1、第七节双曲线(一)第七章平面解析几何考考 纲纲 要要 求求1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质单几何性质2理解数形结合的思想理解数形结合的思想.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、双曲线的定义一、双曲线的定义1我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等的距离的差的绝对值等于常数于常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为|AF1|-|AF2|=2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的
2、距离叫做双曲线的焦距的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的第二定义双曲线的第二定义(属知识拓展属知识拓展)：平面内，到定点：平面内，到定点F(c,0)(或或F(0，c)的距离与到定直线的距离与到定直线l：x=的距的距离之比是常数离之比是常数 的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的焦点，这条定直线叫做双曲线的准线，其中常数是双曲线的焦点，这条定直线叫做双曲线的准线，其中常数 叫做双曲线的离心率叫做双曲线的离心率ca二、双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为轴上时，双曲线的标准方程为=1(a0，b0)，其中焦点
3、坐标为，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(-c,0)，且，且c2=a2+b2；当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为轴上时，双曲线的标准方程为=1(a0，b0)，其中焦点坐标为，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，-c)，且，且c2=a2+b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式时，双曲线的方程才是标准形式三、双曲线的几何性质三、双曲线的几何性质方程方程=1=1图形图形范围范围x-a或或xa，yRy-a或或ya，xR对称性对称性关于关于x轴，轴，y轴及原点对称轴及原点对称关于关
4、于x轴，轴，y轴及原点对称轴及原点对称方程方程=1=1顶点顶点A1(-a,0)，A2(a,0)B1(0，-a)，B2(0，a)离心率离心率e=(e1)e=(e1)准线准线(属知识拓展属知识拓展)x=y=渐近线渐近线y=xy=xa，b，c的关系的关系c2=a2+b2c2=a2+b2cacabaab基础自测基础自测2.“ab0”是是“曲线曲线ax2+by2=1为双曲线为双曲线”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析：由由ab0，b0或或a0.由此可知由此可知a与与b符号符号相反，则方程表示
5、双曲线，反之亦然故选相反，则方程表示双曲线，反之亦然故选C.答案答案：C3过双曲线过双曲线x2-y2=8的左焦点的左焦点F1有一条弦有一条弦PQ在左支上，若在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是的周长是_1482考考 点点 探探 究究考点一考点一求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 【例【例1】设双曲线与椭圆设双曲线与椭圆 =1有共同的焦点，且与椭有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程，求双曲线的方程 思路点拨：思路点拨：由于椭圆的焦点坐标为由于椭圆的焦点坐标为(0，3)，且双曲线与，且双曲线与
6、椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为(0，3)，从而知，从而知所设双曲线的形式应为所设双曲线的形式应为 =1，围绕定义产生的问题，要注意，围绕定义产生的问题，要注意|AF1|-|AF2|=2a的三个量之间的关系本题抓住的三个量之间的关系本题抓住“交点交点A”在双在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量本量 点评点评：利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立抓住题设所给出的独立条件建立a，b，c之间的等量关系，
