1、12RETURNRETURN3二、二、RETURNRETURN4 引引 量子力学量特点：量子力学量特点：任何状态下，一般具有一任何状态下，一般具有一系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。经典力学量特点：经典力学量特点：任何状态下，都有确定解。任何状态下，都有确定解。力学量如何表示力学量如何表示 5(1)(1)坐标的期望值坐标的期望值2w同同 理：理：粒子处于处的概率密度粒子处于处的概率密度 2dd d dxxxx y z所以所以 量子态的平均值（力学量量子态的平均值（力学量F F在在 态中的平态中的平均值）称为期望值。均值）称为期望值。d d dyyx
2、 y zd d dzzx y z6(2)(2)势能期望值势能期望值 *dVxVx(3)(3)动量的期望值动量的期望值 2dpxp粒子动量概率密度粒子动量概率密度 2p i3 21ed2p xpxx 粒子动量期望值粒子动量期望值 2*ddppp ppppp x分量：（以一维情况为例）分量：（以一维情况为例）其中其中 7所以所以 *dxxppppp i()*1dd e-id2dp xxxpdxpxxxx ii*1dee2pxpxxdxdxppxx ii*1dd eie2dpxpxdxpxx dxx*dd()idxdxxxxxx i()*1dded-i2dp xxdxxpxxx *ddiddxxxx
3、xxpxx8同同 理：理：*dyxpyypy *dzzpzzpz推广至三维情况推广至三维情况 *ddPx pxxix 由此得到计算期望值的一个新的数学工具由此得到计算期望值的一个新的数学工具 算符算符 一般地，粒子的任何一个力学量一般地，粒子的任何一个力学量A的期望值：的期望值：*dAxAxx9结论结论：量子力学中力学量的期望值量子力学中力学量的期望值A与相与相 应的算符对应应的算符对应 AA102.2.力学量的可能值与算符的关系力学量的可能值与算符的关系 一维无限深势阱中运动粒子一维无限深势阱中运动粒子22222nnEmasin2nanxa2222222dsin2d22anHxnmxama
4、能量的可能值即为相应算符的本征值。能量的可能值即为相应算符的本征值。能量可能值能量可能值11结论结论：力学量力学量F的可能值与相应算符的本征值对应的可能值与相应算符的本征值对应 量子力学中力学量与力学量算符的这种量子力学中力学量与力学量算符的这种对应关系称之为：对应关系称之为：力学量算符表示力学量。力学量算符表示力学量。基本假定：基本假定：如果力学量如果力学量F的相应算为的相应算为 ，则力学量则力学量F的可能值即为的可能值即为 的本征值的本征值,当系当系统处于统处于 的本征态时的本征态时,力学量力学量F 有确定值，有确定值，亦即在亦即在态中态中 的本征值。的本征值。FFFFAA12 例例,FF
5、rpFri角动量角动量 Lrp角动量算符角动量算符 iLrpr 如果量子力学中的力学量如果量子力学中的力学量F在经典力在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符量的算符 由经典表示式由经典表示式F(r,p)中将中将r,p换成相应的算符而构成。换成相应的算符而构成。FRETURNRETURN132 2基本性质基本性质 其中其中为任意函数为任意函数,则称两算符相等则称两算符相等,即即1 1定义定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号的运算符号 （1 1）算符相等）算符相等FGFGI（2 2）单位算符）单位
6、算符IF如果两算符如果两算符 满足满足,F G作用到任意函数作用到任意函数上上,不变不变14（3 3）算符之和）算符之和FGFG满足：满足：FGGFFGKFGK加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律 （4 4）算符乘积）算符乘积FGFGFGGF一般一般 ,则称二者不对易。则称二者不对易。则称两算符对易。则称两算符对易。FGGF若若 ,为任意函数为任意函数,即即,()0F GFGGF两算符与之和定义为两算符与之和定义为两算符与之积定义为两算符与之积定义为15则称两算符反对易。则称两算符反对易。FGGF 若若 ,为任意函数为任意函数,即即,()0F GFGGF（5 5）逆算符）逆算符1F或或
