1、1Email: 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院2 波动方程及其定解条件波动方程及其定解条件(一一)、物理规律与波动方程的建立、物理规律与波动方程的建立第二章第二章 定解问题与偏微分方程理论定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容本次课主要内容(二二)、定解条件、定解条件3一、波动方程及其定解条件一、波动方程及其定解条件(一一)、物理规律与波动方程、物理规律与波动方程第二章第二章 定解问题与偏微分方程理论定解问题与偏微分方程理论1、什么叫物理规律？、什么叫物理规律？某物理量在空间和时间中的变化规律。某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映同
2、一类物理现象的共同规律。它反映同一类物理现象的共同规律。若物理量仅随时间变化，其数学表达式为若物理量仅随时间变化，其数学表达式为常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分方程。方程。4 数学物理方程是指从物理问题导出的函数方程，数学物理方程是指从物理问题导出的函数方程，主要指偏微分方程与积分方程。主要指偏微分方程与积分方程。我们将重点讨论物理上的三种典型的二阶线性我们将重点讨论物理上的三种典型的二阶线性方程的一些基本解法，以便借助于数学物理方程方程的一些基本解法，以便借助于数学物理方程这一工具，更好地描述基本的物理现象，研究一这一工具，更好地描述基本的物理现象
3、，研究一些重要的物理规律。些重要的物理规律。这些物理规律包括：弹性体的振动、热的传导这些物理规律包括：弹性体的振动、热的传导和粒子扩散、电磁波的传播等。和粒子扩散、电磁波的传播等。5 常用物理规律常用物理规律(一一)1、牛顿第二定律、牛顿第二定律2、虎克定律、虎克定律22d sdvFmmdtdtfkx xPYu6对虎克定律的说明：对虎克定律的说明：xPYu 公式中公式中P称为协强或应力。它表示弹性物称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，体单位截面所受作用力，P=F/S。公式中公式中ux表示伸长率，称为协变。表示伸长率，称为协变。Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。表示杨氏弹性模量，
4、等于协强比协变。杨氏弹性模量由材料决定！杨氏弹性模量由材料决定！7 常用物理规律常用物理规律(一一)3、克希荷夫定律、克希荷夫定律0kI(1).节点电流定律节点电流定律(2).回路电压定律回路电压定律kkkI R82 2、波动方程、波动方程如何建立偏微分方程？如何建立偏微分方程？(1).明确物理过程与研究对象明确物理过程与研究对象(待研究物理量待研究物理量);(2).进行微元分析；进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。物理定律用算式表达这种作用。(3).化简、整理算式。化简、整理算式。9例例1 1、均匀细弦微小横振动问题、
5、均匀细弦微小横振动问题 一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿另一端沿x轴拉紧固定在轴拉紧固定在x轴上的轴上的L处，受到扰处，受到扰动，开始沿动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试轴）。试建立细弦线上任意点位移函数建立细弦线上任意点位移函数u(x，t)所满足的所满足的规律。规律。10分析：分析：(1).研究对象：研究对象：u(x,t)(2).微元分析微元分析:在时刻在时刻t,取弦微元取弦微元ds,其对应区其对应区间为：间为：x,x+dx;分析
6、微元和相邻部分的相互作用，根据分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。物理定律用算式表达这种作用。11设细弦线各点线密设细弦线各点线密度为度为，细弦线质细弦线质点点之间相互作用力为之间相互作用力为张力张力T(x，t)水平合力为零水平合力为零=T2 cos 2T1 cos 1=0 T2T1T 铅直合力铅直合力:T(sin 2 sin 1)=T(tan 2 tan 1)uxT1T2Ox dxgdxdsT(tan 2 tan 1)=dx utt 由牛二律得：由牛二律得：12 utt=a2 uxx 其中其中2aT一维齐次波动方程一维齐次波动方程:utt=a2 uxx 下面考虑强迫
7、振动情形：下面考虑强迫振动情形：T ux(x+dx，t)ux(x，t)=dx uttT uxx(x+dx，t)dx=dx utt 设细绳在振动中受恒外力密度设细绳在振动中受恒外力密度F(x，t)的阻力作的阻力作用和细绳的重力作用。用和细绳的重力作用。13铅直合力为：铅直合力为：f(x,t)=F(x,t)/-g-g(,)(,)(,)xxT u xdx tu x tF x t dxgdx由牛二律得：由牛二律得：(,)(,)(,)xxttT u x dx tu x tF x t dxgdxgdxu整理后得：整理后得：2(,)ttxxua uf x t其中：其中：14例例2、细杆的纵向振动问题、细杆的
8、纵向振动问题。设均匀细杆长为设均匀细杆长为L，线密度为线密度为，杨氏模量为，杨氏模量为Y，杆杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿扰动（沿x轴方向的振动）。试建立杆上质点位移轴方向的振动）。试建立杆上质点位移函数函数u(x，t)的纵向振动方程。的纵向振动方程。u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO15 由牛顿第二定律由牛顿第二定律SYux(x+dx，t)ux(x，t)=Sdxutt令令a2=Y/。化简，得化简，得utt=a2 uxx16例例3 长为长为l 密度为密度为的均匀柔软细绳在的均匀柔软细绳在x x=0=0端端固定，在重力作
