1、n热传导和扩散方程热传导和扩散方程1.热传导方程热传导方程热传导热传导：当物体内各处的温度分布不均匀时，就会有热量从温度高的：当物体内各处的温度分布不均匀时，就会有热量从温度高的地方流向温度低的地方，这就是热传导。地方流向温度低的地方，这就是热传导。热量的传递又会引起温度分布的变化。解决热传导的问题，归结为求热量的传递又会引起温度分布的变化。解决热传导的问题，归结为求温度的分布与变化。温度的分布与变化。推导推导均匀且各向同性均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程满足的微分方程采用微元法，在物体中任取一个闭曲面采用微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包
2、围它所包围的区域记作的区域记作V假设在时刻假设在时刻t区域区域V内点内点 处的温度为处的温度为 ,为曲面元素为曲面元素 的法向（从的法向（从V内指向内指向V外）外）(,)M x y z(,)u x y z tnS傅里叶（傅里叶（Fourier）定律：物体在无穷小时间段）定律：物体在无穷小时间段 内，流过一个无穷小内，流过一个无穷小面积面积 的热量的热量 与时间与时间 ，曲面面积，曲面面积 ，以及物体温度沿曲面的法，以及物体温度沿曲面的法线方向的方向导数线方向的方向导数 三者成正比，三者成正比，dtdSdQdtdSun即即udQkdSdtkgradu ndSdtkgradu dsdtn 其中其中
3、k称为物体的称为物体的热传导系数热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，当物体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。为常数。负号是由于热量的流向和温度梯度的正向方向相反而产生的。负号是由于热量的流向和温度梯度的正向方向相反而产生的。从时刻从时刻 到到 ,通过曲面通过曲面S流入区域流入区域V的全部热量为的全部热量为1t2t211ttSQkgradu ds dt 流入的热量使流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔内温度发生了变化，在时间间隔 内区域内区域V内各点温内各点温度从度从 变化到变化到 ，则在，则在 内内V内温度升高所内温度升高所需要的热量为需要的热量为211ttSQkgradu
4、 ds dt 12,t t1(,)u x y z t2(,)u x y z t12,t t221(,)(,)VQcu x y z tu x y z tdV其中，其中，c为物体的比热，为物体的比热，为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都是常数。是常数。由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即2121(,)(,)ttSVkgradu ds dtcu x y z tu x y z tdV 2121(,)(,)ttSVkgradu ds dtcu x y z tu x y z
5、tdV 此式左端的曲面积分中此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即公式将它化为三重积分，即2()SVVkgradu dskdiv gradu dVkudV同时，右端的体积分可以写成同时，右端的体积分可以写成2211()()ttVttVuucdt dVcdV dttt 因此有因此有22112()()tttVtVukudV dtcdV dtt 由于时间间隔由于时间间隔 及区域及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即2211
6、2()()tttVtVukudV dtcdV dtt 12,t t222222222()uuuuauatxyz其中其中2kac三维热传导方程三维热传导方程若物体内有热源，其强度为若物体内有热源，其强度为 ,则相应的热传导方程为则相应的热传导方程为(,)F x y z t2222222()(,)uuuuaf x y z ttxyz其中其中Ffc作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中的温度只与是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或（或x，y，t）有关，则三维）有关，则三维热传导方程
