1、理 数 试 题 答 案 及 评 分 参 考 ? ? ? ? ?所 以 ?或? ?因 为 ? ? ? ? ? ?所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ?假 设 ?周 髀 算 经? ? ?九 章 算 术?分 别 为 ? ?海 岛 算
2、经 ? ? ?孙 子 算 经? ? ?缉 古 算 经?分 别 为 ?则 基 本 事 件 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共? ?个 ? 其 中 恰 好 有 一 个 是 汉 代 著 作 的 有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共?个 ?所 以 所 求 概 率 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是 偶 函 数 ?排 除 ? 时? ? ?排 除? ? ? ?由? ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由 题 意 知?所
3、 以? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? 即 离 心 率 ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?因 为? ? ? ?所 以 ? ? ? 联 立 可 解 得 ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 曲 线 ?在 点 ? ? ?处 的 切 线 方 程 为? 即 ? ? ? ? ? ?因 为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ? ?因 为 ? ? ? ? ? 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ?所 以 ? ? ? ?的 系 数 为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、 ? ? ? ? ?由 对 称 性 可 得? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?所 以?槡? ?又 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ?所 以? ? ?即 椭 圆 ?的 方 程 为 ? ? ? ? ?将 ?与 ? ? ? ? ?联 立 消 ?得? ? ? 所 以 ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡 ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?中? ?所 以?是 偶 函 数 ?正 确? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 区 间 ? ? ? ? 上 单 调 递 减?所 以 ?在 区 间 ? ? ?上 单 调 递 增 ?正 确? ?当? ? ?时
5、?由 ? ?得? ?或? ? 或 ?所 以 偶 函 数 ?在? ?有 五 个 零 点?不 正 确? ?当? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因 为 ? ? ? ? ?所 以 当? ? ? ? ?时 ? ? ? ? ? ? 当 ? ? ? ?时 ? ? ? ? ? ? ? ?又?是 偶 函 数 ?得 ? 不 正 确 ? 选 ? ? ? ? ?由?是?和 ? ?的 等 差 中 项 ?得 ? ? 当 ?时 ? ? 所 以 ? ?即? ? ? ?因 为 ? ? 所 以 ? ? 所 以 ? ?是 以 ? ?为 首 项 ?以 ?为 公 比 的 等 比 数 列?所 以
6、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ?所 以? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?答 案 ? ?或? ? 解 析? ? ? ? ?所 以? ? ? ? ?解 得 ? ?或? ? ? ? ? ?答 案 ? ? ? 解 析?因 为 ? ? ?所 以? ? ? ? ? ?所 以 公 差?又? ?所 以? ? ? ? ?解 得
7、? ?所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?答 案 ? ? 解 析?由 ? ?得? ? ? ?所 以 ? ? ?所 以?的 周 期 为?所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?答 案 ? ? ? ? ? ? 解 析?三 棱 锥 ? ? ?外 接 球 ?就 是 直 三 棱 柱 ? ? ?的 外 接 球 ?补 成 棱 长 为 ? 的 正 方 体?可 求 得 三 棱 锥 ? ? ?的 外 接 球 半 径 为 槡? ? ?所 以 所 求 表 面 积 为 ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系?设 ? ?
8、 ? 则 ? ? ? ? ? ? 因 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 且 仅 当? ? ?时 ?等 号 成 立 ?所 以 三 棱 锥 ? ? ?体 积 的 最 大 值 为 ? ? ? ? ? ? ? ?因 为 ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在 ? ? ?中 ?由 正 弦 定 理 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、? ? ? ? ? 因 为 ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整 理 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ?得? ? ? ? 所 以 ? ? ?分 ? ?因 为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 槡? ? ? ?所 以 ? ? ? 因 为 ?槡? ?所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 ? ? ? 即 ? ? ?的 周 长 为槡? ? ? ?分 ? ? ? ? ?证 明 ?如 图?取 ? ?的 中 点
10、?连 接? ?因 为? 分 别 为 ? ? ? ?的 中 点 ?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ?且?所 以 四 边 形 ? ?是 平 行 四 边 形 ?所 以 ? ?分 因 为 ?平 面? ? ? ?平 面? ? ?所 以?平 面? ? ? ?分 ? ?因 为 平 面? ? ?平 面? ? ? ?平 面 ? ? ?平 面? ? ? ? ? ?平 面 ? ? ? ? ? ?所 以? ?平 面? ? ? 因 为 ? ?平 面? ? ?所 以? ? ? 又 ? ? ? ? ?所 以? ? 平 面 ? ? ? 所 以 以 ?为 原 点 ?以 ? ?所 在 直 线 为?轴 ? ?所
11、 在 直 线 为 ? 轴?过 点 ?和 平 面? ? ? ?垂 直 的 直 线 为?轴 ?建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系?则 ?轴 在 平 面? ? ?内?令? ? ?又 ? ? ? ? ?所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 设 平 面 ? ? ?的 一 个 法 向 量 为? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? 令 ? ?则? ? ?所 以? ? ? ? ?分 又 ? ?平 面? ? ?所 以? ? ? ? ?是 平 面? ? ?的 一 个 法 向
12、 量 ? ?分 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡 ? ? ? 所 以 二 面 角 ? ?的 余 弦 值 为 槡? ? ? ?分 ? ? ? ? ?抛 物 线? ? ? ?的 准 线? ?所 以? ? ? 设 ? ? ? ? ? ?与? ? ? ?联 立 消?得 ? ? ? ? ? ? ? ? 2020届第二次模拟考试 ? 设 ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以 ? ? ? 又 ? ?所 以? ?分 因 为? ? ? ?槡 ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ?槡 ? ?