7、再之间的等量关系，再利用利用c2=a2+b2运用方程的思想来求解，从而得到运用方程的思想来求解，从而得到a，b的值但的值但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程变式探究变式探究1(1)正三角形正三角形ABC的面积为的面积为4 ，顶点，顶点A在在y轴上，顶点轴上，顶点B，C在在x轴上，则以轴上，则以B，C为实轴顶点，为实轴顶点，A为虚轴一个端点的双曲线为虚轴一个端点的双曲线方程是方程是_(2)(2011长沙市二模长沙市二模)设椭圆设椭圆C1的离心率为的离心率为 ，焦点在，焦点在x轴轴上且长轴长为上且长轴长为26.若曲线若曲线C2上
8、的点到椭圆上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的的两个焦点的距离的差的绝对值等于差的绝对值等于8，则曲线，则曲线C2的标准方程为的标准方程为_3513考点二考点二双曲线定义的运用双曲线定义的运用【例【例2】(2011沈阳市模沈阳市模拟拟)如图所示，如图所示，F为双曲线为双曲线C：=1的左焦点，双曲线的左焦点，双曲线C上的点上的点Pi与与P7-i 关于关于y轴对称，轴对称，则则 的值是的值是()A9 B16 C18 D27解析解析：设双曲线的右焦点为设双曲线的右焦点为F，因为双曲线，因为双曲线C上的点上的点Pi与与P7i(i1,2,3)关于关于y轴对称，所以轴对称，所以|P1F|P6F|，|P2F|
9、P5F|，|P3F|P4F|，由双曲线的定义知，由双曲线的定义知|P1F|P1F|6，|P2F|P2F|6，|P3F|P3F|6，所以，所以|P1F|P1F|P2F|P2F|P3F|P3F|18.故选故选C.答案：答案：C点评点评：当已知条件涉及双曲线的焦点时，优先考虑能否可用当已知条件涉及双曲线的焦点时，优先考虑能否可用定义来解决，若能，它往往会起到降低难度，思路简洁的效果定义来解决，若能，它往往会起到降低难度，思路简洁的效果2(1)(2012保定市质检保定市质检)已知已知M(-2,0)，N(2,0)，|PM|-|PN|=3，则动点，则动点P的轨迹是的轨迹是()A双曲线双曲线 B双曲线左边一
10、支双曲线左边一支C双曲线右边一支双曲线右边一支 D一条射线一条射线(2)设点设点P是双曲线是双曲线 =1上一点，双曲线的一条渐近线方上一点，双曲线的一条渐近线方程为程为3x-2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点若分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|=3，则则|PF2|等于等于_变式探究变式探究解析：解析：(1)|PM|PN|3|PN|，点点P的轨迹为双曲线的右支故选的轨迹为双曲线的右支故选C.(2)由渐近线方程可得由渐近线方程可得a24，a2，根据双曲线定义，根据双曲线定义|PF1|PF2|4，即，即 34，|PF2|7.答案：答案：(1)C(2)7|PF2|考点三考点三利用双曲线定义
11、求轨迹方程利用双曲线定义求轨迹方程【例【例3】已知圆已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆，动圆M同时与圆同时与圆C1及圆及圆C2相外切，求动圆圆心相外切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程解析解析：如图所示，设动圆如图所示，设动圆M与圆与圆C1及圆及圆C2分别外切于点分别外切于点A和和点点B，根据两圆外切的充要条件，得，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为因为|MA|=|MB|，所以所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点这表明动点M到两定点到两定点C2，C1的
12、距离之差是常数的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支(点点M到到C2的距离大，到的距离大，到C1的距离小的距离小)，这里，这里a=1，c=3，则，则b2=8，设点，设点M的坐标为的坐标为(x，y)，其轨迹方程为，其轨迹方程为x2-=1(x-1)变式探究变式探究3已知已知ABC中，中，C(-2,0)，B(2,0)，sin B-sin C=sin A，则顶点则顶点A的轨迹方程是的轨迹方程是_12解析：解析：由正弦定理及由正弦定理及sin Bsin C sin A得，得，|AC|AB|BC|BC|.由双曲线的第一定义知，顶点由双曲线
13、的第一定义知，顶点A的轨迹是以的轨迹是以C，B为焦点，为焦点，长轴长为长轴长为2的双曲线的右支，的双曲线的右支，c2，a1，b2c2a23.顶点顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为x2 1(x1)答案：答案：x2 1(x1)1212考点四考点四根据方程中的参数取值判断曲线的类型根据方程中的参数取值判断曲线的类型【例【例4】已知已知a a0，p p)，试探究随，试探究随a a值的变化，方程值的变化，方程x2sin a a+y2cos a a=1所表示的曲线所表示的曲线解析解析：(1)a a=0时，为两直线时，为两直线y=1和和y=-1;(2)a a=时，为两直线时，为两直线x=1和和x=-1；(3)0