7、如果两算符满足如果两算符满足 FGI则称两者互为逆算符则称两者互为逆算符.记记 11,GF FG且有且有 GFIFF设设 能唯一的解出能唯一的解出,则定义则定义 的逆算符为的逆算符为16（6 6）算符的转置、复共轭及厄米共轭）算符的转置、复共轭及厄米共轭 量子系统任意两波函数的标积：量子系统任意两波函数的标积：*,d *11221122*11221122,0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)cccccccc 性质性质:算符的转置算符算符的转置算符 *ddFF*,FF或或17()F GG F 证明证明:*()dd()d()d()d()()dFGFGF GGFFGGF 18 例题例题 求动量的
8、转置算符。求动量的转置算符。*dddiidiidxxpxpxxxxxxixxppx 所以所以 算符的算符的复共轭算符复共轭算符 把算符中的所有复量换成共轭复量。把算符中的所有复量换成共轭复量。如：动量的复共轭算符如：动量的复共轭算符*ixxppx 解解 19厄米共轭算符厄米共轭算符*FF*ddddFFFF,FF*,FFFFF 或或 因因,为任意函数为任意函数,于是于是 （7 7）幺正算符：）幺正算符：1FF F FFFI 若若 或或 ,则则称称为为么正算符。么正算符。20（8 8）算符的函数）算符的函数()0(0)()!nnnff FFn其中其中()()()nnnfxf xx(,)0(0,0)
9、(,)!n mnmnff F GF Gn m(,)(,)(,)nmn mnmfx yf x yxy（9 9）线性算符）线性算符11221122()F ccc Fc F满足运算规则满足运算规则的算符的算符 称为线性算符，称为线性算符，c1 1，c2 2是任意常数。是任意常数。F21（1010）厄米算符）厄米算符 FGG F可以证明可以证明:,FF FF 若若 ,即即 ,则称则称为为厄米算符厄米算符 例例 动量算符动量算符 是线性算符是线性算符ip 注：注：期望值为实数的算符必为厄米算符。期望值为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的期望值都是实数。厄米算符的期望值都是实数。*dddFFFF*ddFF
10、FF所以所以 是实数。是实数。22注：注：厄米算符的本征值必为实数。厄米算符的本征值必为实数。,F 设设 *ddFF 因为因为 *所以所以*dd,则有则有 3 3算符的本征值方程算符的本征值方程 F则称则称为为 的本征值，的本征值，为属于为属于的本征函数，的本征函数，上述方程称为算符上述方程称为算符 的本征值方程。的本征值方程。FF 如果算符如果算符 作用于一个函数作用于一个函数，结果等于，结果等于乘上一个常数乘上一个常数乘上这个函数乘上这个函数，即即F23*xxxxpppp*ddddiidiixxxpxpxpxxxdxxxixxppx 例题例题 证明动量算符是厄米算符。证明动量算符是厄米算符
11、。解解 因为因为所以所以 或或FGG FFGG F。例题例题 证明证明 解解 所以所以 *FGFGGFG F因为因为RETURNRETURN241 1线性：线性：态叠加原理的要求。态叠加原理的要求。2 2厄米性：厄米性：因力学量的可能值为相应算符的因力学量的可能值为相应算符的 本征值，且应为实数，而厄米算本征值，且应为实数，而厄米算 符的本征值定为实数。符的本征值定为实数。结论：结论：量子力学中表示力学量的量子力学中表示力学量的 算符应该为线性厄米算符。算符应该为线性厄米算符。RETURNRETURN25RETURNRETURN26ip 本征值方程：本征值方程：ipprpr 三个分量方程：三个
12、分量方程：ipxppxipyppyipzppz解之得解之得 iep rprC 27归一化常数的确定：归一化常数的确定：*223232diexpd d diiiexpdexpdexpd22ppxxyyzzxxyyzzxxyyzzrrrCppxppyppzx y zCppxxppyyppzzCppppppCpppp3 212C i3 21e2p rpr 动量的本征函数动量的本征函数所以所以 RETURNRETURN28iLrpr 直角分量：直角分量：角动量平方算符：角动量平方算符：22222222xyzLLLLyzzxxyzyxzyxixzyLypzpyzzyiyxzLzpxpzxxzizyxLx
