高量9-运动方程课件.ppt

1、111 运动方程运动方程11.1 Schrdinger方程方程一、一般形式一、一般形式)(|)(|tHtti 此方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或此方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒子等所有情况。多粒子等所有情况。根据量子力学基本原理根据量子力学基本原理4，微观体系的状态，微观体系的状态 随时间的变化规律满足下列随时间的变化规律满足下列Schrdinger方程方程)(|t 当单粒子有自旋时，波矢量和哈密顿分别是位形当单粒子有自旋时，波矢量和哈密顿分别是位形空间和自旋空间二者直积空间中的矢量和算符。空间和自旋空间二者直积空间中的矢量和算符。2 系统运动方程取决于系统本身的情况和外

2、部环境，系统运动方程取决于系统本身的情况和外部环境，而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场。而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场。当系统的线度不大时，外加的宏观电磁场可以看当系统的线度不大时，外加的宏观电磁场可以看成是均匀的，但可随时间变化。哈密顿中的明显含时成是均匀的，但可随时间变化。哈密顿中的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化。因素几乎全部出自外电磁场的变化。二、具体形式二、具体形式1.空间运动部分空间运动部分 这部分可从系统经典分析力学中的哈密顿这部分可从系统经典分析力学中的哈密顿H(x,p,t)得到。只要将其中的得到。只要将其中的x和和p换成粒子的位置和动量算换成粒子的位置和

3、动量算符，即可得到哈密顿算符。如电磁场中的带电粒子符，即可得到哈密顿算符。如电磁场中的带电粒子3经典哈密顿量为经典哈密顿量为VqAqPmH2)(21V是其它因素对哈密顿的贡献。是其它因素对哈密顿的贡献。故单粒子的哈密顿算符为故单粒子的哈密顿算符为VqAqPmH2)(21其中其中).,(),(tRtRAA为方便起见，以后算符上不再加算符符号。为方便起见，以后算符上不再加算符符号。4V)AP(21H2qqm将将)A(A2)A(Aqiqiqiqi两边同时作用到任意态矢量两边同时作用到任意态矢量 上，注意到上，注意到VA2)A(2-PAP21H222qmqmqimqm有有对于均匀磁场对于均匀磁场B，矢

4、势，矢势A可以写成可以写成BRA21此式证明如下：此式证明如下：5zuyuxuuuuuuuuuuuuzyx)()()()()(1221211221-利用公式利用公式当当 时，时，ruzzyyxxrr,3)()()()(21)(21BrrBrBBrrB而而 为均匀磁场，为均匀磁场，B0,0)(BBr6但但)()(kzj yi xzByBxBrBzyxkBjBiBzyxBBBrB)3(21)(21而而ABBrrBA21)(21B这是我们经常使用的公式。它说明了矢势同矢径这是我们经常使用的公式。它说明了矢势同矢径和磁场的关系。和磁场的关系。7右方第二项成为右方第二项成为而电磁波是横波，即有而电磁波是

5、横波，即有 ，且式，且式0 AVA2)A(2-PAP21H222qmqmqimqmPRBPAmqmq2LBPRBmqmq22式中式中 为粒子的角动量算符。为粒子的角动量算符。PRL于是单粒子的哈密顿可以写成于是单粒子的哈密顿可以写成8由此可定义单粒子的轨道磁矩算符由此可定义单粒子的轨道磁矩算符LMmq2在在L的本征态的本征态|lm中，轨道磁矩的大小及其中，轨道磁矩的大小及其z分量取确分量取确定值，例如对电子有定值，例如对电子有BzBmMll,)1(22M称为玻尔磁子。称为玻尔磁子。其中其中124102740154.92TJmeB15107883826.5TeV式中式中A2项由于数量级小，往往可

