1、图形与几何图形与几何北京市东城区教师研修中心北京市东城区教师研修中心 王彦伟王彦伟北京第一师范学校附属小学北京第一师范学校附属小学 韩玉娟韩玉娟义务教育数学课程标准（2011年版）更突出体现了几何学的本质：以图更突出体现了几何学的本质：以图形作为重要的研究对象，以空间形式作形作为重要的研究对象，以空间形式作为分析和探讨的核心。为分析和探讨的核心。“空间与图形空间与图形”“图形与几何图形与几何”实验稿实验稿修订稿修订稿图形与几何领域的核心概念图形与几何领域的核心概念 看到看到“图形与几何图形与几何”这几个字，您想这几个字，您想到了哪些关键词？到了哪些关键词？空间观念空间观念 几何直观几何直观 推
2、理能力推理能力 空间观念空间观念 主要是指根据物体特征抽象出几何图形，主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。几何直观几何直观 主要是指利用图形描述和分析问题。借助主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
3、几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。个数学学习过程中都发挥着重要作用。几何直观几何直观案例一：案例一：打电话打电话 如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同如果你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知学，用打电话的方式，每分钟通知1 1人，给你人，给你3 3分分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。下。下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。上图通过线段、点，以及图形，把通知过程
4、很简捷地表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。我们平时解题过程中所画的线段图，示意图等也是几何直观。推理能力推理能力 推理一般包括合情推理和演绎推理推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证
5、明和计算。在解决问题的过程中，两种推的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。发现结论；演绎推理用于证明结论。图形图形与与几何几何“图形的认识图形的认识”“测测 量量”“图形的运动图形的运动”“图形与位置图形与位置”新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？有哪些新的要求呢？小学阶段对于小学阶段对于“图形的认识图形的认识”这一内容，教这一内容，教材是遵循怎样一个编排体系？材是遵循怎样一个编排体系？怎样通过图形的认识教学
6、，培养学生的空间怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？观念？话话 题题 一一:图图 形形 的的 认认 识识实验稿实验稿2011年版年版 第第一一学学段段（1）通过实物和模型辨认长方体、）通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等正方体、圆柱和球等立体图形立体图形。（2）辨认从正面、侧面、上面观察辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。到的简单物体的形状。参见例参见例1（3）辨认长方形、正方形、三角形、）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。平行四边形、圆等简单图形。（4）通过观察、操作，）通过观察、操作，能用自己的能用自己的语言描述语言描述长方形、正方形的特征。长
7、方形、正方形的特征。（5）会用长方形、正方形、三角形、）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。平行四边形或圆拼图。（6）结合生活情境认识角，会辨认）结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。直角、锐角和钝角。（7）能对简单几何体和图形进行分）能对简单几何体和图形进行分类。类。1.1.能通过实物和模型辨认长方体、正方体、能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等圆柱和球等几何体几何体。2.2.能根据具体事物、照片或直观图辨认从能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体不同角度观察到的简单物体（参见例（参见例11）。）。3.3.能辨认长方形、正方形、三角形、平行能辨
8、认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。四边形、圆等简单图形。4.4.通过观察、操作，通过观察、操作，初步认识初步认识长方形、正长方形、正方形的特征。方形的特征。5.5.会用长方形、正方形、三角形、平行四会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。边形或圆拼图。6.6.结合生活情境认识角，了解直角、锐角结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。和钝角。7.7.能对简单几何体和图形进行分类（参见能对简单几何体和图形进行分类（参见例例20）。）。1.1.新的课程标准在图形的认识方面有新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？哪些变化？有哪些新的要求呢？实验稿实验稿2
9、011年版年版 第第二二学学段段（1 1）了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。个点。（2 2）能区分直线、线段和射线。能区分直线、线段和射线。（3 3）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。的距离。（4 4）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。直角、锐角之间的大小关系。（5 5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。交（包括垂直）关系。（6 6）通过观察、操作
10、，认识平行四边形、梯形和圆，）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。会用圆规画圆。（7 7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是边之和大于第三边、三角形内角和是180 180。（8 8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。锐角三角形、钝角三角形。（9 9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的 展开图。展开图。（1010
