1、 10105 5 板的中性平衡微分方程式及其解板的中性平衡微分方程式及其解1.1.矩形板的中性平衡微分方程式矩形板的中性平衡微分方程式x xy yo oxTyTyxTxyTdxdydxxTTxx dxxTTxyxy dyyTTyxyx dyyTTyy 求解中性平衡方程式的基本思路：求解中性平衡方程式的基本思路：通过求解柔性板弯曲问题挠曲线方程式的方式，通过求解柔性板弯曲问题挠曲线方程式的方式，令横向载荷令横向载荷=0=0，获得。，获得。求解柔性板弯曲微分方程式的基本思路：求解柔性板弯曲微分方程式的基本思路：（1 1）与分析梁的复杂弯曲方程式一样，主要讨论中面力）与分析梁的复杂弯曲方程式一样，主
2、要讨论中面力xy,xyT,TT对微块平衡的影响对微块平衡的影响（2 2）xy,T,T与梁一样这两个面内的压力分别对与梁一样这两个面内的压力分别对y y轴、轴、x x轴形成附加力矩；轴形成附加力矩；xyT的存在相当于板上增加有附加横向载荷的存在相当于板上增加有附加横向载荷此时：此时：xyxxxMMwNTxyx xyxxMMNxy yxyyyMMwNTyxy yxyyMMNyx平衡方程式：平衡方程式：4444224wwwD2qxxyyqyxwTywTxwTywyxwxwDxyyx 22222442244422x xy yxTxyTz zyxT xyT yxT xT yTyTxMxyMyMxyM x
3、yM xM xyM yMxNyN xN yN由微块的平衡条件可知：由微块的平衡条件可知：yTxTyzx ，xTyTxyy ，yzxyTT（5151）（5353）参看下图：参看下图：x xz zo odxxTwdxxww dxxTTxx y yz zo odyyTwdyyww dyyTTyy xT对对y y轴形成的力矩为轴形成的力矩为dxdyxwTx （5252）yT对对x x轴形成的力矩为轴形成的力矩为dxdyywTy xyxxyxxxxyxyyyMMM dyMdx dy M dxMdy dxxydxdxdxdxdydxq x,NNNdxN dxNxy dxdyy 0222x xy yxTxy
4、Tz zyxT xyT yxT xT yTyTxMxyMyMxyM xyM xM xyM yMxN xN yNxyxxxMMwdxdydxdyTdxdy-N dxdy0 xyx dxdyxwTx xxxyxNxwTyMxM yyxyyNywTxMyM 从而有从而有 xwTxyxMxMxNxxyxx222xwxTxwTyxMxMxxxyx 22222 ywTyyxMyMyNyxyyy222ywyTywTyxMyMyyxyy 22222xyT的存在相当于板上加有附加横荷重，的存在相当于板上加有附加横荷重，xyT在在z z方向的分力为方向的分力为dydxyxwywdxxTTdyywTxyxyxy 2
5、参看下图参看下图x xy yz zo oxyTyxTxw yw dyyxwxw 2dyyTTyxyx dxxTTxyxy dxyxwyw 2dxdyywxTdxdyyxwTxyxy 2略去高阶微量后得略去高阶微量后得dydxyxwywdxxTTdyywTxyxyxy 22xyxyxy2xyxywwwTdyTdyTdxdyyyx yTTwwdxdydxdxdyxyxx y 同理得同理得xyT在在z z方向的分力为方向的分力为dxdyywxTdxdyyxwTyxyx 2将以上两式的力相加得将以上两式的力相加得dxdyxwyTdxdyywxTdxdyyxwTyxxyxy 22再利用式再利用式qyNx
6、Nyx 2xyyxxyTTwww(2Tdxdydxdydxdy)/dxdyx yxyyx xNx 222xyxxx22MMTwwTxx yxxx yNy ywyTywTyxMyMyyxyy 22222qyxwTywTxwTyMyxMxMxyyxyxyx 222222222222qyxwTywTxwTywyxwxwDxyyx 22222442244422板的复杂弯曲微分方程为板的复杂弯曲微分方程为当当q q0 0式，中性平衡方程式为式，中性平衡方程式为022222224422444 yxwTywTxwTywyxwxwDxyyx柔性板复杂弯曲问题柔性板复杂弯曲问题444222xyxy422422w
7、wwwwwD2TT2Tq(x,y)x yxxyyxy 022222224422444 yxwTywTxwTywyxwxwDxyyx2.2.四边自由支持单向受压板的解四边自由支持单向受压板的解y yx xa ab bx x tTxx 把把及及0 xyyTT代入式（代入式（5757）得）得（5858）相应边界条件为相应边界条件为 00002222ywwbyyxwwaxx处，处，及及处，处，及及（5959）02224422444 xwtywyxwxwDx mnmnbynsinaxmsinAy,xw （6060）将此解代入（将此解代入（5858）式中得）式中得满足边界条件的解可用下面级数表示满足边界条
8、件的解可用下面级数表示板失稳时的力可由板失稳时的力可由02222 amDtbnamx 中求到，此式给出中求到，此式给出2222 bnammaDtx 或或222222 mbanmtaDx （6161）=1=102224422444 xwtywyxwxwDx 02222 bynsinaxmsinamDtbnamAmnxmn 而相应的板失稳的形状为而相应的板失稳的形状为bynsinaxmsinAwmn 取取n n1 1，表示板在失稳时在，表示板在失稳时在y y方向形成半波形，这样方向形成半波形，这样222222x2222DaDb1 aDmmkam ba tmbb tb t （6262）为了求得为了求
