1、第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 量纲分析的基本概念量纲分析的基本概念w 量纲分析法量纲分析法流动相似的基本概念流动相似的基本概念 流动相似的基本准则流动相似的基本准则 相似原理的应用相似原理的应用第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 w 量纲分析的基本概念：量纲分析的基本概念：量纲、基本量纲量纲、基本量纲基本物理量、无量纲量、量纲齐次性基本物理量、无量纲量、量纲齐次性w 量纲分析方法：量纲分析方法：瑞利法、瑞利法、定理定理w 流动相似的基本概念：流动相似的基本概念：几何相似、运动几何相似、运动相似、动力相似相似、动力相似w 模型实验设计方法模型实验设计方法w
2、相似准则：相似准则：雷诺准则、弗劳德准则、欧拉雷诺准则、弗劳德准则、欧拉准则准则第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论:w 相似理论及其应用相似理论及其应用w 量纲分析方法量纲分析方法第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 如如m m、cmcm、mmmm；小时、分、秒等。；小时、分、秒等。如如m m、cmcm、mmmm等同属于长度类，用等同属于长度类，用L L表示；小时、分、表示；小时、分、秒等同属于时间类，用秒等同属于时间类，用T T表示；公斤、克等同属于质表示；公斤、克等同属于质量类，用量类，用M M表示。表示。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论在工
3、程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M M、长度、长度L L和时间和时间T T三个作为基本量纲。三个作为基本量纲。其它的物理量的量纲可用基本量纲表达，如其它的物理量的量纲可用基本量纲表达，如dimvdimvLTLT1 1 dimdimMLML3 3 dimFdimFMLTMLT2 2 dimqM L T 第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论A FT/L2 或 M/(L*T)C FT/L2 或 M/(L2T)B FT/L 或 M/(LT)D F/(TL2)或 M/(LT)动力黏度系数的基本量纲表示为：动力黏度系数的基本量纲表示为：
4、()()第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 1TLMCdimBdimAdim000 特点：特点：（1 1）指数为零；）指数为零；（2 2）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 A.A.；B.B.；C.C.；D.D.；问题：问题：速度速度v,密度密度,压强压强p的无量纲集合是：的无量纲集合是：A.；B.；C.；D.。问题：速度问题：速度v，长度，长度l l，重力加速度，重力加速度g的无量纲集合是：的无量纲集合是：第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 凡是正确描述自然现象的物理方程
5、，其各项的量凡是正确描述自然现象的物理方程，其各项的量纲必然相同。纲必然相同。w量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。量纲齐次性原理是量纲分析的理论依据。w工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。工程中在用的个别经验公式存在量纲不一致。w满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程。各项，使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程如流体静力学基本方程ghpp0用用 除其余各项，可得无量纲方程除其余各项，可得无量纲方程gh10ghpghp第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。假定各
6、物理量之间是指数形式的乘积组合。应用范围：应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数一般情况下，要求相关变量未知数n n小于小于5 5个个的计算步骤：的计算步骤：1.1.确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的n n 个物理量；个物理量；2.2.写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：FD=kDxUyza例题例题第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 已知管流的特征流速已知管流的特征流速V Vc c与流体的密度与流体的密度、动力粘度、动力粘度和管径和管径d d有关，试用瑞利量纲分析法建立有关，试用瑞利量纲分析法建立V Vc c的公式
7、结构。的公式结构。式中式中k k为无量纲常数。为无量纲常数。将各物理量的量纲将各物理量的量纲LdTMLMLLTvcdim,dimdim,dim1131代入指数方程，则得相应的量纲方程代入指数方程，则得相应的量纲方程假定假定dkvcLTMLMLLT)()(1131第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论根据量纲齐次性原理，有根据量纲齐次性原理，有1:31:0:TLM解上述三元一次方程组得：解上述三元一次方程组得：1,1,1故得：故得：dkvc其中常数其中常数k k需由实验确定。需由实验确定。w瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过3 3时较为时较为
8、方便。方便。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 对于某个物理现象，若存在对于某个物理现象，若存在n n个变量互个变量互为函数关系，即为函数关系，即0),.,(21nqqqF而这些变量中含有而这些变量中含有m m个基本物理量，则可组合这些个基本物理量，则可组合这些变量成为（变量成为（n nm m）个无量纲）个无量纲数的函数关系，即数的函数关系，即0),.,(21mn第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力F FD D与与球体直径球体直径d d、球体运动速度、球体运动速度v v、流体的密
9、度、流体的密度和动力粘度和动力粘度有有关，试用关，试用定理量纲分析法建立定理量纲分析法建立F FD D的公式结构。的公式结构。选基本物理量选基本物理量、v v、d d，根据，根据定理，上式可变为定理，上式可变为其中其中22211121dvFdvD假定假定0),d,v,F(fD1 0),(21对对1 1：20:130:10:)()(11111213000111TLMMLTLLTMLTLM第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论代入代入 ，并就，并就F FD D解出，可得解出，可得0),(212222(Re)dvCdvfFDD解上述三元一次方程组得：解上述三元一次方程组得：2,2,111
10、1其中其中Re12221vddvFD同理：同理：式中式中 为绕流阻力系数，由实验确定。为绕流阻力系数，由实验确定。(Re)fCD第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论定理的解题步骤：定理的解题步骤：（1）确定关系式：）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式影响这个现象的各个物理量及其关系式:（2）确定基本量：）确定基本量：从从n个物理量中选取所包含个物理量中选取所包含 m个基个基本物理量作为基本物理量作为基 本量纲的代表，一般取本量纲的代表，一般取m=3。在管流。在管流中，一般选中，一般选d，v，三个作基本变量，而