7、就变成热传导方程就变成一维热传导方程一维热传导方程222uuatx和和二维热传导方程二维热传导方程22222()uuuatxyq扩散方程扩散方程扩散扩散：描写扩散现象的特征物理量应选物质的浓度描写扩散现象的特征物理量应选物质的浓度u(x,y,z,t)。浓度的不均匀可用浓度梯度浓度的不均匀可用浓度梯度 表征。表征。u扩散现象的强弱用扩散现象的强弱用扩散流强度扩散流强度q（单位时间、穿过单位截面的物质流量）（单位时间、穿过单位截面的物质流量）来描述。来描述。扩散定律扩散定律：浓度的不均匀程度和引起的扩散现象的强弱之间的关系满：浓度的不均匀程度和引起的扩散现象的强弱之间的关系满足扩散定律足扩散定律k
8、 u q1xuqkkux 2yuqkkuy 3zuqkkuz 其中，其中，k称为扩散系数。称为扩散系数。物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处的运动，称为扩散。物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处的运动，称为扩散。负号表示扩散转移的方向（浓度减少的方向）与浓度梯度（浓度增大的负号表示扩散转移的方向（浓度减少的方向）与浓度梯度（浓度增大的方向）相反。方向）相反。在空间任取一个微小六面体，如图所示。在空间任取一个微小六面体，如图所示。这个平行六面体内浓度的变化取决于穿过这个平行六面体内浓度的变化取决于穿过它的表面的流量。它的表面的流量。x方向：设方向：设 从左面流入，从左面流入，从右面流
9、出，从右面流出，因此单位时间通过左右两面流入的净流量是：因此单位时间通过左右两面流入的净流量是：1xqdydz1x dxqdydz1111()x dxxqQqqdydzdxdydzx 将将 代入，得：代入，得：1xuqkkux 1()()xxQku dxdydzku dxdydzxx 1()xQku dxdydzx如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间的变化率为：的变化率为：1()xkuQutdxdydzx如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：txxuku一维扩散方程一维扩散方程令令 ，则方程写为：，则方程写为：2ka
10、2txxua u如考虑如考虑x，y，z三个方向，则方程为：三个方向，则方程为：()()()yxzkukukuutxyz如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：2()txxyyzzua uuu类似的，若物体内存在生成该物质的源，其强度（单位时间、单位体类似的，若物体内存在生成该物质的源，其强度（单位时间、单位体积产生之质量）为积产生之质量）为f(x,y,z,t），则得），则得非齐次的扩散方程非齐次的扩散方程22(,)tuauf x y z tn泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1.静电场的电势静电场的电势静电场中，电荷分布与电场强度满足方程静电场
11、中，电荷分布与电场强度满足方程/E因为静电场是保守场，存在势函数，设电势为因为静电场是保守场，存在势函数，设电势为u，则，则u E代入方程式（代入方程式（*）中，即得静电势满足的方程）中，即得静电势满足的方程2/u 它称为它称为泊松方程泊松方程，是非齐次的。，是非齐次的。对于不存在电荷的区域，对于不存在电荷的区域，静电势满足方程，静电势满足方程020u此方程称为此方程称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。是齐次的。是齐次的。（*）uuuuxyz ijkyxzaaaxyza由由和和可得：可得：q稳定温度场稳定温度场在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随在热传导问题中，如果物体内不存
12、在热源，物体周围的环境温度不随时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而改变，趋向于稳定状态。这时，改变，趋向于稳定状态。这时，齐次的热传导方程便化为稳，齐次的热传导方程便化为稳定温度场的拉普拉斯方程。定温度场的拉普拉斯方程。0tu 222()0txxyyzztua uuuuau热传导方程：热传导方程：变为：变为：20un亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程20uu方程形式为：方程形式为：在讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方程。在讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方程。薛定谔方程：薛定谔方程
