倍、1.382倍、倍、1.618倍倍作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去去0.382倍及倍及0.618倍，作为其下跌支撑。倍，作为其下跌支撑。另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为
2、计算基期，黄金分割的而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算：支撑点可分别用下述公式计算：1、某段行情回档高点支撑某段行情终点（某段、某段行情回档高点支撑某段行情终点（某段行情终点某段行情最低点行情终点某段行情最低点)0.3822、某段行情低点支撑某段行情终点（某段行情、某段行情低点支撑某段行情终点（某段行情终点某段行情最低点终点某段行情最低点)0.618如果要计算目标位：则可用如果要计算目标位：则可用下列公式计算下列公式计算3、前段行情最低点（或最高点）（前段行情最高、前段行情最低点（或最高点）（前段行情最高点本段行情起涨点点本段行情起涨点)1.382（或
3、（或1.618）上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。用。6 例：某支股票的走势颇为符合黄金分割原则，1999年3月份，该股从14.31元起步，至6月底，该股拉升到34.31元，完成这一波的涨升，随后我们来看该股的支撑价位：根据公式：下跌低点支撑34.31（34.3114.35)0.61822元事实上该股1999年11月份回调最低点为22.48元，误差极小，投资者只要在22元一线附近吸纳，就可以找到获利机会。目标价位也可通过公式计算。上升行情上涨压力21.97（34.3121.97)1.61842元该股在2000年二月份摸高至45元后回
4、落，投资者在42元可以从容卖出获利。7例3：8910例4：如何调整工人的数量而使得产量不变1112 例5：征税的学问131415例6 以多大利率贷出贷款可获最大利润1617 例7：收入分布问题（劳伦斯曲线）181920 例8：房租如何定价可使利润最大2122 例9：如何选择最优批量2324 例10 鱼群的适度捕捞问题2526 例11 石油的消耗量问题27 例12 租客机还是买客机282930例12-1旅游方案的最优选择旅游方案的最优选择 一家庭去某地旅游。甲旅行社优惠计划：父亲购一张全一家庭去某地旅游。甲旅行社优惠计划：父亲购一张全票其他人都可以享受半票优惠，乙旅行社：家庭旅行集体购票其他人都
5、可以享受半票优惠，乙旅行社：家庭旅行集体购票按原价票按原价2/3记收。请确定旅行社选择方案。记收。请确定旅行社选择方案。31假设：假设：根据常识，对同一目的地，两个旅行社的报价是相同的。根据常识，对同一目的地，两个旅行社的报价是相同的。设该家庭有小孩设该家庭有小孩x个，两个旅行社的收费为个，两个旅行社的收费为y和和z。由题设可知，选择甲旅行社的费用为：由题设可知，选择甲旅行社的费用为：y=a+(x+1)*a/2选择乙旅行社的费用为：选择乙旅行社的费用为：z=2a*(x+2)/3该问题就是讨论在该问题就是讨论在a为正常数，为正常数，x为非负整数的情况下，函数为非负整数的情况下，函数y和和z之间，
6、值大小比较问题，之间，值大小比较问题，求解：求解：利用图解法，方便直观利用图解法，方便直观O 1 xy z y结论：从图形得知，两条直线交点为结论：从图形得知，两条直线交点为x=1,也就是说，只有一个孩子的家庭，两个旅行社也就是说，只有一个孩子的家庭，两个旅行社的优惠政策相同；没有孩子的家庭应该选择乙旅行社，有两个以上孩子的家庭应该选择的优惠政策相同；没有孩子的家庭应该选择乙旅行社，有两个以上孩子的家庭应该选择甲旅行社。甲旅行社。32 例13天然气产量的预测3334 例14终身供应润滑油所需的数量35 例15 转售机器的最佳时间3637 例16 人口统计模型383940 例17估计某医院某段时
7、间内的就医人数 4142 例18 捕鱼成本的计算4344 例18-1怎样计算均匀货币流的价值454647 例19 导数在经济学中的应用48495051例20：最大利润问题52535455 例21 消费者与生产者剩余问题56575859606162 例22：最佳停产时间的确定6364例：例：为什么不宜制造太大的核弹头为什么不宜制造太大的核弹头6566 例23商品的存储费是多少？67 例24根据库存量的函数估计保险费的多少68例例24-1 一个不算不知道的打水问题一个不算不知道的打水问题 每天晚上每天晚上5:005:00至至5:305:30之间开水房的拥塞想必让之间开水房的拥塞想必让每一个大学生都
8、深有感触吧，偏偏这种时候还有一每一个大学生都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。那么，怎样打水才算合理呢？69分析分析 假设现在有2个水龙头，10个人来打水，每个人拎着两
9、个壶，每打一壶要1分钟，这是一种很常见的情况。方法方法A A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：2*(2+4+6+8+10)=60分钟方法方法B B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分钟 结论：后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。70例例24-2 反复学习的效率问题反复学习的效率问题 心理学研究指出，任何一种新技能的
10、获得和提高都要通心理学研究指出，任何一种新技能的获得和提高都要通过一定时间的学习。在学习中常遇到这样的现象，有的学生过一定时间的学习。在学习中常遇到这样的现象，有的学生学得快，掌握的深，有的同学学得差，掌握的浅。以电脑学学得快，掌握的深，有的同学学得差，掌握的浅。以电脑学习为例，假设每学习电脑一次能掌握一定的新内容，其程度习为例，假设每学习电脑一次能掌握一定的新内容，其程度为常数为常数A(0A1),试用数学知识来描述经过多少次学习，就试用数学知识来描述经过多少次学习，就能基本掌握电脑知识。能基本掌握电脑知识。71解、设：解、设：b0为开始学习电脑时所掌握的程度。为开始学习电脑时所掌握的程度。A