11、在明渠流中，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用则常选用H，v，。（3）确定）确定数的个数数的个数N（）=（n-m），并写出其余物，并写出其余物理量与基本物理量组成的理量与基本物理量组成的表达式表达式 )mn3,2,1i(xxxxiz3y2x1i 0),.,(21nqqqF第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论（4）确定无量纲）确定无量纲参数参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各项的指数项的指数x，y，z，从而定出各无量纲，从而定出各无量纲参数。参数。（5）写出描述现象的关系式）写出描述现象的关系式 或先解一个或先解一个参数，如：参数，如：
12、0),(fmn21 ),(fmn214 第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论选择基本量时的注意原则：选择基本量时的注意原则：1）基本变量与基本量纲相对应。）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（即若基本量纲（M，L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量同样只须选择两个。个，则基本变量同样只须选择两个。2）选择基本变量时，应选择重要的变量。）选择基本变量时，应选择重要的变量。不要选择次要的变不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往量作为基本变量，否则次要的变量在大多数
13、项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。使问题复杂化，甚至要重新求解。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的。）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论1、管中紊流，单位管长沿程水头损失、管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列，取决于下列因素：流速因素：流速,管径管径D，重力，重力g，粘度，粘度，管壁粗糙度，管壁粗糙度和密和密度度，试用，试用定理分析确定方程的一般形式。定理分析确定方程的一般形式。取取v，D，为基本变量，则为基本变量，则的个数的个数N()=n-m=7-3=4，显然显然hf/L是一个是一个，因，因hf和和L
14、量纲都是长度。量纲都是长度。1=x1Dy1z1=LT-1x1Ly1ML-3z1ML-1T-1 则则L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1=0由此由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有：。类似有：2=x2Dy2z2 3=x3Dy3z3g可得：可得：x2=0，y2=-1，z2=0 x3=-2，y3=1，z3=0写成写成数为：数为：第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论)(Re,Df常用沿程损失公式形式为：常用沿程损失公式形式为：称沿程阻力系数，具体由实验决定。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。原型
15、和模型对应的线性长度均成一固定比尺。mplll2lmpAAA3lmpVVV第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的流速大小成比例，方向相同。流速大小成比例，方向相同。mpvvv2/pavlmaa第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 原型和模型对应点所受的同名力方向相同，原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小成比例。大小成比例。Lp(an)p(ar)pvpFIFuFpFGLmFIFuFpFGvm(an)m(ar)m(a)(b)fmIpImpmPPpmpFFFFFFGG 第四章第四章 量
16、纲分析与相似理论量纲分析与相似理论说明：说明：w几何相似是运动相似和动力相似的前提几何相似是运动相似和动力相似的前提w动力相似是决定流动相似的主要因素动力相似是决定流动相似的主要因素w运动相似是几何相似和动力相似的表现运动相似是几何相似和动力相似的表现初始条件和边界条件的相似初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流初始条件：适用于非恒定流边界条件：边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理
17、论要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要求有则据动力相似要求有原型和模型被同一物理方程所描述。原型和模型被同一物理方程所描述。这个物理方程即相似准则。这个物理方程即相似准则。glmpGVgVg3)()(式中：式中：fmIpImpFFGG 第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论223)()(vlalmpFVaVaIlva2故得弗劳德准则方程故得弗劳德准则方程mplgvglvglv)()(or1即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳德数对应的弗劳德数 必须相等
18、。必须相等。glvFr第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则根要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则根据动力相似要求有据动力相似要求有式中，式中，vlvlmpF)ydudA()ydudA(fmIpImpFFFF 第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论故得雷诺准则方程故得雷诺准则方程mplv)vl()vl(or 1 即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两者对应的雷诺数者对应的雷诺数 必须相等。必须相等。vlRe雷诺数的物理意义表示：雷诺数的物理意义表示：A.A.粘滞力与重力
19、之比；粘滞力与重力之比；B.B.重力与惯性力之比；重力与惯性力之比；C.C.惯性力与粘滞力之比；惯性力与粘滞力之比；D.D.压力与粘滞力之比。压力与粘滞力之比。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据动力相似要求有动力相似要求有式中，式中，2)()(lpmpFpApApfmIpImPPpFFFF 第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论故得欧拉准则方程故得欧拉准则方程2221or()()ppmvppvv 即要保证原型流动和模型流动的压力相似，则要求两者即要保证原型流动和模型流动的压力相似，则
