1、水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹迹曲面的实例：曲面的实例：2.2曲面的方程曲面的方程1.曲面的方程)1(,0),(zyxF般是用方程一之间的关系式表达用点的坐标性质把曲面上点的特征在空间建立坐标系后,zyx)1().,(yxfz或定义定义2.2.1如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：（1 1）曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；.)1()1(,曲面块的方程一
2、般表示空间一或每一形如反之如面称其为虚曲何实图形曲面方程有时不代表任注,01222zyx如括直线包有时代表一条曲线三元方程又),(0),(zyxF,022 yx.,0轴即代表直线zyx有时代表一个点，如,0222zyx).0,0,0(即坐标原点个基本问题：曲面与方程研究中的两.,)1建立其方程的曲面给定作为点的几何轨迹（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）.形状.)1 的实例以下讨论问题.,1程所成二面角的平分面方求两坐标面例yozxoz所以轨迹面有等距离的点的因所求平分面是与解,yozxoz.),(xyzyxM在平分面上点,xy所以,0 yx或.00即为所求与所以yxyx研究这方程的曲面的间的方程
3、给定坐标,)2zyx（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）xyozxoy面面yoz面面zox面面xyxy显然三坐标面的方程为面yoz,0 x面xoz,0y面xoy,0z面的平面的方程平行于yoz),0(ax面的平面的方程平行于xoz),0(by面的平面的方程平行于xoy).0(cz.,2常数的点的轨迹于求到两定点距离之和等适当选择坐标系例两轴即以两定点连线作如图建立坐标系解,ox为原点，定点确定的线段的中点oxyz 并设两定点为),0,0,(),0,0,(cBcA)0,0,(cA)0,0,(cB),(zyxM动点),(zyxM 由题意有),(2常数aBMAM222)(zycx即,2)(2
4、22azycx化简得),()(2222222222caazayaxca于是实际意义有由三角形性质及问题的,ca,0,22zyca原方程即为时当.,0,0cxzy故动点轨迹为.轴上的线段这是x则动点轨迹为令时当,222cabca).(,1222222旋转椭球面bzbyax解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地，球心在原点时方程为特殊地，球心在原点时方程为2222Rzyx (2.2-1)(2.2-1)(2.2-2)(2.2-2)得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球
5、面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 2202020Rzzyyxx 由由由由(2.2-1)展开得展开得,0)(2222202020000222Rzyxzzyyxxzyx其特点二次方程故球面方程是一个三元,平方项系数相等；.没有交叉项反之，若三元二次方程满足以上特点则可化为反之，若三元二次方程满足以上特点则可化为,0222222lkzhygxzyx(2.2-3)(2.2-3)的形式的形式,配方得配方得lkhgkzhygx222222)()()(,)32.2(,0222表示实球面则lkhg叫点球，表空间一点则,)32.2(,0222lkhg.,)32
6、.2(,0222叫虚球面无实图形则lkhg以上三种情形统称为球面以上三种情形统称为球面.总之总之,球面的方程是一个具有特点球面的方程是一个具有特点:平方项系数相等平方项系数相等且无交叉项的三元二次方程且无交叉项的三元二次方程;反之具有以上特点的三反之具有以上特点的三解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为元二次方程表示一个球面元二次方程表示一个球面.2.曲面的参数方程单参数向量函数平面曲线参数方程是以已知,)(trr,)()()(21etyetxt
7、r或.定义的xyzoM.,方程可定义曲面的参数仿此函数域内定义了双参数向量的变化区设在两变数vu,),(vurr(2.2-4)(2.2-4)图图1321),(),(),(),(evuzevuyevuxvur或(2.2-5)(2.2-5)vuvurvuzvuyvux,),(),(),(),(且都是的分量是，向径时取遍变动区域的一切值当的函数,vu),(vurOM所画出的轨迹一般的终点),(),(),(vuzvuyvuxM.为一张曲面(图图1)为则称完全确定的值通过可由而这向径向径总对应着以它为终点的上的任意点曲面同时上总在曲面的终点表示的向径若由对定义)52.2(,)52.2(,),()52.2