11、表示经过一次学习之后所掌握的程度，即每次学习所掌表示经过一次学习之后所掌握的程度，即每次学习所掌握的内容占上次学习内容的百分比。握的内容占上次学习内容的百分比。模型建立：模型建立：利用数列的记号，记利用数列的记号，记bn为经过为经过n次学习后所掌握的程度。次学习后所掌握的程度。易知易知 0bn1。根据假设，开始学习时未掌握的内容为：根据假设，开始学习时未掌握的内容为：1-b0,经过学经过学习习 后掌握的新内容为后掌握的新内容为A(1-b0),则得到递推公式：则得到递推公式：b1-b0=A(1-b0),类似可求得：类似可求得：b2-b1=A(1-b1),bn+1-bn=A(1-bn),即：即：b
12、n+1=bn+A(1-bn)=bn(1-A)+A=1-(1-A)(1-bn),模型求解：模型求解：根据递推公式容易算出：根据递推公式容易算出：b1=b0+A(1-b0)=1-1+b0+A-A*b0=1-(1-A)(1-b0)b2=1-(1-A)(1-b1)=1-(1-A)(1-1-(1-A)(1-b0)=1-(1-A)2(1-b0)1.以此类推得到：以此类推得到：bn=1-(1-A)n(1-b0)，经计算有如下结论：，经计算有如下结论：72迭代次数迭代次数掌握程度掌握程度A=0.3,b0=0A=0.3,b0=01 1b b1 10.30.32 2b b2 20.510.513 3b b3 30
13、.6570.6574 4b b4 40.75990.75995 5b b5 50.831930.831936 6b b6 60.8823510.8823517 7b b7 70.91764570.91764578 8b b8 80.942351990.942351999 9b b9 90.9596463930.9596463931010b b10100.9717524750.9717524751111b b11110.9802267330.9802267331212b b12120.9861587130.9861587131313b b13130.9903110990.99031109973例
14、例24-3 一个星级宾馆的定价问题一个星级宾馆的定价问题一个星级宾馆有一个星级宾馆有150间客房，经过一段时间的经营实间客房，经过一段时间的经营实践践,该宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为该宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为160元元,住房率为住房率为55%;定价为定价为140元元,住房率为住房率为65%;定定价为价为120元元,住房率为住房率为75%;定价为定价为100元元,住房率为住房率为85%.欲使每天收入最高欲使每天收入最高,问每间客房的定价应是多少？问每间客房的定价应是多少？74 解解 经分析，为建立宾馆一天收入的数学模型，可作如下假设：经分析，为建立宾馆一天收入的数学模
15、型，可作如下假设：假设假设1，在无其它信息时，不妨设每间客房的最高定价为，在无其它信息时，不妨设每间客房的最高定价为160元元.假设假设2，根据提供的数据，设随房价的下降，住房率呈线，根据提供的数据，设随房价的下降，住房率呈线性增长性增长.假设假设3，设宾馆每间客房定价相等，设宾馆每间客房定价相等.模型建立模型建立 根据题意，设根据题意，设y表示宾馆一天的总收入，表示宾馆一天的总收入，x为与为与160元相比元相比降价的房价降价的房价.由假设由假设2，可得每降低，可得每降低1元房价，住房率增加为元房价，住房率增加为 10%/20 =0.005所以，所以，y=150(160-x)(0.55+0.0
16、05x)由于由于0.55+0.005x1，可知，可知 0 x90 解模型解模型 整理得：整理得：y=-0.75(x-25)2+13668.7575显然，当显然，当x=25时，时，y最大，因此可知：最大，因此可知：x=25元，最大收入的客房定价为元，最大收入的客房定价为160-25=135元，相应的住房率为元，相应的住房率为0.55+0.00525=67.5%，最，最大收入为大收入为13668.75元元.讨论验证讨论验证 1)容易验证此收入在已知各种定价对应收入容易验证此收入在已知各种定价对应收入中是最大的，事实上中是最大的，事实上定价160140135120100收入1320013450136
17、68.75135001275076如果为了便于管理，那么定价如果为了便于管理，那么定价130元元/天间也是可天间也是可以的，因为此时它与最高收入只相差以的，因为此时它与最高收入只相差18.75元元.2)如果定价是如果定价是180元元/天间，住房率应为天间，住房率应为45%，其相应收入只有其相应收入只有12150元元.因此假设因此假设1是合理的是合理的.事实上二次函数只有一个极值点事实上二次函数只有一个极值点25在在0，90之内之内.77 例25 核废料的处理78)()(xQyxPdxdy 补充知识：一阶线性非齐次微分方程的通解补充知识：一阶线性非齐次微分方程的通解常数变易法常数变易法1）一般式
18、）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxxPCe)(dxexQedxxPdxxP )()()(齐次的齐次的通解通解非齐次的特解798081828384例例：为什么要用三级火箭发射人造卫星：为什么要用三级火箭发射人造卫星85868788899091 例26 如何确定商品价格的波动规律9293 例27 能抓住走私船吗？-94959697 例28 游船上的传染病人数9899 例29 油井的收入为多少100例30 在确定的预算下，劳动力与资本的最佳配置101102例31 抵押贷款与分期付款的购物分析103104105106107108109例32 怎样确定电视机的最优价格？110111112例33 广告的费用及效应113114115116117118例34 最大利润问题119120例35 如何购物最满意121122例36 替商店预测某个月加利福利亚酒的销量123例37 当商店卖两种牌子的果子冻时，如何取得最大利润124例38 如何计划家庭教育基金125126127例39 药物在体内的残留量128129130例40 经济中的乘子效应131132例41 n年后提取n2元，需要事先存入多少元？133134135136