9、用下，垂直悬挂。横向拉它固定，在重力作用下，垂直悬挂。横向拉它一下作微小横振动。写出振动方程。一下作微小横振动。写出振动方程。u(x,t)o x T(x)x x+dx 1 2 T(x+dx)17 取微元：取微元：x,x+dx 竖直方向：竖直方向：21()cos()cos0(1)T xdxT xgdx 水平方向：水平方向：21()sin()sin(2)ttT xdxT xdxu 对于对于(1)，1与与2很小，于是得：很小，于是得：()()0T xdxT xgdx18即：即：在在x=0处张力等于处张力等于glgl,于是得：于是得：()()T xgl lx 对于对于(2)，1与与2很小，于是得：很小
10、，于是得：()(,)()(,)xxttT xdx u xdx tT x u x tdxu0()xd TgTxg d xg xCd x 由有限增量公式得：由有限增量公式得：()xxttT x uu19例例4 4、高频传输方程、高频传输方程 考虑双线传输线，把单位传输线所具有的导考虑双线传输线，把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别记作线电阻、线间电导、电容以及电感分别记作R,g,cR,g,c和和L.L.建立电压建立电压u(x,t)u(x,t)和电流强度和电流强度i(x,t)i(x,t)所所满足的微分方程。满足的微分方程。1、物理背景简介、物理背景简介 对于直流电或低频交流电，同
11、一支路的电对于直流电或低频交流电，同一支路的电流相等。流相等。但对于高频交流电，电路中的自感和电容效但对于高频交流电，电路中的自感和电容效应将使得电路中电流与电压不仅与时间有关，而应将使得电路中电流与电压不仅与时间有关，而且与空间位置有关。且与空间位置有关。20 所以，对于高频传输线，我们要讨论传输线所以，对于高频传输线，我们要讨论传输线上电压与电流随时空的变化规律。上电压与电流随时空的变化规律。分析分析(仍采用微元分析方法仍采用微元分析方法)：传输线上电阻、电感，线间电容、电导考传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：虑为均匀分布，于是可画出微元等效电路图
12、：也就是研究电压也就是研究电压 u(x,t)u(x,t)与电流与电流i(x,t)i(x,t)所要满所要满足的微分方程。足的微分方程。i21由克希荷夫定律得：由克希荷夫定律得：(,)(,)(,)(,)ttu x tu xdx tRidxLdxii x ti xdx tCdxugdxu由有限增量公式得：由有限增量公式得：i2223(二二)、具体物理过程描述、具体物理过程描述定解条件定解条件 首先指出：具体物理系统所处物理状首先指出：具体物理系统所处物理状况除受一般物理规律支配外，还受系统所况除受一般物理规律支配外，还受系统所处的处的“环境环境”和系统的和系统的“历史状况历史状况”的影的影响。响。系
13、统所处的系统所处的“环境环境”状况：状况：边界条边界条件件 系统的系统的“历史历史”状况：状况：初值条件初值条件 求解一个具体物理问题，都要考虑求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！定解条件！24II.第二类边界条件第二类边界条件:),(tzyxnuS III.第三类边界条件第三类边界条件:),(tzyxunuS I.第一类边界条件第一类边界条件:),(tzyxuS 1、三类边界条件、三类边界条件25L-LF(t)例例5 细杆在细杆在x=0处固定，在处固定，在x=L端受外端受外力力F(t)的作用，作微小纵振动。写出其的作用，作微小纵振动。写出其边界条件。边界条件。分析分析：环境影响通过的边界
14、为：环境影响通过的边界为：x=0与与x=L.显然：显然：u(0,t)=0.用微元法分析边界用微元法分析边界X=L的状况。的状况。()xx LF tuYS26如何写出三类边界条件？如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。达式。27 例例6 长为长为L的均匀杆两端受到拉力的均匀杆两端受到拉力F的的 作用而振动，写出边界条件。作用而振动，写出边界条件。分析：分析：环境影响通过的边界是环境影响通过的边界是x=0与与x=
15、L 杆的两端所受的拉力杆的两端所受的拉力F等于两端面所受的等于两端面所受的杨氏弹性力。杨氏弹性力。0 L F F n n T1 T2 x 28102,xx LuuTYSF TYSFxx00 xxuuYSYSFnx x Lx LuuYSYSFnx0,.xx LuFuFnYSnYS29注意：注意：在例在例5，6中，如果端面自由，则中，如果端面自由，则 课外思考：课外思考：长为长为L的均匀杆，一端固定在的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由。车子以速度车壁上，另一端自由。车子以速度v行驶行驶突然停止，写出边界条件。突然停止，写出边界条件。00,0.xx Luunn00,0 xxx Luu302、初始
16、条件、初始条件 初始条件是系统在初始条件是系统在t=0时的状态。时的状态。初始条件的个数等于微分方程的阶数。初始条件的个数等于微分方程的阶数。例例1、一根长为、一根长为L，两端固定的弦，用手，两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离把它的中点横向拉开距离h，然后松手让，然后松手让其自由振动。写出其初始条件。其自由振动。写出其初始条件。31例例8、一根长为、一根长为L，线密度为，线密度为，两端固定，两端固定的弦，在中点受到冲量的弦，在中点受到冲量I I的作用开始振动。的作用开始振动。写出其初始条件。写出其初始条件。分析：泛定方程是二阶偏微分方程，因此分析：泛定方程是二阶偏微分方程，因此需要两个初始条件。需要两个初始条件。3200ttu33 1 1、有无边界条件的定解问题吗？如何、有无边界条件的定解问题吗？如何理解？理解？2 2、有无初始条件、有无初始条件的定解问题吗？如何的定解问题吗？如何理解？理解？习题习题2.1（P.22）1，2,3,534Thank You!