13、pypxyyx29在球坐标系中：在球坐标系中：sincossinsincosxryrzr2222costanrxyzzryxrxrxxxryryyyrzrzzz zxyOz(,)Pxyzyxr30因为因为sincosrxxr1coscosxrsinsinxr cosrzzr1sinzr 0zsinsinryyr1sincosyrcossinyr3111 sinsincoscoscossin11 cossinsincossinsin1cossinxrrryrrrzrri()xLyzzy isincotcosi()i(coscot sin)yLzxxz izL 所以所以32222222sin2co
14、tcossinxL 2222222cotcos(cotcsc)sincoscotcos2222222222222cos2cotsincoscotsin(cotcsc)sincoscotsinyL 2222zL 2222xyzLLLL222211(sin)sinsin 33角动量平方算符的本征函数和本征值角动量平方算符的本征函数和本征值 2222211(sin),sinsin 分离变量分离变量 ,代入上式，再乘以代入上式，再乘以 ，得，得 2sin222sindd1 d(sin)sin(ddd 数）常220dd由由 34 ieC 由周期性条件由周期性条件 2 i2e122m0,1,2,m iem
15、C i1e2m*dmmmm 所以所以得得 *d1 12C 由归一化条：由归一化条：得得3522sindd(sin)sinddm221ddsin0sinddsinm令令 ，cosx y 则化为连带勒让德方程则化为连带勒让德方程 222dd10,dd1ymxyxxx1,0,1,2,xm 2221dP112!dml mlmlll myxxxlx x=1 1是正则奇点，其余点均为常点是正则奇点，其余点均为常点,利用级数解法，利用级数解法，时，时，当当得物理上允许的解：得物理上允许的解：(1),0,1,2,l ll36所以所以,角动量动量平方算符的本征函数角动量动量平方算符的本征函数球谐函数球谐函数iY
16、,(1)PcosemmmlmlmlN 由归一化条件：由归一化条件：!214!lmlmlNlmi()!21Y,P(cos)e4()!mmlmllmllm 角动量平方算符的本征值：角动量平方算符的本征值：22Y,(1)Y,lmlmLll 角动量角动量z分量算符的本征函数和本征值：分量算符的本征函数和本征值：Y,Y,zlmlmLm (0,1,)ml(0,1,2,)l 37注：注：角动量平方、角动量角动量平方、角动量z分量算符的本征值分量算符的本征值22(1)Ll lzLm(0,1,)ml(0,1,2,)l 对应于对应于 的一个本征值：的一个本征值：2L2)1(，ll有有2 2l+1+1个不同的本征函
17、数，称为个不同的本征函数，称为2 2l+1+1度简并的，度简并的，l称角量子数，称角量子数，m称磁量子数。称磁量子数。封闭性：封闭性：*01Y(,)Y(,)()sinllmlmlml 1()coscossinRETURNRETURN38RETURNRETURN391.1.定义：定义：如果两函数满足如果两函数满足 *1212d,0 则称两函数相互正交。则称两函数相互正交。2.2.定理：定理：厄米算符的属于不同本征值的两个厄米算符的属于不同本征值的两个 本征函数相互正交。本征函数相互正交。证明：设厄米算符的本征函数为证明：设厄米算符的本征函数为 12,n相应的本征值为相应的本征值为 12,n40对
18、于不同本征值的本征函数，如对于不同本征值的本征函数，如 kkkF F*ddklkklF 由由*ddkllklF*()0klkld 得得klkl时，又又*,0klkld 故故所以，两函数正交。所以，两函数正交。注：注：对于属于对于属于 的简并的波函数，的简并的波函数，一般相互间不一定正交，但可采用施密特正交化一般相互间不一定正交，但可采用施密特正交化方法使其正交归一化。方法使其正交归一化。n(1,2,)ninif413.3.正交归一系正交归一系 满足条件：满足条件：*dklkl *d()函数系函数系 构成正交归一系。构成正交归一系。或或k例：例：（1 1）线性谐振子能量本征函数构成正交归一系）线
19、性谐振子能量本征函数构成正交归一系 )(2221xHeNnxnnaa22eH()H()xnnnnnnN Nxx dxaaa或或42（2 2）角动量）角动量z z分量算符的本征函数构成正交归一系分量算符的本征函数构成正交归一系 i1e,2mm0,1,2,m 2*0dmmmm（3 3）角动量平方算符的本征函数构成正交归一系）角动量平方算符的本征函数构成正交归一系 iY(,)P(cos)mmlmlmlNe 2*00dY Ysin lml mllmmd（4 4）一维无限深方势阱（宽为）一维无限深方势阱（宽为a）的能量本征函数）的能量本征函数 构成正交归一系构成正交归一系 2()sin,(1,2,)nn