6、以略去。项由于数量级小，往往可以略去。VALB-PH22qmqmqm2221292.有关自旋的项有关自旋的项 对对 H中与自旋有关的项，由于没有经典类比，无中与自旋有关的项，由于没有经典类比，无法从经典分析力学中得出，应该利用电子自旋磁矩法从经典分析力学中得出，应该利用电子自旋磁矩的实验值的实验值BeTJ00115965.1102847701.9124写出对能量的贡献，加在下式中写出对能量的贡献，加在下式中VALB-PH22qmqmqm22212通常将通常将 用用 代替，这时电子的自旋磁矩算符为代替，这时电子的自旋磁矩算符为eBSmeMs在自旋在自旋 表象下，这是一个表象下，这是一个 矩阵的矢

7、量算符。矩阵的矢量算符。22zS10例如，哈密顿中自旋在外磁场例如，哈密顿中自旋在外磁场B中的能量附加项为中的能量附加项为BmeBSmeBM2另外，一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相另外，一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能互作用能(即旋轨耦合即旋轨耦合)，例如对类氢离子中电子为，例如对类氢离子中电子为LSRRRcmZe)(12412220 讨论原子问题时，常在哈密顿中加上由自旋引起讨论原子问题时，常在哈密顿中加上由自旋引起的能量。这些都相当于在哈密顿中的能量。这些都相当于在哈密顿中V这一项。这一项。113.含有自旋的薛定谔方程含有自旋的薛定谔方程 在在 表象下，含有自旋的薛定谔

8、方程可以写为表象下，含有自旋的薛定谔方程可以写为如下的泡利方程如下的泡利方程zS)(1LSRfBSmeHtiti式中式中 都是都是x,y,z,t的函数。的函数。,1211.2 演化算符演化算符)(|)(|tHtti方程方程)(|),()(|00tttUt是时间的一阶微分方程，初态是时间的一阶微分方程，初态 给定，原则上给定，原则上可以知道任意时刻的状态可以知道任意时刻的状态 。由此可定义一个。由此可定义一个演化算符演化算符U(t,t0)使其满足使其满足)(|t)(|0t将上式代入薛定谔方程中，得将上式代入薛定谔方程中，得显然，显然，U(t,t0)的具体形式取决于薛定谔方程中的的具体形式取决于薛

9、定谔方程中的H。)(|),()(|),(0000tttHUtttUti此式对同一系统的一切初态此式对同一系统的一切初态 都成立。都成立。)(|0t13于是得演化算符满足的微分方程为于是得演化算符满足的微分方程为),(),(00ttHUttUti当当H中不显含时间时，此式在中不显含时间时，此式在 的初始条的初始条件下的解为件下的解为1),(00ttUHttiettU)(00),(故可知态矢量的归一化性质不随时间改变，即若故可知态矢量的归一化性质不随时间改变，即若 是归一化的，则是归一化的，则 对一切时间都是归一对一切时间都是归一化的。化的。)(|0t)(|t这就是当这就是当H中不显含时间时演化算

10、符的具体形式，中不显含时间时演化算符的具体形式，是一个幺正算符。是一个幺正算符。哈密顿显含时间的演化算符不再介绍。哈密顿显含时间的演化算符不再介绍。1411.3 绘景变换绘景变换 量子力学中的各种关系式，可以直接用矢量和算量子力学中的各种关系式，可以直接用矢量和算符表示，也可以取不同的表象用矩阵表示。不同表符表示，也可以取不同的表象用矩阵表示。不同表象中的矢量和算符，通过一个不含时的幺正矩阵联象中的矢量和算符，通过一个不含时的幺正矩阵联系起来。系起来。一个关系式在不同表象中的形式是完全等一个关系式在不同表象中的形式是完全等价的。价的。现在取一个含时间的幺正算符现在取一个含时间的幺正算符 U(t