14、a a 时，为焦点在时，为焦点在x轴上的椭圆；轴上的椭圆；(4)a a=时，半径为时，半径为 的圆；的圆；(5)a a 时，焦点在时，焦点在y轴上的椭圆；轴上的椭圆；(6)a ap p时，焦点在时，焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线p2p4p4p4p2p2点评点评：本题主要考查圆、椭圆、双曲线方程的形式和分类本题主要考查圆、椭圆、双曲线方程的形式和分类讨论思想讨论思想变式探究变式探究4(1)若若kR，则方程，则方程 =1表示焦点在表示焦点在x轴上的双轴上的双曲线的充要条件是曲线的充要条件是()A-3k-2 Bk-3Ck-2 Dk-2(2)(2011福州市模拟福州市模拟)方程方程 =1表示曲线表示
15、曲线C，给出以下，给出以下命题：命题：曲线曲线C不可能为圆；不可能为圆；若若1t4，则曲线，则曲线C为椭圆；为椭圆；若若曲线曲线C为双曲线，则为双曲线，则t4；若曲线若曲线C为焦点在为焦点在x轴上的椭圆，轴上的椭圆，则则1t .其中真命题的序号是其中真命题的序号是_(写出所有正确的命题的序写出所有正确的命题的序号号)52解析：解析：(1)由题意可知，由题意可知，解得解得3k 2.故选故选A.答案：答案：(1)A(2)课时升华课时升华本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数本节的重点是双曲线的定义、方程，难点是理解参数a，b，c，e的关系关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数的关系关键
16、是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想为此在复习中形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想为此在复习中应注意以下几点：应注意以下几点：1双曲线的定义用代数式表示为双曲线的定义用代数式表示为|MF1|-|MF2|=2a，其中，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值，距离之差的绝对值，(2)2a|F1F2|时，动点轨迹不存在时，动点轨迹不存在2双曲线中有一个重要的双曲线中有一个重要的RtOAB(如图如图)，它的三边长分，它的三边长分别是别是a，b，c.易见易见c2=a2+b2，若记，若记AOB=q q，则，则e=.3参
17、数参数a，b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a0，b0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a，b，c的关的关系是系是c2=a2+b2；在方程；在方程Ax2+By2=C中，只要中，只要AB0且且C 0，就是双，就是双曲线的方程曲线的方程4在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了是对应的，则上述之比就不再是常数了.感感
18、悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2012大纲全国卷大纲全国卷)已知已知F1，F2为双曲线为双曲线C：x2-y2=2的左、的左、右焦点，点右焦点，点P在在C上，上，|PF1|=2|PF2|，则，则cos F1PF2=()A.B.C.D.143534452设圆设圆C与两圆与两圆(x+)2+y2=4，(x-)+y2=4中的一个内切，中的一个内切，另一个外切另一个外切(1)求圆求圆C的圆心轨迹的圆心轨迹L的方程；的方程；(2)已知点已知点M ，F(，0)，且，且P为为L上动点，求上动点，求|MP|-|FP|的最大值及此时点的最大值及此时点P的坐标的坐标555(2)由已知可求得过由已知可求得过M，F
19、的直线的直线l方程为方程为y2(x )，将其代入，将其代入L的的方程得方程得15x232 x840，解得，解得x1 ，x2 ，故可求得，故可求得l与与L的交的交点坐标分别为点坐标分别为T1 ，T2 .55因因T1在线段在线段MF外，外，T2在线段在线段MF内，内，故故|MT1|FT1|MF|2，|MT2|FT2|MF|2.若若P不在直线不在直线MF上，在上，在MFP中有中有|MP|FP|0，b0)与抛物线与抛物线y2=8x有一个有一个公共的焦点公共的焦点F，且两曲线的一个交点为，且两曲线的一个交点为P，若若 =5，则双曲线，则双曲线的渐近线方程为的渐近线方程为()Ax y=0 B.xy=0Cx2y=0 D2xy=033B