13、：22(,)(,)(,)(,)2hx y zV x y zx y zEx y zm其中，其中，是粒子势能，是粒子势能，是描述微观粒子运动状态的波是描述微观粒子运动状态的波函数。函数。(,)V x y z(,)x y z用用 来代替来代替 ，方程可化为：，方程可化为：(,)u x y z(,)x y z20uu当当 ，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。022()mEVh总结总结n波动方程波动方程n热传导方程热传导方程n拉普拉斯方程拉普拉斯方程n齐次、非齐次（右端齐次、非齐次（右端+自由项自由项f(M,t)）n一维、二维、三维一维、二维、三维22uaut2222
14、uaut22222220uuuuxyz1-2 定解条件定解条件n作为完整的定解问题，除了给出相应问题的泛作为完整的定解问题，除了给出相应问题的泛定方程外，还应给出定解条件。定方程外，还应给出定解条件。n定解条件定解条件q说明系统的初始状态说明系统的初始状态初始条件初始条件q说明边界上的物理情况说明边界上的物理情况边界条件边界条件n初始条件初始条件对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对象初始时刻的状态，对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对象初始时刻的状态，即即“初始条件初始条件”。1.热传导方程热传导方程对热传导问题，初始状态指的是物理量对热传导问题，初始状态指的是物理量u的初始分布，即初始温
15、的初始分布，即初始温度的分布。因此初始条件为：度的分布。因此初始条件为：0(,)|(,)tu x y z tx y z其中，其中，是一个已知的函数。是一个已知的函数。(,)x y z2.波动方程波动方程波动问题既要给出初始位移分布，还要给出初始时刻的速率分布。波动问题既要给出初始位移分布，还要给出初始时刻的速率分布。0(,)|(,)tu x y z tx y z0(,)|(,)ttu x y z tx y z从数学角度看，热传导方程中只出现时间从数学角度看，热传导方程中只出现时间t的一阶导数，因此只需要的一阶导数，因此只需要一个初始条件，而波动方程中出现时间一个初始条件，而波动方程中出现时间t
16、的二阶导数，因此需要两个的二阶导数，因此需要两个初始条件。初始条件。3.稳定分布问题稳定分布问题对于稳定分布的问题，例如稳定温度场，静电场等，不随时间而变对于稳定分布的问题，例如稳定温度场，静电场等，不随时间而变化，因此不需要给出初始条件。化，因此不需要给出初始条件。3/u 如静电场方程如静电场方程4.有源问题有源问题在周期性外源引起的传导和周期性外力作用下的振动问题中，经过在周期性外源引起的传导和周期性外力作用下的振动问题中，经过很多周期后，初始条件引起的自由传导或自由振动可以认为已经消很多周期后，初始条件引起的自由传导或自由振动可以认为已经消失。这时的传导或振动可以认为完全是由周期性外源或
17、外力引起的。失。这时的传导或振动可以认为完全是由周期性外源或外力引起的。处理这类问题时，完全可以忽略初始条件的影响，将其当作无初始处理这类问题时，完全可以忽略初始条件的影响，将其当作无初始条件问题。条件问题。n边界条件边界条件物理量在其所占范围（即区域）的边界上的分布总是比内部的分物理量在其所占范围（即区域）的边界上的分布总是比内部的分布直观得多，因为边界上的情况总可以通过观察、测量甚至规定布直观得多，因为边界上的情况总可以通过观察、测量甚至规定得出，通过边界上的条件来探索物理量在区域内部的分布，实际得出，通过边界上的条件来探索物理量在区域内部的分布，实际上是解决数学物理问题的重要方法，所以给
18、出边界条件非常重要。上是解决数学物理问题的重要方法，所以给出边界条件非常重要。所谓边界，即区域边界点所组成的集合，一维区域（例如弦）的边所谓边界，即区域边界点所组成的集合，一维区域（例如弦）的边界，即两个端点：界，即两个端点：x=0，x=l；二维区域的边界为曲线或折线；三维；二维区域的边界为曲线或折线；三维区域的边界为曲面。区域的边界为曲面。一维区域，一维区域，A和和B为边界点为边界点二维区域二维区域D，边，边界为曲线界为曲线 和和1C2C三维区域三维区域 ，边，边界为曲面界为曲面1.第一类边界条件第一类边界条件直接给出物理量在边界上的分布条件直接给出物理量在边界上的分布条件例如，弦的横振动问
19、题中，若其一端例如，弦的横振动问题中，若其一端x=0处被固定，任何时候也不能产处被固定，任何时候也不能产生位移，则该点的边界条件就是生位移，则该点的边界条件就是0(,)|0 xu x t对热传导问题，如果在导热过程中，物体边界对热传导问题，如果在导热过程中，物体边界 上的温度为已知，上的温度为已知，则边界条件为则边界条件为0uu也为第一类边界条件。也为第一类边界条件。第一类边界条件又称为第一类边界条件又称为Dirichlet条件条件以下我们将区域通记为以下我们将区域通记为 ，将其边界记为，将其边界记为 ，则边界条件主要有以下，则边界条件主要有以下三种类型：三种类型：1(,)(,)Mu M tf