11、)，作用在所有，作用在所有的矢量和算符上进行幺正变换。这样会得到与原来的矢量和算符上进行幺正变换。这样会得到与原来的矢量和算符的关系完全平行和等价的关系，的矢量和算符的关系完全平行和等价的关系，但其但其形式会发生较大的变化。形式会发生较大的变化。这种变换叫这种变换叫15 改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换，使改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换，使得在新的绘景下，某一问题的解决更方便一些。得在新的绘景下，某一问题的解决更方便一些。我们说，幺正变换我们说，幺正变换U(t)使我们得到量子力学关系式使我们得到量子力学关系式的另一个绘景。的另一个绘景。二、薛定谔绘景二、薛定谔绘景(Schrdin

12、ger picture)到目前为止到目前为止,我们所用的绘景没有经过幺正变换，我们所用的绘景没有经过幺正变换，称之为称之为Schrdinger绘景（绘景（SP）。）。为了同新绘景相区别，我们把为为了同新绘景相区别，我们把为Schrdinger绘景绘景中的矢量和算符写成中的矢量和算符写成 的形式。在这个绘的形式。在这个绘景中态矢量是含时的，服从景中态矢量是含时的，服从Schrdinger方程方程SSAt,)(|一、绘景变换一、绘景变换16SSStHtti)(|)(|而一般算符则不含时（一些含时微扰除外），这样而一般算符则不含时（一些含时微扰除外），这样0SAti 在在Schrdinger绘景中还

13、可以取各种表象绘景中还可以取各种表象(represen-tation)。每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而。每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而基矢是不含时的。基矢是不含时的。设想去看设想去看Hilbert空间，则应看到，描写状态的态矢空间，则应看到，描写状态的态矢量是按照一定规律运动的，而每一组基矢是静止的。量是按照一定规律运动的，而每一组基矢是静止的。态矢量的各种表象，不论写成矩阵的形式，还是写态矢量的各种表象，不论写成矩阵的形式，还是写成函数的形式，都是随时间变化的，因为它们是运动成函数的形式，都是随时间变化的，因为它们是运动的态矢量在静止的基矢上的分量。的态矢量在静止的基矢上的分

14、量。展开系数是含时的展开系数是含时的17注意：与基矢的幺正变换相区别。注意：与基矢的幺正变换相区别。11.4 海森堡绘景变换（海森堡绘景变换（Heisenberg picture）一、一、Heisenberg picture (HP)1.定义：定义：当系统的当系统的哈密顿哈密顿 不含时不含时时，可以保持时，可以保持 Hilbert空间中基矢框架不动，将空间中基矢框架不动，将 连同所有描写物连同所有描写物理量的算符理量的算符 全部进行一个全部进行一个含时含时的幺正变换。这的幺正变换。这种描述方式就是种描述方式就是HP。SHSt)(|SA 幺正变换选用这个系统的演化算符幺正变换选用这个系统的演化算

15、符U(t,0)的逆算的逆算符取进行，即含时幺正算符是符取进行，即含时幺正算符是18tHiSetUtU),0()0,(1式中式中 是这个系统的是这个系统的SP中的哈密顿。若中的哈密顿。若 本身含时本身含时间，则上式不成立，无法建立间，则上式不成立，无法建立HP。SHSH 2.HP绘景中的态矢量和算符绘景中的态矢量和算符 SP中的态矢量和算符经过上述含时幺正算符的作中的态矢量和算符经过上述含时幺正算符的作用后所得的新的态矢量和算符就是用后所得的新的态矢量和算符就是 HP 中的态矢量中的态矢量和算符，记为和算符，记为)0,()0,()()0(|)(|)0,(|11tUAtUtAttUSHSSH19注

16、意：哈密顿算符在此两个绘景中是一样的。为什么？注意：哈密顿算符在此两个绘景中是一样的。为什么？3.Hersenberg方程方程 HP 的特点是，态矢量的特点是，态矢量 不随时间改变，因为不随时间改变，因为幺正变换把任意时刻态矢量都变回初态的态矢量，幺正变换把任意时刻态矢量都变回初态的态矢量，而在而在HP中描写物理量的算符则是随时间变化的中描写物理量的算符则是随时间变化的,即即H|tHiStHiHSSeAetitAti)(tHiSStHitHiSStHiSSSSeHAeeAHe0|HtiHHHHHtAtAH)()(20于是得于是得)(,)(tAHtAtiHHH此式就是在此式就是在HP中的运动方程