20、要求两者对应的欧拉数对应的欧拉数 必须相等。必须相等。2Euvp第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论w从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，但难以实现。但难以实现。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则德准则 和雷诺准则和雷诺准则 ，通常，通常取取 ，则有，则有 1lgv1lv 1g23l 即应按即应按 选择流体运动粘度，一般难以实现。选择流体运动粘度，一般难以实现。若取若取 ，即原、模型采用同一介质，则导致，即原、模型采用同一介质，则导致 ，失去了模型试验的价值。失去了模型试验
21、的价值。23l 1 1l第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论w实际应用时，通常只保证主要力相似。实际应用时，通常只保证主要力相似。一般情况下：一般情况下：有压管流、潜体绕流有压管流、潜体绕流选雷诺准则；选雷诺准则；明渠流动、绕桥墩流动明渠流动、绕桥墩流动选弗劳得准则。选弗劳得准则。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论问题：原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相问题：原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？似准则？为什么？第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论 已知溢流坝的过流量已
22、知溢流坝的过流量Q QP P1000m1000m3 3/s,/s,若用长度比尺若用长度比尺l l6060的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Q Qm m 。2)()(lvmpmpvAvAQQ溢流坝流动，起主要作用的是重力，应选择弗劳溢流坝流动，起主要作用的是重力，应选择弗劳得准则进行模型设计。得准则进行模型设计。sLsmQQlpm8.350358.060100035.25.25.2l由由FrFr准则：准则：lv第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论满足雷诺准则时，其流量比尺满足雷诺准则时，其流量比尺Q Q的表达式是：的表达式是
23、：()()A A Q Q=A Al l B B Q Q=l l C C Q Q=l l D D Q Q=A AV V如模型比尺为如模型比尺为1:201:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s50m/s，则原型，则原型中的流速为中的流速为 m/sm/s。凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。流动。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论TL2M11TLM2LTM2LTM1.动力粘度的量纲是动力粘度的量纲是A、
24、B、C、D、QgHgHQPA.gHPQB.gHPQC.gPQHD.2.由功率由功率P P、流量、流量、密度、密度重力加速度重力加速度和作用水头和作用水头组成一个无量纲数是组成一个无量纲数是:；、第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论.FL2ATLM.11BT.L22CT.L12D3.流体运动粘度流体运动粘度 的量纲是的量纲是第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论)(2RefvFdRevF2)(22RefdvF)(RefF 0,2vddvFf4.将正确答案的序号（一个或几个）填入括号内单位将正确答案的序号（一个或几个）填入括号内单位长电线杆受风吹的作用力长电线杆受风吹的作
25、用力F F与风速与风速v v、电线杆直径、电线杆直径D D、空、空气的密度气的密度 以及粘度以及粘度 有关，有关，F F可表示为可表示为B、D、E、A A、C C、第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论7.7.设模型比尺为设模型比尺为1 1：100100，符合重力相似准则，如，符合重力相似准则，如果模型流量为果模型流量为1000m/s1000m/s，则原型流量为，则原型流量为_m/s._m/s.A A、0.010.01；B B、108108；C C、1010；D D、10000100008.8.设模型比尺为设模型比尺为1 1：100100，符合重力相似准则，如，符合重力相似准则，如
26、果模型流速果模型流速6m/s6m/s，则原型流速，则原型流速_m/s._m/s.A A、600600；B B、0.060.06；C C、6060；D D、600000600000第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论9.9.如模型比尺为如模型比尺为1 1：2020，考虑粘滞离占主要因素，采用的，考虑粘滞离占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s50m/s，则原型中，则原型中流速为流速为_m/s_m/s。A A、11.111.1；B B、10001000；C C、2.52.5；D D、22322310.10.对于两液流力学相
27、似满足条件中，非恒定流比恒定流对于两液流力学相似满足条件中，非恒定流比恒定流多一个条件是：多一个条件是：A A、几何相似；、几何相似；B B、运动相似；、运动相似；C C、动力相似；、动力相似；D D、初始条件、初始条件相似。相似。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论管中紊流，单位管长沿程水头损失管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因，取决于下列因素：流速素：流速,管径管径D，重力，重力g，粘度，粘度，管壁粗糙度，管壁粗糙度和密和密度度，试用，试用定理分析确定方程的一般形式。定理分析确定方程的一般形式。第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论长度比长度比L
28、=50的船舶模型，在水池中以的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引的速度牵引前进时，则得波浪阻力为前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（。求（1）原型中的波浪）原型中的波浪阻力；（阻力；（2）原型中船舶航行速度；（）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的）原型中需要的功率？功率？第四章第四章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论有一直径为有一直径为15cm的输油管，管长的输油管，管长5m，管中要通过的流量为，管中要通过的流量为0.18m3/s,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为水温为10（原型中油的运动粘度（原型中油的运动粘度p=0.13cm2/s），问水），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输长模型输水管两端的压差为水管两端的压差为3cm，试求在，试求在5m长输油管两端的压差应长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？为多少（用油柱高表示）？