20、xnaa*0()()dannnnxxxRETURNRETURN431.1.定理定理 厄米算符厄米算符F的本征函数的本征函数 构成一完备的正构成一完备的正交函数系，由该函数系为基矢所张开的空间称交函数系，由该函数系为基矢所张开的空间称为希尔伯特空间（函数空间）。体系的任何一为希尔伯特空间（函数空间）。体系的任何一个状态个状态 可以可以 为基展开为级数，即为基展开为级数，即 ()nnnxC（F具有分立谱）具有分立谱）*d(,)nnnC dC（F具有连续谱）具有连续谱）*dC 或或 其中其中其中其中442.2.本征函数完备性条件本征函数完备性条件封闭性关系封闭性关系 分立谱：分立谱：(,)()()n
21、nnx tC tx*()()(,)nnCtxx t dx*(,)()(,)()()()(,)d()(,)dnnnnnnx txx t dxxxxx t xxxx t x上式中上式中 *()()=()nnnxxxx其中其中45连续谱：连续谱：dC*dCx 封闭性关系：封闭性关系：既有分立谱又有连续谱：既有分立谱又有连续谱：(,)()()()dnnnx tCtxCx封闭性关系：封闭性关系：*()()()()d()nnnxxxxxx其中其中*()()d=()xxxx46（1 1）归一化条件归一化条件 *2*,1ddmnmnmnmnmnnm nnC CC CC （2 2）任一力学量平均值）任一力学量平
22、均值 *2ddmmnnmnnmnmnmnnnnFFCFCC CC注：注：物理意义：物理意义：表示任意表示任意 态中态中,系统处于系统处于 （本征值为（本征值为 ）的概率。）的概率。2nCn n 的物理意义的物理意义 2nCRETURNRETURN47 态下态下,多次测量力学量的平均值趋于一多次测量力学量的平均值趋于一个确定值，而每次测量的结果，围绕平均值有个确定值，而每次测量的结果，围绕平均值有一个涨落一个涨落,2*2()dFFF 2()d0FFx 若体系处于一种特殊状态，使得测量力学若体系处于一种特殊状态，使得测量力学量所得的结果是完全确定的，即涨落为零量所得的结果是完全确定的，即涨落为零
23、20F 对于特殊状态显然有对于特殊状态显然有 ()0FF,nnFF为常数。为常数。F48nnnFF记记基本假定：基本假定：测量力学量时，所有可能出现的值测量力学量时，所有可能出现的值 都是相应的线性厄米算符的本征值。都是相应的线性厄米算符的本征值。49 解解 根据根据 ()()nnnxCx把把 按动量本征函数展开按动量本征函数展开 100()()dpprCrp0i.23 23011e.esind d d(2)rp rapCrra *100()()dppCrr其中其中0100301()erarai.*3 21e(2)p rp 因为因为，例题例题 已知氢原子处于基态，已知氢原子处于基态，求其电子动
24、量的概率分布。求其电子动量的概率分布。0100301()erara50001i1i()()3 2002ieed(2)pprraarrrrpa3 2220002i111i1i(2)()()pppaaa3 2022220(2)aap所以，动量几率分布密度：所以，动量几率分布密度：35204222208paCa p0i12cos223 201001ddcos ed e(2)rprarraRETURNRETURN51RETURNRETURN52 1.1.基本对易式基本对易式 ,i,xpaa 1()0()aaaixxpxx()iiixp xxxxx ixxxpp x (),ixxxxpp xx p 因为
25、因为所以所以53(),izzzzpp zz p ,0yzxzxyx px py py pz pz p同理：同理：(),iyyyypp yy p2.2.角动量算符的对易式角动量算符的对易式 Lrp ,xyxyyxLLL LL L()()()()zyxzxzzyypzpzpxpzpxpypzp()()xyzzypxpp zzpizL,iyzxLLL,izxyLLL同理：同理：54角动量算符定义：角动量算符定义：iLLL,iLLLaa1231aaa Levi-Civita符号符号 同理可证：同理可证：,iLxxaa2,0LLa(,)x y za即即,iLppaa 其中其中55 例题例题 证明证明,(