17、，它描写了算符中的运动方程，它描写了算符 随随时间变化的规律，称为时间变化的规律，称为Heisenberg方程。方程。)(tAH 由算符的变换方程由算符的变换方程 得得)0,()0,()(1tUAtUtASHSHHH此式仅对哈密顿成立，所以可将此式仅对哈密顿成立，所以可将H算符右上角表示绘算符右上角表示绘景的标记略去。景的标记略去。注意注意HP的选取是与系统的哈密顿有关的，哈密顿的选取是与系统的哈密顿有关的，哈密顿不同，将得到不同的不同，将得到不同的HP。211.1.定义定义二、守恒量二、守恒量可知，当系统的可知，当系统的H不含时间时，若不含时间时，若HP中的算符中的算符 也也不随时间改变，即

18、不随时间改变，即 ，则，则A称为守恒量。称为守恒量。0)(tAtHHA显然，显然，A是守恒量的条件是是守恒量的条件是0,or0,SHAHAH可以发现，不含时的哈密顿本身是一个守恒量。可以发现，不含时的哈密顿本身是一个守恒量。事实上，由于事实上，由于 ，对守恒量对守恒量A来说来说，有，有0,SAHSHtiSHtiHAeAetA)()(,)(tAHtAtiHHH由式由式22用用 B 代表完备组中其余算符，则此厄米算符完备组代表完备组中其余算符，则此厄米算符完备组可以写为可以写为2.2.守恒量的性质守恒量的性质 由初等量子力学基础我们已经知道，守恒量由初等量子力学基础我们已经知道，守恒量 在在系统的

19、任意含时态系统的任意含时态 中取各值中取各值 的概率不随时的概率不随时间改变。这里重新证明如下：间改变。这里重新证明如下：SASt)(|ia【证】【证】,SSBHA 守恒量守恒量 既然同既然同H对易，那么含有对易，那么含有 的一组的一组厄米算符完备组中一定含有厄米算符完备组中一定含有H。SASA其共同本征矢量可以写成其共同本征矢量可以写成|kjibEa将系统的态矢量将系统的态矢量 按照这套本征矢量展开按照这套本征矢量展开St)(|23其中其中ijkijkkjiSCbEat|)(|HHtikjiebEa|HtEikjijebEa|可见可见 中是不含时的，而物理量中是不含时的，而物理量 在在 中中

20、取值取值 的概率是的概率是 。2|ijkCSASt)(|iajkijkC2|于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时间无关。间无关。由此性质又可得出下面几条结论：由此性质又可得出下面几条结论：HkjitEibEaej|SkjiijktbEaC)(|24(1)守恒量守恒量A在系统任意状态中平均值不随时间改变。在系统任意状态中平均值不随时间改变。SSStAtA)(|)(即即(2)若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值，则在若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值，则在 此以后此以后(以及此前以及此前)的任意时刻均取相同的确定值。的任意时刻均取相同的确定值。3.

21、说明说明量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量的区别：量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量的区别：经典力学中：经典力学中：系统运动时守恒量总取确定值；若同系统运动时守恒量总取确定值；若同时有几个守恒量，则都各自取确定值。时有几个守恒量，则都各自取确定值。量子力学中：量子力学中：守恒量不一定取确定值。若两个守恒守恒量不一定取确定值。若两个守恒量量 A,B 互不对易，则根本不存在二者互不对易，则根本不存在二者都取确定值的状态。都取确定值的状态。HHHtA|)(|25三、对三、对HP的直观理解的直观理解 设在设在Hilbert空间中取一组厄米算符完备组空间中取一组厄米算符完备组K，用，用其本征矢量