13、? ? ? ? ? ? ? 槡 槡? ? ? ? ? 解 得 ? ? ? ? ?所 以 ? ?或 ? ? 所 以 直 线 ? ?的 方 程 为? ? ? ?或? ? ? ?分 ? ?假 设 存 在 以 线 段? ?为 直 径 的 圆 与 抛 物 线?至 少 有 三 个 公 共 点?设 ?是 不 同 于?的 一 个 公 共 点 ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以? ? ? ? ? ? ? 所 以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ?将 ? ? ? ? ? ? ? ? ?代 入 得? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解 得? ? ? ? ? 所 以 ?槡 ? ? ? ? 槡? ? ? 即 当 ?槡 ? ? ? ? 槡? ? ?时?以 线 段 ? ?为 直 径 的 圆 与 抛 物 线 ?至 少 有 三 个 公 共 点? ?分 ? ? ? ? ?调 整 前?关 于?的 表 达 式 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 调 整 后 ?关 于?的 表 达 式 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ?由 频 数 分 布 表 可 知 从? ? ? ? ? ? ?及? ? ? ? ? ? ?的 人 群 中 抽 取 ?人 ?其 中? ? ? ? ? ? ? ?占?人 ? ? ? ? ? ? ? ?占?人 ?再 从 这 ?人 中 选?人 ?则 ?的 取 值 可 能 为? 所 以 ? ? ? ? ? ?
16、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 其 分 布 列 为 ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ?由 于 小 红 的 工 资 ?薪 资 等 收 入 为 ? ? ? ?元 ?按 调 整 前 起 征 点 应 纳 个 税 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?元 ?按 调 整 后 起 征 点 应 纳 个 税 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ?元 ?比 较 两 个 纳 税 方 案 可 知?按 调 整 后 起 征 点 应 纳 个 税 少 交 ? ? ?元 ?即 小 红
17、 的 实 际 收 入 增 加 了 ? ? ?元? ?分 ? ? ? ? ?因 为 函 数?在 ? ? ? 单 调 递 减?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 ? ? ? 恒 成 立?即 ? ? ? ?在 ? ? ? 恒 成 立?即 ? ? ? ? 恒 成 立?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 令 ? ? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所 以?时 ? ? ? ? ? ?单 调 递 增 ? ? ? 时? ? ? ? ?单 调 递 减?所 以 ? ? ? ? 即 ? ? 实 数 ?的 取 值 范 围 是 ?
18、? ? ? ? ?分 ? ?因 为?是 函 数?的 两 个 极 值 点 ?所 以 ?是 ? ? ? ? ? ?的 两 个 变 号 根 ?即 ?是 ? ? ? ?的 两 个 变 号 根 ? 令 ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? ? ?函 数?单 调 递 增 ? ? ? ? ?不 可 能 有 两 个 根? 当 ? ?时 ?令 ? ? ?得? ? ? ? ?单 调 递 增 ? 令 ? ? ?得? ? ? ?单 调 递 减? 所 以 ? ? ? ? ? ? ?令 ? ? ? ? ?得 ? ? ? 因 为 ? ?时 ? ? ? ? ? 时? ? ? 所 以 ? ? ?时 ?
19、 ?是? ? ? ?的 两 个 变 号 根? ?分 所 以 ? ? ? ? ? 两 式 相 减 得 ? ? ? ? 设 ?则 ? ? ? ? ? ? 所 以 要 证 ? ? ? ? ? ? ?只 需 证 ? ? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ?也 就 是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整 理 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 证 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 令 ? ? ?则? ? ?则 即 证 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
20、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ? ?在? ?时 单 调 递 增 ?即 ? ?时 ? ? ? ? ? 所 以 ? ?时 ? ? ? ? ? ? ? 故 原 结 论 成 立?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ?因 为 曲 线?的 参 数 方 程 是 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为 参 数 ? 所 以 消 去 参 数 ?得 曲 线?的 直 角 坐 标 方 程 为 ? ? ? ? ? ? ? ?分 因 为 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 所 以 ? ? ? ? ? 将 ? ? ? ? ? ? ? 代 入 可 得 ? 即 直
21、线 ?的 直 角 坐 标 方 程 为?分 ? ?因 为 点?在 直 线?上 ?所 以 直 线 ?的 参 数 方 程 可 设 为 ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?为 参 数 ? 将 其 代 入 ? ? ? ? ? ?得 ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 因 为 ?为? ?的 中 点 ?所 以 ? ? 所 以 ? ? ? ?所 以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所 以 ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 得 ? ? ? ? 所 以 ? 槡? ? ? ? 或 ? 槡? ? ? ? ? 所 以 实 数 ?的 值 为槡 ? ? ? ? 或 ? 槡? ? ? ? ? ?分