8、(),(,2.2.2vuMMvurdvcbuavu.,为参数的向量式参数方程，vu曲面的坐标式参数方程).,(),(),(vuzzvuyyvuxx，(2.2-6)(2.2-6)注注 曲面的参数方程含曲面的参数方程含两个两个参数参数,曲线的参数方程只曲线的参数方程只含含一个一个参数参数.,5的球面的参数方程半径为求中心在原点例r角又设在坐标面上的有向轴上射影为在为面上射影在是所论球面上任一点设解,QxppxoyMMyx zoM p Q,),(OPi，如图的交角与)(,POMOMOP则负取正方下面上在当点),(,)(xoyM,PMQPOQOMr,)sin(krPM而jOPQP)sin(,)sinc
9、os(jr图图2r,)coscos()cos(iriOPOQ.)sin()sincos()coscos(krjrirr所以(2.2-7)(2.2-7).球面的向量式参数方程球面的坐标式参数方程.sin,sincos,coscosrzryrx(2.2-8)(2.2-8)为参数，且，.22,通方程可得它的普消去从球面的参数方程,)82.2(.2222rzyx.,6方程的圆柱面的参数半径为轴为对称轴求以例Rz则为轴上射影在面上的有向角再设面上射影为在是圆柱面上任一点设解,),(,QxpOPixoypxoyMM,PMQPOQOMr,)cos(iROQ而zxyoM p QrR,)sin(kuPMjRQP
10、.)sin()cos(kujRiRr所以(2.2-9)(2.2-9).程圆柱面的向量式参数方程圆柱面的坐标式参数方.,sin,cosuzRyRx(2.2-10)(2.2-10)为参数，且u,u图图3消去参数得普通方程.222Ryx(2.2-11)(2.2-11)则球面方程轴的夹角与为方程中，若取如在球面的参数是唯一的数方程的表达形式也不空间曲面的参程一样与平面上曲线的参数方注,ozOM.cos,sinsin,cossinrzryrx.0,3.球坐标系与柱坐标系总可以把的任意点离为空间中与坐标原点的距,r zyxoM p Q图图2rxy zoM p Q图图3r.cos,sinsin,cossin
11、rzryrx.sin,sincos,coscosrzryrx因此将球面的球面上半径为它看成在以原点为中心,r,)82.2(,的位置说明了空间一点式看成变量时半径Mr并设改写成若将所示如图,2r),22(),(),0(POMxOPOM则有的值都确定,.sin,sincos,coscoszyx轴上在若内任意取定到与到分别在与则是原点若也就确定了则三个值确定点的位置如果已空间反过来点的位置即被确定zMMMM;22,0,(,;),22,或而内任意取定到在则但不是原点其余的点与三数组轴上的点这样就使空间的点除去,z的叫空间点有序三数组或称空间极坐标系系间点的球坐标这种一一对应关系叫空一一对应M,而记作空
12、间极坐标球坐标),(),(M.22,0，有关系标与球坐空间点的直角坐标建立球坐标系后),(),(,zyx.sin,sincos,coscoszyx，22,0(2.2-12)(2.2-12)又有关系反过来,.arcsin,sin,cos,2222222222zyxzyxyyxxzyx又有关系反过来,(2.2-13)(2.2-13)坐标系里由如在直角在球坐标系里比较简单某些曲面的方程,2222azyx系里的方程是决定的球面，在球坐标,a而在球坐标系里的方程),(常数a表示一个半平面，方程),(0常数).(只有一腔表示一个圆锥面柱坐标系柱坐标系总可以把它看成在的点轴的距离为空间中与,Rz)102.2
13、(,)0(,)3(,则由来表示并改用看成变量径若将圆柱面半上图的圆柱面半径为轴为轴以RRzzzMuMMu除去这样就使空间的点可任意确定则轴上在若的值也就确定那么点的位置确定时若反过来的位置的值可确定空间一点(),(,;,的柱坐叫点有序三数组对应关系叫柱坐标系这种一一一一对应与有序三数组轴上的点外Muu,)而记作标),(,uM.,0u，有关系与柱坐标空间点的直角坐标),(),(uzyx.,sin,cosuzyx，u,0(2.2-14)(2.2-14)又有关系反过来,.,sin,cos,222222zuyxyyxxyx(2.2-15)(2.2-15)即方程如圆柱面在柱坐标系里比较简单某些曲面的方程),112.2(,222ayx在柱坐标系里的方程是,a而柱坐标系里的方程),(常数a.表示一个半平面练习题.1098)3(.4)4(.3)1.(28887；PP