22、其本征矢量 建立一组基矢作为一个固定框架。建立一组基矢作为一个固定框架。|i 就是说，就是说，HP中可以建立各种表象，态矢量写成矩中可以建立各种表象，态矢量写成矩阵形式，这些列矩阵都是不含时的。阵形式，这些列矩阵都是不含时的。某系统的状态某系统的状态 是不含时的是不含时的,而而就是就是 在在HP中的中的K表象表象,这也是不含时的。这也是不含时的。SH)0(|Hi|也可以换个角度看。保持基矢组也可以换个角度看。保持基矢组 不动，再复不动，再复制一组与制一组与 一样的基矢组一样的基矢组.让这组新的基矢在让这组新的基矢在t=0时刻与原来的基矢完全重合，而在时刻与原来的基矢完全重合，而在t增加时开始动

23、起增加时开始动起来，成为动基矢组来，成为动基矢组 。|i|i)(|Sit 26 我们规定动基矢组的运动规律与系统的态矢量运我们规定动基矢组的运动规律与系统的态矢量运动规律一样，即动规律一样，即iHtiSiet|)(|这样这样 就成为空间中一组动的框架。这时就成为空间中一组动的框架。这时系系统的态矢量统的态矢量 在动基矢在动基矢 上的分量就是上的分量就是HP中态矢量的中态矢量的K表象表象：)(|Sit St)(|Sit)(|H|SHtiiSiStett)(|)(|)(27 从动系上去看算符从动系上去看算符A，则看到一个动算符，即静，则看到一个动算符，即静止算符止算符A在动系中的矩阵元是含时的。在

24、动系中的矩阵元是含时的。jHtiSHtiiSjSiSeAetAt|)(|)(如果完备组如果完备组K中含有系统的哈密顿中含有系统的哈密顿H，那么以上两，那么以上两式就是式就是HP中的中的能量表象能量表象.它是它是HP中最常用的一个表中最常用的一个表象，也是历史上最早的象，也是历史上最早的HP中的矩阵形式。中的矩阵形式。jHitA|)(|用经典力学来比喻，就是建立了一个与动矢量相用经典力学来比喻，就是建立了一个与动矢量相“固连固连”的动坐标系。观察者的动坐标系。观察者“站在站在”动系上去观动系上去观察动矢量，他看到的这个矢量将是静止的。察动矢量，他看到的这个矢量将是静止的。28四、四、HP的对易关

25、系的对易关系 根据幺正变换的性质，两个绘景中含有矢量和算根据幺正变换的性质，两个绘景中含有矢量和算符的所有关系式都是一样的（带有对时间求导的关符的所有关系式都是一样的（带有对时间求导的关系除外）。算符的本征值与简并度数也一样。故在系除外）。算符的本征值与简并度数也一样。故在 HP中中 的对易关系为的对易关系为)(),(tPtXHH0)(),()(),(,0)(),(tPtPitPtXtXtXHjHiijHjHiHjHi 在在HP中位置算符与动量算符随时间变化的规律，中位置算符与动量算符随时间变化的规律，由前面出现的公式由前面出现的公式)(),()()(,XfXiPXfPfPiPfX29可得可得

26、)(,)(ddtXHitXtHiHi此二式与经典分析力学中的此二式与经典分析力学中的Hamilton正则方程形式正则方程形式完全一致。完全一致。)(,)(ddtPHitPtHiHi)()(tPHiiHi)(tPHHi)(tXHHi)(tXHiiHi30五、量子化五、量子化 1、量子化一词的含义：、量子化一词的含义：（1）在经典理论中，取连续值谱的物理量在量子）在经典理论中，取连续值谱的物理量在量子 力学中变为离散值谱的现象；力学中变为离散值谱的现象；（2）参照系统的经典运动规律写出其量子运动规）参照系统的经典运动规律写出其量子运动规 律的方法。律的方法。2、一次量子化、一次量子化历史上有一常被

