1、第二章第二章 流体力学控制方程流体力学控制方程 及其数学分类及其数学分类2.1 2.1 计算流体力学控制方程计算流体力学控制方程 0)(Vt 2.2.动量方程：动量方程：*Ip*)()(FIpVVtVFVVtV)()(为粘性应力张量为粘性应力张量1.1.连续方程：连续方程：（一）基本守恒律方程一）基本守恒律方程)()(VqVFVEtE 221VpE )*()()(VVpV )(Tkq )*()()(VTkVFVpEtE 3.3.能量方程能量方程:（二）守恒型控制方程（二）守恒型控制方程 对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程或非守恒方程，通常没有本质
2、的差别，恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别可能导致很大的差别，尤其是求解含激波等弱尤其是求解含激波等弱解问题时解问题时。故方程的守恒性是计算流体力学中，故方程的守恒性是计算流体力学中，必须特别注意的问题。必须特别注意的问题。（三）（三）直角坐标系下的守恒型方程直角坐标系下的守恒型方程 0 zGyExFtU tEwvuU upEuwuvpuuFt)(2 vpEvwpvvuvEt)(2 wpEpwvwuwwGt)(2 不计质量力（或质量力有势），理想流体、不计质量力（或质量力有势），理想流体、若
3、考虑粘性，则：若考虑粘性，则：0)()()(111 zGGyEExFFtU xTkwvuFxzxyxxxzxyxx 01 yTkwvuEyzyyxyyzyyxy 01 zTkwvuGzzzyxzzzzyxz 01（四）（四）控制方程的无量纲化控制方程的无量纲化当微分方程转化为差分方程并用数值当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其方法求解时，不同类型的微分方程，其数值处理方法各异，其中包括定解条件数值处理方法各异，其中包括定解条件提法的适定性、物理解的性质、差分格提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性等。式的适用性等。在一些特殊的问题中，甚至通过差分在一些特殊的
4、问题中，甚至通过差分格式的特技巧来改变方程的数学性质。格式的特技巧来改变方程的数学性质。2.2 2.2 流体力学控制方程组的分类流体力学控制方程组的分类fcuyubxubyuayxuaxua21222221222112aaa2211212其中a11等系数均不是u及其导数的函数。判别式椭圆型抛物型双曲型000 对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：其中：其中：U U为为n n阶向量，阶向量，A A 为为n n 阶矩阵阶矩阵FxtiUAUnuuu21U若：若：A A的特征值为的特征值为:则有如下结论的根即0IA1,2,.n),(ii n个特征值个特征值全部为复数全
5、部为复数时，称方程在时，称方程在(t,xi)平面平面上为上为纯椭圆纯椭圆型；型；n个特征值全部为个特征值全部为互不相等的实数互不相等的实数时，称方程在时，称方程在(t,xi),平面上为平面上为纯双曲型纯双曲型；而当；而当n个特征值全部为个特征值全部为实数实数，但有部分为相等的实数时，称方程，但有部分为相等的实数时，称方程(t,xi)在在 平面上为平面上为双曲型双曲型；n个特征值个特征值全部为零全部为零时，称方程在时，称方程在(t,xi)平面平面上为上为纯抛物型纯抛物型；n个特征值部分为复数、部分为实数时，称方个特征值部分为复数、部分为实数时，称方程在程在(t,xi)平面上为平面上为双曲椭圆双曲
6、椭圆型；型；（5）n个特征值部分为复数、部分为重根时，称个特征值部分为复数、部分为重根时，称方程在方程在(t,xi)平面上为平面上为抛物椭圆型抛物椭圆型，整体上属，整体上属椭椭圆型圆型；（6）n个特征值部分为相异实根、部分为重根时，个特征值部分为相异实根、部分为重根时，称方程在称方程在(t,xi)平面上为平面上为双曲抛物型双曲抛物型，整体上属，整体上属抛物型抛物型；1.1.一维非定常一维非定常EulerEuler方程方程双曲型双曲型 2.2.二维定常二维定常EulerEuler方程方程 payvxuaypvxpuypyvvxvuxpyuvxuuyvxuyvxu 220)(110)(写成向量形式
7、：写成向量形式：0yxUBUA0yxUCU pvu U upuuuA0000010000 vpvvvB 0010000000 2222222222222222222210100)(0)(BACauuvauuauvauuvauvauaauuvauuvauuauvuv 求矩阵求矩阵C C的特征值得的特征值得：222224,32,1422222220)()()(auavuauvuvavuaauuvuv如果：如果：双双曲曲椭椭圆圆型型两两个个实实根根，两两个个复复根根，）四四个个实实根根，双双曲曲型型）102101222222 MavuMavu3.3.二维非定常二维非定常EulerEuler方程方程0
8、yxtUBUAUBACADUDUCU110tyx求求C C的特征值，的特征值，结论与定常结论与定常相同：相同：得到在得到在X-YX-Y平面的方程性质平面的方程性质；求求D D的特征值的特征值,得得:auauuauauu 11,10)1)(1()1(432,12 为四个实根，即方程在为四个实根，即方程在 x-tx-t平面为双曲型；平面为双曲型；所以所以Euler Euler 方程可以方程可以在时间座标方向推进在时间座标方向推进，而在定常问题中而在定常问题中能否能否推进计算，必须根据推进计算，必须根据流动流动是否为超音速是否为超音速（MM与与1 1的关系）来定。的关系）来定。4.4.定常不可压缩定