11、）能辨认）能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对从不同方位看到的物体的形状和相对位置。位置。参见例参见例1 11结合实例了解线段、射线和直线。结合实例了解线段、射线和直线。2体会两点间所有连线中线段最短，知体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。道两点间的距离。3知道平角与周角，了解周角、平角、知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。钝角、直角、锐角之间的大小关系。4结合生活情境了解平面上两条直线的结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。平行和相交（包括垂直）关系。5通过观察、操作，认识平行四边形、通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，梯
12、形和圆，知道扇形知道扇形，会用圆规画圆。，会用圆规画圆。6认识三角形，通过观察、操作，了解认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是角和是180。7认识等腰三角形、等边三角形、直角认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。三角形、锐角三角形、钝角三角形。8能辨认能辨认从不同方向（前面、侧面、上从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图面）看到的物体的形状图（参见例（参见例32）。）。9通过观察、操作，认识长方体、正方通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体体、圆柱和圆锥，认识长
13、方体、正方体和圆柱的展开图。和圆柱的展开图。第二学段的内容标准删除第二学段的内容标准删除“两点确定一条直两点确定一条直线线”和和“两条直线确定一个点两条直线确定一个点”。“图形与几何图形与几何”领域，将几何学习的视野拓宽领域，将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背到学生生活的空间，强调空间和图形知识的现实背景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。景，从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。标准（标准（20112011年版）年版）突出用观察、描述、制作、突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动
14、，发展学生的空间观念和图形设计与推理（合情动，发展学生的空间观念和图形设计与推理（合情推理与演绎推理）的能力。推理与演绎推理）的能力。1.1.新的课程标准在图形的认识方面有新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？哪些变化？有哪些新的要求呢？标准（标准（20112011年版）年版）在第二学段还增加了在第二学段还增加了知道扇形知道扇形这一内容。扇形的认识，各版本教材均作这一内容。扇形的认识，各版本教材均作为选学内容，在为选学内容，在数学课程标准（实验稿）数学课程标准（实验稿）中没中没有认识扇形的要求。有认识扇形的要求。在在“统计与概率统计与概率”部分却明确提出了通过实例部分却明确
15、提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性认识扇形统计图的内容标准，考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性，以及学生认识扇形统计图的需、逻辑性和连贯性，以及学生认识扇形统计图的需要，要，课标（课标（20112011年版）年版）在认识圆的基础上，增在认识圆的基础上，增加了初步认识扇形。加了初步认识扇形。1.1.新的课程标准在图形的认识方面有新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？哪些变化？有哪些新的要求呢？对图形认识的要求主要包括两个方面：对图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识。一是对图形自身特征的认识。二是对图形各元素之间、图形与图形之间二是对
16、图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。关系的认识。1.1.新的课程标准在图形的认识方面有新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？哪些变化？有哪些新的要求呢？在三个学段中，认识同一个或同一类图形的在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从要求有明显的层次性：从“辨认辨认”到到“初步认识初步认识”，再从，再从“认识认识”到到“探索并证明探索并证明”。如，对于平行四边形，第一学段要求如，对于平行四边形，第一学段要求“能辨能辨认认”；第二学段要求；第二学段要求“认识认识”；第三学段要求；第三学段要求“理解概念，探索并证明平行四边形的性质定理、理解概念，探索并证明
17、平行四边形的性质定理、判定定理判定定理”等。等。图形自身特征的认识图形自身特征的认识内容内容小学小学中学中学三角形三角形内角和内角和 通过观察、操作，通过观察、操作，了解三角形内角和是了解三角形内角和是180180。主要以操作、感知主要以操作、感知为主，不需要标准的为主，不需要标准的证明。证明。探索并证明三角探索并证明三角形内角和定理，掌形内角和定理，掌握它的推论。握它的推论。在第二学段的基在第二学段的基础上注重用演绎推础上注重用演绎推理的方法证明。理的方法证明。例：三角形内角和例：三角形内角和图形自身特征的认识图形自身特征的认识 再如，关于再如，关于“视图视图”，第一学段第一学段要求要求“能
18、根据能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体简单物体”；第二学段第二学段要求要求“能辨认从不同方向（能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”；第三第三学段学段要求要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体据视图描述简单的几何体”。这种要求的层次性，既这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的体现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐
19、渐深入、循认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。序渐进。图形自身特征的认识图形自身特征的认识主要包括主要包括大小、位置、形状大小、位置、形状之间关系的认识。之间关系的认识。图形的各元素之间、图形图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识与图形之间的关系的认识 第一学段的第一学段的“了解直角、锐角和钝角了解直角、锐角和钝角”；第二；第二学段的学段的“体会两点间所有连线中线段最短体会两点间所有连线中线段最短”；“了了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系系”；“了解三角形两边之和大于第三边了解三角形两边之和大于第三边”；第三；第三学段
20、的学段的“会比较线段的长短会比较线段的长短”，“能比较角的大小能比较角的大小”等，都是对等，都是对图形大小关系图形大小关系的研究。的研究。点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的主要的图形位置关系图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。形与图形之间的位置关系。图形的全等、相似都是研究图形之间关系的课程内容，图形的全等、相似都是研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图