27、提到的量子化方法，可表述如下：历史上有一常被提到的量子化方法，可表述如下：（1）写出系统的经典）写出系统的经典Hamilton正则方程正则方程iiiiiiiixpxHttpppxHttx),(d)(d,),(d)(d31 经过以上手续经过以上手续,就从系统所服从的经典力学运动规就从系统所服从的经典力学运动规律，直接进入到律，直接进入到HP中的量子力学。这种手续称之为中的量子力学。这种手续称之为“一次量子化一次量子化”。（2）将上方程中的物理量）将上方程中的物理量 看成算符看成算符iipx,)()(),()(tPtptXtxiiii（3）赋予）赋予 以下对易关系以下对易关系iiPX,ijjiji

28、jiitPtXtPtPtXtX)(),(,0)(),(,0)(),(（4）给这些算符找一些适当的（不含时的）作用）给这些算符找一些适当的（不含时的）作用 对象来描写状态。对象来描写状态。后面在介绍全同粒子体系时还介绍后面在介绍全同粒子体系时还介绍“二次量子化二次量子化”。32一、连续性方程的算符形式一、连续性方程的算符形式 我们知道，在经典力学中，带电粒子的电荷密度和我们知道，在经典力学中，带电粒子的电荷密度和电流密度可以分别写为电流密度可以分别写为而在而在SP下采用下采用Weyl规则规则(p70),二者相应的算符形式是二者相应的算符形式是)()(xxqxp xxmqxjj)()()()(qx

29、Xx)()(2)(mqxXPPxXxj11.5 连续性方程连续性方程写成写成HP下的形式是下的形式是33)(),(qtHHxXx)()()()(2),(ttttmqtJHHHHHxXPPxXx现在求现在求 对时间导数。利用对时间导数。利用Heisenberg方程，有方程，有)(tH)(,d)(dtHittHH)()(),()(),()(2tPttPttPtPmiHHHHHH)(,)(212ttPmiHH利用利用 的三维形式，有的三维形式，有)(),(xfxipxf34)()()()(21d)(dtPtttPmttHHHHHHH式中式中 是对算符是对算符 的梯度，即的梯度，即H)(tXHiHii

30、HtXe)(它与对场点的梯度它与对场点的梯度 不同。不同。iixe这样将式这样将式 代入，有代入，有)(),(xtXqtxH)()()()(2d)(dtPxtXxtXtPmqttHHHHHHH35)()()()(2tPxtXxtXtPmqHHHH)()()()(21tPtxttPmHHHH)(tJH)()(qxXx)()(2)(mqxXPPxXxj由此得由此得0)(d)(dtJttHH这就是电荷的连续性方程的算符形式，其意义可以这就是电荷的连续性方程的算符形式，其意义可以将方程在任意态将方程在任意态 下求平均值而看出。下求平均值而看出。H|36二、二、和和 在任意态中的平均值在任意态中的平均值

31、)(tJH)(tH由于平均值是与绘景无关的，故由于平均值是与绘景无关的，故HHHttr|)(|),(1.rtrrRtrq3*d),()(),(SSStt)(|)(),(),(*trtrq式中式中 是场点，是场点，是场点的函数。是场点的函数。r2.rtrrrrrtrmqitrJ3*d),()()(),(2),(37rtrrrtrmqitrtrmqi3*d),()(),(2),(),(2利用分部积分法，有利用分部积分法，有rtrtrrrrtrrrtr3*3*d),(),()(d),()(),(),(),(*trtr),(),(),(),(2*trtrtrtrmqiJ所以所以383.现在取连续性方程

32、现在取连续性方程0)(d)(dtJttHH在任意态中的平均值在任意态中的平均值0),(),(ddtrJtrt0),(),(ddtrJtrt的含义并不完全相同，因为的含义并不完全相同，因为从从 和和 的意义可知，连续性方程只是的意义可知，连续性方程只是表示平均来说电荷在空间中守恒，与电动力学中表示平均来说电荷在空间中守恒，与电动力学中),(tr),(trJ39)30(0)()(tJttHddH在电动力学中，在时刻在电动力学中，在时刻t，每一空间点，每一空间点 上的电荷密上的电荷密度和电流密度都有确定值；度和电流密度都有确定值；r在量子力学中，每一空间点上的在量子力学中，每一空间点上的 和和 则不