26、)ixfpf xx ,()ixpf xffxx iiffffxxxx 因因 是任意的函数，所以是任意的函数，所以,()ixfpf xx 解解 取任意函数取任意函数 ，由于，由于56 解解 2222,L rL xL yL zx L xL x xy L yL y yz L zL z zaaaaaaaaaa 2,00(i)i(i)i0 xLryzzyzyyz22,0yzLrLr2222,xyzLpLpppaa,xxxxyyyyzzzzp lplpppL pL pppL pL ppaaaaaa 00(i)i(i)i0yzzyzyyzppp pppp p22,0yzLpLp 例题例题 证明证明 。2,0
27、Lra2,0Lpa，因为因为所以所以又因又因同理同理同理同理RETURNRETURN57证明：证明：设设 ，nnnFfnn nGg()0nnnnnnnFGGFg ff gFGGFnnnC如果两个算符如果两个算符 和和 有一组共同的本征有一组共同的本征 函数，而且组成完备系，则算符函数，而且组成完备系，则算符 和和 对易。对易。Fn GFG因为因为即有即有,0F G一般情况：设任意波函数态为一般情况：设任意波函数态为，因，因 组成完备组成完备 系，所以系，所以n 58()()0nnnFG GFC FG GF即有即有,0F GnnnGFf GnnnFf 设设 ，则，则 因为因为,0F GnnnFG
28、f G所以所以证明：证明：（1 1）非简并）非简并 如果两个算符如果两个算符 、对易，则这两个算符对易，则这两个算符 有共同的本征函数，这些本征函数组成有共同的本征函数，这些本征函数组成 完备系。完备系。F G即即 也是本征值为也是本征值为 的本征函数的本征函数 nGnf59又因又因 是无简并的，所以：是无简并的，所以：nfn 与与 描写同一个状态，二者只差一个常数。描写同一个状态，二者只差一个常数。nG nnngG 则则 故：故：也是也是 的本征函数的本征函数 Gn 是是 和和 的共同本征函数的共同本征函数 n FG（2 2）简并时）简并时ns设设 的本征值的本征值 有简并，简并度为有简并，
29、简并度为 Fnf(1,2,)ninninFfisnininniFGGFf G也是也是 属于属于 的本征函数的本征函数 nG Fnf因为因为所以所以60因有简并因有简并 nG 故故 与与 所描写量子态不一定相同。所描写量子态不一定相同。n G即：即：的本征函数的本征函数 不一定是不一定是 的本征函数。的本征函数。Fn 1nsniniia11nnssniniiniiiGGaga令令 F设：设：，共同的本征函数为共同的本征函数为 Gn nf显然，显然，是是F的本征函数的本征函数,本征值为本征值为 。n Gn 为使为使 也是的也是的 本征函数，令本征函数，令g g 是是 的本征值。的本征值。G其中其中
30、 61*11ddnnssin jniin jniiiaGxgax 11nnssijiijiiia Gga10nsjijiiiGga （线性齐次方程组）线性齐次方程组）det()0jijiGg由由 1,2,njs同乘同乘 ，积分，积分*jn 分别将分别将 代入前式可得对应于每个代入前式可得对应于每个 的一组解的一组解 jgjg若无重根：若无重根：可解出可解出 个个jgns(1,2,)njsija(1,2,)njs62所以相应的波函数所以相应的波函数 (1,2,)njijninajs满足满足 njnnjFfnjjnjGg所以所以:jgG可按可按 的的 个本征值个本征值 来分类来分类ns一组一组 确
31、定的本征函数确定的本征函数 ，度简并解除。度简并解除。),(jngfjn nsF即即:是是 、的共同本征函数的共同本征函数,本征值分别为本征值分别为 。n G,njfgnnnjFfs属个数于 的本征函63与与 、对易的力学量，才能确定体系的状态。对易的力学量，才能确定体系的状态。FG若若 有重根：有重根：则还需再找出则还需再找出0)det(jijigGd d对易关系的物理意义：对易关系的物理意义：若两算符对易，则两算符存在共同的本征若两算符对易，则两算符存在共同的本征函数。在其共同本征函数所描写的态中，两算函数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符表示的力学量同时有确定的值。符表示的力学量同时