20、 M t2.第二类边界条件第二类边界条件给出物理量的梯度在边界上的分布（即物理量在边界处的法向微商）给出物理量的梯度在边界上的分布（即物理量在边界处的法向微商）法向的正向为指向系统外法向的正向为指向系统外例如：杆的热传导问题中，若杆的一端例如：杆的热传导问题中，若杆的一端x=a处，是绝热的，没有热流通处，是绝热的，没有热流通过，那里的边界条件就是过，那里的边界条件就是又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端x=L处，是未加固定的自处，是未加固定的自由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个
21、端点上弦在位移方向的张力应该为零，即移方向的张力应该为零，即|0 xx Luux22sin|0 xx LTT tgTu所以边界条件是：所以边界条件是：2(,)ufM tn其中其中 为边界为边界 的法线方向的法线方向n0un第二类边界条件又称为第二类边界条件又称为Neuman条件。条件。(0)udQkds dtn 3.第三类边界条件第三类边界条件给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系3()(,)uuf M tn其中其中 为常数。为常数。弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。在弹性支承时，由在弹性支承时，由Ho
22、oke定律可知：定律可知：x lx luTkux 即即()0 x luux其中其中 为弹性体的弹性系数。为弹性体的弹性系数。,kkT在杆的热传导问题中，在杆的热传导问题中，x=L的一端既不固定为某一温度，又不是处于绝的一端既不固定为某一温度，又不是处于绝热状态，而是处于一种自由冷却情况下。这样的状态由牛顿冷却定律热状态，而是处于一种自由冷却情况下。这样的状态由牛顿冷却定律反映其规律：若周围媒质的温度为反映其规律：若周围媒质的温度为 ，则物体和媒质在边界上交换热，则物体和媒质在边界上交换热量，其沿外法线方向的热流强度与物体和媒质的温差成正比：量，其沿外法线方向的热流强度与物体和媒质的温差成正比：
23、|(|)xx Lx LKuH u令令 ，上式化为：，上式化为：/hK H()|xx Luhu4.齐次边界条件齐次边界条件上面三类边界条件，可用统一的线性关系式表示：上面三类边界条件，可用统一的线性关系式表示：(,)uuftn如果如果 ，则：，则：，称为，称为齐次边界条件齐次边界条件，否则称，否则称为为非齐次边界条件非齐次边界条件。(,)0ft0uun第三类边界条件（混合边界条件）又称为第三类边界条件（混合边界条件）又称为Robin条件。条件。5.自然边界条件和周期边界条件自然边界条件和周期边界条件自然边界条件：只要求边界上保持有限值自然边界条件：只要求边界上保持有限值u 有限值周期边界条件：如
24、圆柱系统。取柱坐标周期边界条件：如圆柱系统。取柱坐标(,)z 对坐标对坐标 而言，相差而言，相差 的整数倍，仍表示同一点。由的整数倍，仍表示同一点。由于要求解有唯一性，自然要满足：于要求解有唯一性，自然要满足：2(,0,)(,2,)uzuz对坐标对坐标 而言，这就是一种周期边界条件。而言，这就是一种周期边界条件。1.3 定解问题的提法定解问题的提法n推导了三种不同类型偏微分方程推导了三种不同类型偏微分方程q波动方程波动方程q热传导方程热传导方程qLaplace方程方程n定解条件：初始条件和边界条件。定解条件：初始条件和边界条件。n定解问题：偏微分方程和相应的定解条件定解问题：偏微分方程和相应的
25、定解条件q初值问题（初值问题（Cauchy(柯西柯西)问题）：只有初始条件，没有边问题）：只有初始条件，没有边界条件的定解问题界条件的定解问题q边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题q混合问题：既有初始条件也有边界条件的问题混合问题：既有初始条件也有边界条件的问题n定解条件应提得合理：从数学角度来看，可以定解条件应提得合理：从数学角度来看，可以从以下三方面加以检验，即讨论解的适定性问从以下三方面加以检验，即讨论解的适定性问题题q解的存在性，即看所归纳的问题是否有解；解的存在性，即看所归纳的问题是否有解；q解的唯一性，即看是否只有一个解；解的唯一性，即看是否只有一个解；q解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，否则所得的解就无实用否相应地只有微小的变动，否则所得的解就无实用价值价值如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题的解称为如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题的解称为适定适定的的