9、常不可压缩 NavierStokes NavierStokes 方程方程)(1)(1022222222yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuyvxu 降阶法,令：xvhyugyvxuf hxvfxuyhxfxgyfvfuhyvxvypvgufyuxuxp 00)(1)(122222222 hxvfxuvgufygyhxpvfuhyfypxhyfxgyhxf )()(100令TvuphgfU,FyUAtUii6,54,32,10矩阵A的特征值为：其中2,1对应新变量f,h，因此定常不可压定常不可压N-SN-S方程为椭圆型方程为椭圆型。5.5.二维定常可压二维定常可压NSNS方程方程ii
10、uv8,76,543,2,1,0定常可压定常可压NSNS方程是双曲椭圆型。方程是双曲椭圆型。采用降阶法分析：采用降阶法分析：利用边界层流动的概念，设利用边界层流动的概念，设x x方向为主流方向，方向为主流方向，即考虑有：即考虑有：2222yx 定常N-S方程经此处理后，变为抛物型方程FyUDyUBxUA 226.6.抛物化抛物化N-SN-S方程方程把流动方向的二阶偏导数略去。把流动方向的二阶偏导数略去。适定性适定性 保证所研究的偏微分方程（组）定解保证所研究的偏微分方程（组）定解问题的存在、唯一，并且连续依赖于定解条件。问题的存在、唯一，并且连续依赖于定解条件。对于普遍的一阶拟线性偏微分方程组
11、而言，定解条对于普遍的一阶拟线性偏微分方程组而言，定解条件的准确投放，仍是一个没有完全解决的问题。件的准确投放，仍是一个没有完全解决的问题。2.3 2.3 偏微分方程定解条件的提法偏微分方程定解条件的提法02222yuxu),(yxfu),(yxfnu1.1.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程第一类边界条件：第一类边界条件：Dirichlet Dirichlet 问题问题第二类边界条件：第二类边界条件：NeumannNeumann问题问题第三类边界条件：第三类边界条件：RobinRobin问题问题),()(yxfhunuk2.2.双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程0 xuatu 解域中存在特征线，
12、提纯初值问题可以，提边值问题要解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提边值问题要结合特征线走向。结合特征线走向。3.3.抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程22xutua)(tgu)(tgnu第一类边界条件第一类边界条件)()(tghunuk第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件2.4 2.4 模型方程以及在计算流体力学中的应用模型方程以及在计算流体力学中的应用（1）模型方程的引入）模型方程的引入简化对差分格式的性质的讨论及考核简化对差分格式的性质的讨论及考核必须反映物理问题的最基本的特征，必须反映物理问题的最基本的特征，且方便于进行理论分析且方便于进行理论分析 )(12222yV
13、xVpyVvxVutV 例如动量方程：例如动量方程：模型方程可以简化为：模型方程可以简化为：22xuxuutu BurgersBurgers方程。方程。（二）（二）几个典型的模型方程几个典型的模型方程0 xuatu22xutu22xuxuatu02222yuxu22xuxuutu0 xuutu其中前其中前4 4个方程为线性方程，可求出解析解，后两个方程为线性方程，可求出解析解，后两个方程为非线性方程，也可以求出解析解个方程为非线性方程，也可以求出解析解。单波方程热传导方程Burgers 方程Laplace 方程非线性Burgers 方程非线性单波方程 BurgerBurger方程的解析解：方程
14、的解析解：(1)(1):粘性系数，粘性系数，时为无粘方程。时为无粘方程。22xuxuutu 0解：解：时时,可令未知函数具有如下的形式：可令未知函数具有如下的形式：(2)(2)0 xtxu2),(),(tx)(2)(22 ttxtxxtu 其中其中 是待定的二阶可微分函数，将其代入是待定的二阶可微分函数，将其代入(1)(1)式式,得：得：代入代入(1)，则得，则得:不妨设不妨设 为满足抛物方程的解为满足抛物方程的解 ，即：，即：(3)将将 的解代入的解代入(2)式，即给出了式，即给出了BurgerBurger方程的解析方程的解析解的一般形式。解的一般形式。)(4222 xxxxxuu 3322
15、222)2)(2 xxxxxxxxu 0 xxtx 0 xxt 若若 的初始条件为的初始条件为:，则由则由(2)给出的对应于给出的对应于 的初始条件是：的初始条件是：由由（3）给出的给出的BurgerBurger方程的通解是：方程的通解是：再代入再代入(2)可得可得 的解析解。的解析解。特别指出，特别指出，粘性粘性BurgerBurger方程的解是连续的。方程的解是连续的。),(txu)()0,(xfxu),(tx)()(21exp)0,(0 xFdfxx deFttxtx4)(2)(41),(),(txu无粘无粘BurgerBurger方程解的间断性：方程解的间断性：)()0,(0 xfxuxuutu 设通解为：设通解为：)(),(utxftxu讨论：讨论：tffutufuxxx1)1(表示在表示在t-xt-x座标中的某一个特定的座标中的某一个特定的点，其对应的点，其对应的u u 为为u u(s)(s),使上式为使上式为0 0。0)(1,01)()()(ssstutxftf即即）（ssxt,)(,xu0)(0)()()(sssutxft即即 必定在必定在 点发生解的间断，点发生解的间断，间断的位置由间断的位置由(5)式确定式确定.),(txu)()(),(sstx