32、有确定的值。因为因为 的本征函数的本征函数 构成完全系，所以构成完全系，所以 、的共同本征函数也组成完全系。的共同本征函数也组成完全系。FGn F64如：如：i()3 21e(2)xyzp rpppp 2222222,()(),022LH LrU rLmrrrr 22221,022zzzLH LLLLrmr2,0zLL动量动量 满足满足 ，有共同的本征函数。有共同的本征函数。,xyzp p p,0 xyyzzxp pp pp p相应的本征值为：相应的本征值为：,xyzp p p氢原子的氢原子的 满足：满足：2,zH L L65共同本征函数共同本征函数 YnlmnllmR,nlmnnlmHE42
33、2e2snmEn22(1),nlmnlmLll,znlmnlmLm3.3.力学量完全集力学量完全集 要完全确定系统所处的状态，需要一组相互要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的力学量（通常通过它们的本征值），这一对易的力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集。全集。22(1)Ll lzLm 其中其中 在在 态下，能量、角态下，能量、角动量平方、角动量动量平方、角动量z z分量同时具有确定值。分量同时具有确定值。nlm 120e(4),se66如：如：本征值有简并：本征值有简并：2L)，,(lmY)1(2l
34、l 确定的确定的 ，有，有 2l+1 个个 要完全确定状态要完全确定状态 ，需确定，需确定m,当当l、m),(lmY同时确定时，状态才能唯一确定。而同时确定时，状态才能唯一确定。而m 与力学与力学 量量 相对应。即需另找一个与相对应。即需另找一个与 对易的力学量，对易的力学量，才能完全确定状态。才能完全确定状态。zL2L),(2zLL 构成一组力学量完全集。构成一组力学量完全集。一般情况，力学量完全集所包含的力学量一般情况，力学量完全集所包含的力学量个数等于体系的自由度。个数等于体系的自由度。例例:三维空间中自由粒子的自由度是三维空间中自由粒子的自由度是3,3,完全确完全确 定它的状态需定它的
35、状态需 三个力学量。三个力学量。,xyzp p p 氢原子中电子自由度是氢原子中电子自由度是3,3,完全确定它的状完全确定它的状 态需态需 3 3个相互对易的力学量个相互对易的力学量.2,zH L LRETURNRETURN67下面讨论一般情况：下面讨论一般情况：设任意两力学量，相应的算符且满足设任意两力学量，相应的算符且满足 iFGGFk相应的涨落相应的涨落 FFFGGG考虑积分：考虑积分：2()(i)d0IFG 问题：问题：若系统处于若系统处于F的本征态，测力学量的本征态，测力学量F时，时，F有有确定值，亦即涨落确定值，亦即涨落 ，如同时测量另一力学，如同时测量另一力学量量G，则，则 20
36、F2?G682*()()di()()dFFGF*()()d()()diFGGG 2*2*2()di()d()dFF GG FG ,iF GF Gk ()()FF FFGG 222()().()0IFkG 由不等式成立条件：由不等式成立条件：2224 FGk因为因为又又所以所以2()(i G)dIF 69222.4kFG22221,22kFGF G不确定关系：不确定关系：故有故有或或如：如：坐标与动量的测不准关系：坐标与动量的测不准关系：2224xxp 能量与时间的测不准关系：能量与时间的测不准关系：2224tE2221,2FGF G70注：注：不确定关系是物质粒子波粒二像性矛盾的不确定关系是物
37、质粒子波粒二像性矛盾的反映，标志着经典粒子及力学量的概念对于反映，标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度。由于普朗克常量非常微观粒子的适用程度。由于普朗克常量非常小，在一般的宏观现象中，不妨引用轨道的小，在一般的宏观现象中，不妨引用轨道的概念，但在处理微观世界中的现象时，必须概念，但在处理微观世界中的现象时，必须用不确定关系。用不确定关系。71 例例题题 用不确定关系计算线性谐振子的基态零点能量。用不确定关系计算线性谐振子的基态零点能量。解解 由于由于谐振子平均能量为谐振子平均能量为 222122pEmxm2 222eH()d0 xnnxNxxxaa22222()()()xxxxx