9、得x 最小值，画出下面曲线最小值，画出下面曲线001.02.03.04.kba1 m234504.05.21 bamabmk21 bamabmk图中纵坐标图中纵坐标k k为为当当1 ba时，时，4 k实用上可取实用上可取tbDcr224 （6464）当当1 ba时，时，m m1 1，2 baabk，所以，所以222222221 bataDbaabtbDcr （6565）如如1 ba或或ab 则可变为则可变为taDcr22 （6666）这说明板在失稳时将按筒形面发生弯曲这说明板在失稳时将按筒形面发生弯曲2x2Dkb t a ab ba ab b通常计算公式如下：通常计算公式如下：纵骨架式船体板纵
10、骨架式船体板2210076mmNbtcr （6767）横骨架式船体板横骨架式船体板2210019mmNatcr （6868）3.3.三边自由支持，一边完全自由的板三边自由支持，一边完全自由的板a ab bx y yx x边界条件为边界条件为 00002222ywwyxwwaxx处，处，处，处，及及（6969）by 处为自由边，可求得为处为自由边，可求得为 02023332222yxwywxwyw （7070）根据这些边界条件，取板中性平衡时的挠曲面为根据这些边界条件，取板中性平衡时的挠曲面为 1mmaxmsinyfy,xw（7171）将此式代入中性平衡方程式，得将此式代入中性平衡方程式，得（7
11、272）将（将（7171）式代入边界条件得）式代入边界条件得（7373）00 mf 00 mf 02022bfambfbfambfmmmm （7474）（7272）式通解可以写成）式通解可以写成 ysinDycosCyshBychAyfmmmmmmmmm （7575）022222224422444 yxwTywTxwTywyxwxwDxyyx 02242 yfamDtamyfamyfmxmNm 式中式中 2222amDtamamDtamxmxm （7676）并有并有2222 ammm （7777）得到得到0 mmCA代入（代入（7474），得），得 022022222222bcosamDbch
12、amBbsinamDbshamBmmmmmmmmmmmmmm 由于由于mBmD不能同时为零，得不能同时为零，得btgambthammmmmmm 222222 （7878）解之求得解之求得x 的最小根，即为板的临界应力。的最小根，即为板的临界应力。时临界应力为最小，相应的失稳挠曲面方程为时临界应力为最小，相应的失稳挠曲面方程为1 m lxsinyfy,xw 1 cr 可表示为可表示为tbDkcr22 （7979）K K随随ba变化，见下图变化，见下图001.02.03.04.05.01.02.03.04.05.k k由图可知，当由图可知，当ba相当大时，相当大时，4260.k 再将再将D D中的
13、中的E E及及 的值代入后，得的值代入后，得2210028mmNbt.cr （8080）此式常用来校核船体结构中组合型骨架梁的自由翼板的此式常用来校核船体结构中组合型骨架梁的自由翼板的局部稳定性。局部稳定性。板稳定性的能量解法板稳定性的能量解法1 1、板中面力所做的功、板中面力所做的功=力函数力函数22xyxy1wwwwWTT2Tdxdy2xyxy 2222222222222xyxyDwwwwwVU2 1dxdy2x yxyxy1wwwwTT2Tdxdy2xyxy 2 2、板的总位能、板的总位能3 3、求解公式：、求解公式：VU0 四边自由支持受到集中应力作用的板四边自由支持受到集中应力作用的
14、板Pb by yx xPa/2a/2 11xyw x,yA sinsinab 设设;222242112222DwwabD11VdxdyA28xyab 22bb2112x a/200 x a/2b222221111201wPxyUPdyA sincosdy2y2abbPyPAcosdyAb4b2b 110A 242111122abD11P2A2A084bab 22crDabP2aba 4.4.四边自由支持压应力线形分布的板四边自由支持压应力线形分布的板a ab bx y yx xx1y1b设：中性平衡位置挠曲线：设：中性平衡位置挠曲线：mnmnbynsinaxmsinAy,xw 22224222
15、mn2222DwwabDmnVdxdyA28xyab 222xyxy12222mnms1mn2222mnnl1wwww1ywUTT2Tdxdy1dxdy2xyxy2bxAA nstamb4bA4a4ns VU0 111112121313212122122323313132323333C AC AC A0C AC AC A0C AC AC A0 111213212223313233CCCCCC0CCC 系数行列式系数行列式=0=0221cr2DkN mmb t 其解也可写为：其解也可写为：3.3.三边自由支持，一边完全自由的板三边自由支持，一边完全自由的板a ab bx y yx x10107
16、7 薄壁杆件梁的局部稳定性薄壁杆件梁的局部稳定性2l0210107 7 板的后屈曲性能板的后屈曲性能1.1.基本概念基本概念挠度挠度压力压力2.2.板后屈曲的应力分布板后屈曲的应力分布x xy yX Xy y b b1 12 23 33.3.板的极限荷重板的极限荷重c cc ca ab b 22222232221124112424cEttcEttcDcr yEtc 2222112 或或 yEtc 2112 yyEt.Etc 91112222 yyutEt.ctT 2912 yututEbt.btT 91 板的极限荷重与板的宽度无关，与板的厚度平方成正比。板的极限荷重与板的宽度无关，与板的厚度平方成正比。01234y Elby 20.40.5678960.80.01.yut ycr 251252.yut Etby 212 yut4.4.板的有效宽度与折减系数板的有效宽度与折减系数 bxbxmdyybtdyybt0011 embb 或或bbme m 故故bbe m 故故bbe 折减系数，定义为折减系数，定义为 mebb a ab b0.22a0.22a0.22a0.22a a.ba.be440440a ab b0.22b0.22b0.22b0.22b b.b.be560440