33、是这样，则不是这样，它们在同一时刻，同一空间点可以按一定的概率取各它们在同一时刻，同一空间点可以按一定的概率取各种不同的值。种不同的值。J从上面的连续性方程中可以看出，从上面的连续性方程中可以看出，并非守恒量，并非守恒量，也显然不能同哈密顿对易也显然不能同哈密顿对易(因为因为与与H不对易）。不对易）。J 和和 很容易变为概率密度和概率流密度（或质量密很容易变为概率密度和概率流密度（或质量密度和质量流密度），从而全面认识粒子数守恒定律。度和质量流密度），从而全面认识粒子数守恒定律。J4011.6 相互作用绘景相互作用绘景当系统的哈密顿当系统的哈密顿HS可以分成两部分可以分成两部分SSSHHH10

34、其主要部分其主要部分 不含时间而又经过充分研究，且微扰不含时间而又经过充分研究，且微扰部分部分 只给出较小影响时只给出较小影响时,可以建立一种新的绘景，可以建立一种新的绘景，称为相互作用绘景（称为相互作用绘景（Interaction picture,IP），它是），它是Dirac提出的，因而又叫提出的，因而又叫Dirac绘景绘景.SH0SH1一、一、相互作用绘景中的运动方程相互作用绘景中的运动方程1.IP中的态矢量和算符中的态矢量和算符 IP中态矢量中态矢量 和算符和算符 是由是由SP中的中的和和 经过下列变换得到的：经过下列变换得到的：It)(|)(tAISASt)(|41 当然如果没有微扰

35、的话，算符的表示就与海森堡当然如果没有微扰的话，算符的表示就与海森堡绘景一样了。这一点很重要！绘景一样了。这一点很重要！注意与HP的区别tHiStHiIStHiISSSeAetAtet000)()(|)(|所用的算符为所用的算符为tHiSetU0)(0在指数上出现的不是系统的哈密顿在指数上出现的不是系统的哈密顿H，而是，而是H0。这。这样一来，相互作用绘景中的态矢量和算符就都是随样一来，相互作用绘景中的态矢量和算符就都是随时间演化的了。时间演化的了。422.运动方程运动方程IP中态矢量和算符的运动方程可以对以下两式中态矢量和算符的运动方程可以对以下两式tHiStHiIStHiISSSeAetA

36、tet000)()(|)(|求导给出。求导给出。因为因为StHiSStHittetHeiSS)(|)(|000StHiStHiSItteteHittSS)(|)(|)(|00043利用利用StHiSStHiIttetHeittSS)(|)(|)(|000SSSttitHtUtU)(|)(|,1)()(100以及公式以及公式tHiSetU0)(0有有)(|()(|)()(|000StHiSStHiIttietHettiSSSSSttUtUHHtU)(|)()()(100010即即IIItHtti)(|)(|144tHiStHitHiSSSStHiSSSSetAeeHAAHei0000)(00考虑

37、到考虑到AS不显含时间不显含时间t,即即0tAS)(,)(0tAHtAtiIII所以所以tHiStHitHiStHiSISSSSetAeeAeHitAt00000)(tHiSStHiSSeHiAe00)(0tHiSStHitHiSStHiSSSSeHAeieAHei000000tHiStHiSSetAe00得得而由而由tHiStHiISSeAetA00)(45以下两式以下两式与海森堡方程作比较与海森堡方程作比较)(,)(0tAHtAtiIII式中式中)()()(,0110100tUtHtUHHHSISIIIItHtti)(|)(|1)(,)(0tAHtAtiIII分别是态矢量和算符的运动方程。