38、x2 22 211222deH()ieH()ddxxnnnpNxxxxaaaa2 22 22 2112222dieH()eH()(eH)d dxxxnnnnNxxxxaaaaa2 22 211222deH()ieH()ddxxnnnNxxxxaaaa p由于由于故故由于由于720p 22222()()()pppppp222()1()22pEmxm22221()28()mxmxmin12E20()Ex 令令2()2xm有有 所以所以故故因此因此73 例题例题 利用不确定关系估计氢原子的基态能量。利用不确定关系估计氢原子的基态能量。解解 由氢原子的能量公式由氢原子的能量公式222sepEmr222
39、1()2spEemr0p 0r 22()ppp 22()rrr 平均能量平均能量因因74 p r 2222()eErr所以所以0()Er 令令22s rme 有有故：当故：当 时，时，22serm 氢原子的最小（基态）能量氢原子的最小（基态）能量4min2smeERETURNRETURN75 RETURNRETURN76 量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是具有确定的期望值及概率分布。具有确定的期望值及概率分布。*(,)(,)dFFdx t Fx tx*ddddd
40、FFFFtttt 力学量力学量F的期望值的期望值力学量力学量F F的期望值的期望值随时间的变化率随时间的变化率 77*d11 dd()ddiiFFFHHFtt *11 dddiiFFHHFt *1 d()diFFHHFt d1 ()diFFFHHFtt1,iFF Ht1iHt*1()iHt 注意到注意到则有则有即即78力学量期望值随时间的变化率力学量期望值随时间的变化率d Fdt1,iFF Ht守恒量的特点：守恒量的特点：力学量期望值不随时间变化，力学量期望值不随时间变化，。0 dtFd力学量的可能测量值的概率分布不随时间变化。力学量的可能测量值的概率分布不随时间变化。注：若注：若 不显含不显
41、含t,t,且且 ,则则 称为体系称为体系 的守恒量。的守恒量。0,HF FF79212Hpmd1,0dipp Ht 22222()()22LHrU rmrrrmr,0yzLHL H222211,022xxxL HLLL Lmrmr同理同理22221,02L HLLmr由于由于故故由于由于故故8022d1,0did1,0did1,0did1,0dixxyyzzLL HtLLHtLLHtLL Ht所以所以 0,Htd1,0diHH Ht由于由于RETURNRETURN81 iHt设线性变换设线性变换Q（存在逆变换（存在逆变换 ，不依赖于时间），不依赖于时间）1 QQQ 若若 与与 满足同样形式的运
42、动方程，即满足同样形式的运动方程，即 iHt称体系具有称体系具有Q变换不变性。变换不变性。设体系状态为设体系状态为 ,满足满足 82iQHQt左乘左乘 1 Q1iQ HQHt则则 1HQ HQ即即 或或 QHHQ,0Q H 考虑到概率守恒考虑到概率守恒 (,)(,)(,)(,)QQQ Q Q QQQI变换变换Q应为应为幺正变换幺正变换。即体系在即体系在Q变换下具有不变性变换下具有不变性,则要求则要求 。0,HQ 因为因为83对于有限变换，可通过无穷小的变换来实现。对于有限变换，可通过无穷小的变换来实现。令令 QIi F（，是描述无穷小变换的是描述无穷小变换的参参量），量），因为因为 0 2(1
43、 i)(1 i)1 i()()Q QFFFFOI 为厄米算符，称为变换为厄米算符，称为变换Q的无穷小变换算符。的无穷小变换算符。F F 1 i,i ,0F HF HFF则有则有 就是体系的一个守恒量，是与变换就是体系的一个守恒量，是与变换Q相相联系的可观测量。联系的可观测量。F841.1.空间平移不变性空间平移不变性 设体系具有平移不变性，设体系具有平移不变性，其中平移变换：其中平移变换：i()exp aD a,0D H()()()D axxa显然显然i1,0 xapH,0 xp H 即具有空间平移不变性的体系动量守恒。即具有空间平移不变性的体系动量守恒。故故852.2.空间旋转不变性空间旋转
44、不变性 设体系具有空间旋转不变性设体系具有空间旋转不变性 ()()()Ra ai()ezLRaa其中转动变换：其中转动变换：,0R H,0zL H 具有空间旋转不变性的体系角动量守恒。具有空间旋转不变性的体系角动量守恒。显然显然RETURNRETURN86 RETURNRETURN87设粒子质量为设粒子质量为m,中心力场中心力场 ()UU r定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：22()2U rEm 在球坐标系中在球坐标系中 22222222111()(sin)sinsinrrrrrr 令令 (,)()(,)rR r Y 88222221 dd21()()ddRmrL YrEU rRrrY22222