21、形的形状、大小关系；图形的相似研究的是全等研究的是图形的形状、大小关系；图形的相似研究的是图形的图形的形状之间形状之间的关系；而图形的位似则还涉及到了图形的的关系；而图形的位似则还涉及到了图形的位置关系。位置关系。图形的各元素之间、图形图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识与图形之间的关系的认识学生的图形认知水平主要分为五级：学生的图形认知水平主要分为五级：水平水平1 1：直观化；：直观化；水平水平2 2：描述：描述/分析；分析；小学小学 水平水平3 3：抽象：抽象/关联；关联；水平水平4 4：演绎：演绎/形式化推理；形式化推理；水平水平5 5：严密：严密/元数学。元数学。中学中学图形认
22、识的教学要明确两点：图形认识的教学要明确两点：一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前面的知识基础和后续知识各是什么；前面的知识基础和后续知识各是什么；二是多数学生现在的形象思维处于一个什二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过教学达到什么阶段。么阶段，要通过教学达到什么阶段。立体立体平面平面立体立体 传统教材，最初是这个传统教材，最初是这个点线面体点线面体的逻辑关系讲的逻辑关系讲的。到了上个世纪的。到了上个世纪9090年代以后，义务大纲出现就发年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后讲平面，然后又回到立体，生变化了，先讲立体以后讲平面，
23、然后又回到立体，那么大家要问，为什么当时要改？那么大家要问，为什么当时要改？2.2.小学阶段，对于图形的认识，教材是遵小学阶段，对于图形的认识，教材是遵循了怎么样的一个编排体系？循了怎么样的一个编排体系？原因原因1 1：因为当时我们很多老师都反映，高年级孩子，因为当时我们很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，本身的识图的能力比较低，这是对几何立体图形，本身的识图的能力比较低，这是个难点，要想分散难点。个难点，要想分散难点。原因原因2 2：人生活在三维空间当中，一个婴儿从出生，人生活在三维空间当中，一个婴儿从出生，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他所有接触的东西，看到的东西，实
24、际上都是体，积累接触了很多立体，因此所有的几何的体，都具积累接触了很多立体，因此所有的几何的体，都具有直观的实物的模型的。低年级孩子，刚开始初步有直观的实物的模型的。低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。的认识立体图形是有可能的。2.2.小学阶段，对于图形的认识，教材是遵小学阶段，对于图形的认识，教材是遵循了怎么样的一个编排体系？循了怎么样的一个编排体系？这个安排是符合我们儿童年龄特征，又符合数学这个安排是符合我们儿童年龄特征，又符合数学几何图形的认识的基本规律，也是经验当中，逐步摸几何图形的认识的基本规律，也是经验当中，逐步摸索出来的，目前教材的安排，从实物到图形，从具体索出来的，
25、目前教材的安排，从实物到图形，从具体到抽象，从整体到部分，符合儿童的认知规律。到抽象，从整体到部分，符合儿童的认知规律。“体面体体面体”的混合螺旋编排结构原因是：的混合螺旋编排结构原因是：第一、第一、分散难点分散难点 第二、第二、符合儿童生活经验和认知规律。符合儿童生活经验和认知规律。2.2.小学阶段，对于图形的认识，教材是遵小学阶段，对于图形的认识，教材是遵循了怎么样的一个编排体系？循了怎么样的一个编排体系？第一：通过对实物的观察与操作认识图形第一：通过对实物的观察与操作认识图形第一学段第一学段要求要求“能通过实物和模型辨认长方体、能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体正方体、
26、圆柱和球等几何体”、“通过观察、操通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征作，初步认识长方形、正方形的特征”；第二学段第二学段要求要求“结合实例了解线段、射线和直结合实例了解线段、射线和直线线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系行和相交（包括垂直）关系”。3.3.怎样通过图形的认识教学，培养学生的怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？空间观念？教学圆柱的认识时，还应该开展教学圆柱的认识时，还应该开展以下活动进一步认识圆柱以下活动进一步认识圆柱第一，从不同的角度观察圆柱，第一，从不同的角度观察圆柱，分析从不同角度分别看到什么
27、分析从不同角度分别看到什么样的结果。样的结果。第二，剪开第二，剪开圆柱的侧面圆柱的侧面，想象，想象剪开后的图形会是什么图形？剪开后的图形会是什么图形？第三，把圆柱切割成两部分，第三，把圆柱切割成两部分，截面是什么形状？截面是什么形状？案例：圆柱的认识案例：圆柱的认识第二：基于图形的想象和图形之间的转第二：基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念换，发展空间观念 教材内容编排上增加了教材内容编排上增加了“视图和投影、展开视图和投影、展开与折叠与折叠”等内容。关于视图和投影，小学阶段是等内容。关于视图和投影，小学阶段是观察物体，课标上有两个要求：观察物体，课标上有两个要求：第二：基于图形的想象
28、和图形之间的转第二：基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念换，发展空间观念 第二：基于图形的想象和图形之间的转第二：基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念换，发展空间观念 关于折叠和展开，过去教材中也有长方体、关于折叠和展开，过去教材中也有长方体、正方体、圆柱体的展开图。现在更要强化关于展开正方体、圆柱体的展开图。现在更要强化关于展开图的教学，在进行折叠和展开当中，操作过程，必图的教学，在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程实际上是使孩子们须要通过儿童的想象，这个过程实际上是使孩子们认识到，立体图形的结构和展开图之间的对应关系，认识到，立体图形的结构和展开图
29、之间的对应关系，获得对空间的理解。视频课例。获得对空间的理解。视频课例。展开图第二：基于图形的想象和图形之间的转第二：基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念换，发展空间观念 “认识长方体、正方体和圆柱的展开图认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，体，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。开图的数量或类型的做法是不可取的。第二：基于图形的想象和图形之间的转第二：基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念换，发展空间观念 认识图形过程中大量的操作性活动，认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念，教学中应当予以充分的重视。空间观念，教学中应当予以充分的重视。谢谢您的倾听谢谢您的倾听!20122012年年3 3月月1717日日