38、分别是态矢量和算符的运动方程。)(,)(tAHtAtiHHH 在在IP中，不论中，不论 是否含时，系统的哈密顿是否含时，系统的哈密顿 都都是含时的，但是含时的，但 仍是不含时的，它等于仍是不含时的，它等于 ()。SH1)(1tHIIH0SH0HH046二、几点说明二、几点说明 1.在相互作用绘景中，算符随时间的变化规律与在相互作用绘景中，算符随时间的变化规律与HP绘景中运动方程相同绘景中运动方程相同,但必须将那里的但必须将那里的 换成换成 ；HHI0H而态矢量随时间的变化规律则与而态矢量随时间的变化规律则与 SP中的运动方程相中的运动方程相同同,但必须将那里的但必须将那里的 换成换成 。这也就

39、是相互作用。这也就是相互作用绘景的优越性所在。绘景的优越性所在。SHI1H 如果未加微扰的系统经过充分研究，而如果未加微扰的系统经过充分研究，而 HP 中各算中各算符之间的关系已经求得，则加上微扰后这些关系多数符之间的关系已经求得，则加上微扰后这些关系多数要发生改变。要发生改变。47 这时若采用这时若采用IP,则各算符在则各算符在IP中的关系与未加微中的关系与未加微扰系统的扰系统的 HP 中的算符关系一样，因此可将那里的中的算符关系一样，因此可将那里的公式直接移过来；公式直接移过来；而对于态矢量来说，而对于态矢量来说，IP的运动方程中只有一个小的运动方程中只有一个小的微扰算符的微扰算符 ，便于

40、近似求解。，便于近似求解。IH12.根据根据IP中态矢量随时间的变化规律，在中态矢量随时间的变化规律，在SP中已经中已经清楚的有关态矢量的关系式清楚的有关态矢量的关系式,只要把其中的只要把其中的 换成换成 就可以移过来成为就可以移过来成为IP中的公式。中的公式。IH1SH例如在例如在IP中，态矢量的演化关系为中，态矢量的演化关系为IIItUt)0(|)0,()(|48时当01IH0HH 演化算符演化算符 的公式可由级数解给出的公式可由级数解给出,而且由于而且由于 较小，收敛很快。较小，收敛很快。)(0tUI)(1tHI3.当系统未受微扰时，当系统未受微扰时，IP与与HP是等价的。此时系统是等价

41、的。此时系统的的态矢量态矢量 对于动基矢对于动基矢 所构成的框架来所构成的框架来说静止的。说静止的。St)(|iHtiSiet|)(|当系统受到微扰之后，其态矢量的运动方式将有所当系统受到微扰之后，其态矢量的运动方式将有所改变，相对于动基矢框架将呈现出较小的运动。这就改变，相对于动基矢框架将呈现出较小的运动。这就是对相互作用绘景的直观理解。是对相互作用绘景的直观理解。IIItHtti)(|)(|1)(,)(0tAHtAtiIII)(,)(tAHtAtiHHH0|Hti49这就是这就是IP表象中能量表象的运动方程。表象中能量表象的运动方程。4.4.如果将相互作用如果将相互作用 所导致的变化称为动

42、力学演化，所导致的变化称为动力学演化，将将 导致的变化称为运动学演化，则在相互作用导致的变化称为运动学演化，则在相互作用 绘景中，算符承担着运动学演化，态矢量则荷载绘景中，算符承担着运动学演化，态矢量则荷载 着动力学演化。着动力学演化。1H0H 而我们经常关心的是这种起因于相互作用的动力而我们经常关心的是这种起因于相互作用的动力 学演化。我们知道，态矢量方程比算符方程更容学演化。我们知道，态矢量方程比算符方程更容 易求解，因为毕竟态矢量中待求的未知量少得多。易求解，因为毕竟态矢量中待求的未知量少得多。5.将态矢量的运动方程取将态矢量的运动方程取H0表象，设表象，设H0的本征矢量的本征矢量 为为 ，则有，则有|ijIjjIiIitHtti)(|)(|1