45、21 dd2()()0dd(,)(,)RmrEU rRrrrrL YY 代入薛定谔方程，两端除以代入薛定谔方程，两端除以 ,得得 222rm R(r)Y(,即即由由 22(,)(,)L YY iY(,)P(cos)emmlmlmlN 22(1)Ll l解得解得89径向方程：径向方程：22221 dd2(1)()0ddRml lrEURrrrr()()u rR rr令令 ,则径向方程为则径向方程为 2222d()2(1)()()0du rml lEUu rrr径向函数满足：零点条件径向函数满足：零点条件 lim()lim()0rru rrR r 给定中心力场给定中心力场U(r(r)的具体形式的具
46、体形式 ，则可，则可求得径向函数及波函数和中心力场问题的能求得径向函数及波函数和中心力场问题的能级级E。RETURNRETURN90 氢原子（类氢离子）中电子处于库仑势场中氢原子（类氢离子）中电子处于库仑势场中运动，库仑势场为中心力场。运动，库仑势场为中心力场。2()sZeU rr 电子运动满足的径向方程电子运动满足的径向方程 22222d()2(1)()0dsZeu rml lEu rrrr设设E0代入径向方程，解得代入径向方程，解得 s=s=l+1,(s=-+1,(s=-l舍去）舍去）.1(1)(1)(22)lbbl 展开系数展开系数 的递推公式为的递推公式为 b 设设 ,原径向方程化为原
47、径向方程化为 2()e()u rf附：氢原子附：氢原子径向方程另一种级数解法（原教材）径向方程另一种级数解法（原教材）222d()1(1)()0d4ul lu由由 103注意到展开系数注意到展开系数 ,11bb()f e 与与 的行为相同，的行为相同，为得到符合物理要求的有限解为得到符合物理要求的有限解,令令f 级数在某项中断，级数在某项中断，设中断系数为设中断系数为 ,则则 rnb b 10(0,1,2,),rnrbn1rnln 122()2sZemnE即有即有 所以，氢原子的能量所以，氢原子的能量 2422(1,2,3,)2snmZ eEnn n 称为主量子数，称为主量子数，称为径向量子数
48、称为径向量子数,l 称为称为轨道量轨道量子数。子数。rn104根据展开系数递推公式可得根据展开系数递推公式可得 121()L()lln lfbb由归一化条件确定，由归一化条件确定，为缔合拉盖尔多项式为缔合拉盖尔多项式 2l+1()n+lL 212110(1)!L()(1)(1)!21!n lln lnnll 所以，径向函数所以，径向函数 02100()22()eLlZrnalnlnlnln lurZZRrNrrrnana202()same由径向函数归一化条件：由径向函数归一化条件：20()1nlr Rr dr132302(1)!2!nlZnlNnan nl 得得 105能量本征函数能量本征函数
49、 (,)()(,)nlmnllmrRr Y 能量本征值能量本征值2422(1,2,3,)2snmZ eEnn 0,1,2,(1)0,1,2,lnml RETURNRETURN106 例题例题 证明算符展开式（证明算符展开式（Baker Hausdoff)解解 引入参变量引入参变量的函数，并在的函数，并在=0=0处作泰勒展开处作泰勒展开11ee,1LLaaL aLL a!2!()0(0)()eenLLnnffan!()eeee,()LLLLdfLaaLL fd22()(),()d fdfLLL fdd 107(1)(2)(0),(0),(0),fafL afLL a()0(1)(2)(0)(1)
50、ee(0)(0)(0)111,1nLLnffanfffaL aLL a!2!2!11ee,1LLaaL aLL a!2!故故108 解解*1212()()dxxx 例题例题 能级能级E有有3 3个简并态个简并态 ,彼此线性独彼此线性独 立，但不正交。试把它们构成正交、归一的立，但不正交。试把它们构成正交、归一的 波函数。波函数。123,和记记对对 归一化，即有归一化，即有11111 利用利用 与与 构成构成 122设设22211c 由正交条件由正交条件12122210c 所以所以2112c 109222112121c 于是于是2222 故故令令 33322311cc 由正交条件由正交条件131
