1、 安徽理工大学安徽理工大学 20052005级级大学物理大学物理补充补充物理教研室物理教研室 第十八章 量子物理基础第三讲量子力学应用初步本次课内容 19-8 19-8 量子力学简介（量子力学简介（2 2）三三 薛定谔方程解一维势阱问题薛定谔方程解一维势阱问题 四四 对应原理对应原理 五五 一维方势垒一维方势垒 隧道效应隧道效应 19-9 19-9 氢原子的量子理论氢原子的量子理论19-10 19-10 多电子原子中的电子分布多电子原子中的电子分布课本课本 pp266pp266289289；练习册练习册 第二十单元第二十单元19-8 19-8 量子力学简介（量子力学简介（2 2）定态薛定谔方程
2、薛定谔方程一维定态薛定谔方程薛定谔方程)()()(2222xExxVdxdm)()()(222rErrVm 求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能量值和波函数。三三 薛定谔方程解一维势阱问题薛定谔方程解一维势阱问题 质量为质量为m m 的粒子在外场中作一维运的粒子在外场中作一维运动，动，势能函数为势能函数为 )0 x0 x()ax0(0)x(V或或88x=0 x=aV(x)定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为：)1()0(2222axEdxdm当当 x a 时，时，0)x(求解方程（求解方程（1）令令 代入上式得代入上式得：此方程的通解为：此方程的通解为：由于由于阱壁阱
3、壁无限高，所以无限高，所以)0(0)(2)(222axxmEdxxdkxBkxAxcossin)(2/2mEk)0(0)()(222axxkdxxd0)(0)0(a)2(0)cos()sin()1(0)0cos()0sin(kaBkaABA(1)(1)式可写成式可写成)1()0(2222axEdxdm由式（由式（1 1）得）得 B=0B=0，波函数为：波函数为：由此得到粒子的能量由此得到粒子的能量EnkxAxsin)(),3,2,1(,nanknka由式（由式（2 2）得）得 ，于是，于是0sinkaA即即:,/22anmEk,3,2,1,22222nnmaEnE En n 称为本问题中能量称
4、为本问题中能量E 的本征值。的本征值。势阱中的粒子势阱中的粒子,其能量其能量是是量子化的量子化的。当当 n n=1,=1,n 叫作主量子数叫作主量子数22222182mahmaE12EnEn势阱中粒子的能级图势阱中粒子的能级图o a x1n2n4n3nE1E2E3E4EE E1 1即基态能级即基态能级22222nmaEn与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：式中常数可由归一化条件求得。式中常数可由归一化条件求得。最后得到薛定谔方程的解为：最后得到薛定谔方程的解为：)0()sin()(axxanAxn12)(sin)(22022aAdxxanAdxxan得到得到aA/2)0()sin(2)(
5、axxanaxn1 1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象，能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。讨论讨论2 2 能量为能量为E En n的粒子在的粒子在 x-x+dxx-x+dx 内被发现的概率内被发现的概率:xdxanadxxdWn 22sin2)(电子电子(m=9.1(m=9.11010-31-31千克千克)：若势阱宽若势阱宽a=10a=10，则，则 E En n=0.75neV,=0.75neV
6、,量子化明显；量子化明显；若若a=1cm,a=1cm,则则E En n=0.75=0.751010-14-14eV,eV,量子化不明显。量子化不明显。x0a)x(0a2)x(几率密度分布几率密度分布波函数波函数n=3n=2n=1n=4)sin(28112221xaamahE)2sin(28222222xaamahE)3sin(28332223xaamahE)4sin(28442224xaamahE例题：在阱宽为例题：在阱宽为a a 的无限深势阱中的无限深势阱中,一个粒子的状态为一个粒子的状态为axaxxf 2sinsin)(多次测量其能量。问多次测量其能量。问每次可能测到的值和相应概率？每次可
7、能测到的值和相应概率？能量的平均值？能量的平均值？解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为 ,3,2,1,sin2)(nxanaxn ,3,2,1,22222nnmaEn 则则多次测量能量多次测量能量(可能测到的值可能测到的值)2222112maE 2222222,maE axaaxaxCfx2sin2sin221)()(能量的平均值能量的平均值222212252121maEEE 概率各占概率各占1/21/2(x x)2 21 1(x x)2 21 12 21 1aC1取19-9 19-9 氢原子的量子理论氢原子的量子理论一一 氢原子定态薛定谔方程的求解
8、氢原子定态薛定谔方程的求解 氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运动（质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足动（质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足定态薛定谔方程定态薛定谔方程：rereVS22041这里这里 ，（，（1）式可写成)2(02222reEms)1()()()(222rErrVmxzy 2222222dzddyddxd?采用球坐标：采用球坐标：xzy ,cossin rx,sinsin ry,cosrz 22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr球坐标下球坐标下
9、：（2 2）式则为）式则为：分离变量分离变量，令令),()(),(YrRr)3(0)(2sin1)(sinsin1)(1222222222reEmrrrrrrs代入方程（代入方程（3 3）可得：）可得：2222222sin1sinsin112)(1YYYreEmrdrdrdrdRS)4(02)(122222RrreEmdrdRrdrdrS分离变量得分离变量得和和)5(sin1sinsin1222YYY令 ，（5）再分离变量式为：)()(),(Y22221sinsinsin1lmdddddd即即)5(0sinsinsin122amddddl)5(0222bmddl和和（5b）的解是）的解是 的单
10、值性要求的单值性要求,limAe)2()(,2,1,0lm（5a）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使0和和 时，时，为有限，必须限定为有限，必须限定lmllll,2,1,0),1(（4 4）是径向方程，可写为：）是径向方程，可写为：ERRremrlldrdrdrdmr 412)1()(22022222 径向方程用级数法求解径向方程用级数法求解。若若E0,E0,能量连续分布，自由电子情形；能量连续分布，自由电子情形；但但E0,E0,（束缚态），波函数标准条件要求（束缚态），波函数标准条件要求)1,3,2,1(6.138222204lnneVnJhn
11、meE且量子数的意义：量子数的意义：1 1 主量子数主量子数n n 主量子数决定着氢原子的能量，主量子数决定着氢原子的能量，E E 与与n n 的依赖关系与波尔理的依赖关系与波尔理论相同。论相同。2 2 角量子数角量子数l l角动量有确定值，为角动量有确定值，为)1(,2,1,0,)1(nlllL角动量是量子化的，叫角动量是量子化的，叫轨道角动量轨道角动量。习慣用小写字母表示电子。习慣用小写字母表示电子具有某一轨道角动量的量子态，具有某一轨道角动量的量子态，.,6,5,4,3,2,1,0l.,ihgfdps记号 氢原子只能处在一些分立的状态，用主量子数，氢原子只能处在一些分立的状态，用主量子数
12、，角量子数，磁量子数来描述角量子数，磁量子数来描述,取值如下取值如下)1,3,2,1(6.138222204lnneVnJhnmeE且3 3 磁量子数磁量子数m ml l 由波函数由波函数 R Rnlnl(r)Y(r)Ylmlm(,)描写的定态，不但具有描写的定态，不但具有确定的能量和角动量的大小，而且具有确定的确定的能量和角动量的大小，而且具有确定的L Lz z(角动角动量在轴方向的分量量在轴方向的分量)lmmLllz ,2,1,0,角动量的分量也只能取分立值。角动量的分量也只能取分立值。000.0Lzh=mll=0 l=1 l=2 l=32)1(llLz2zL6)1(llLz12)1(ll
13、Lz3,2,1,0lm2,1,0lm1,0 lm0lm22223二二 氢原子中电子的径向几率分布氢原子中电子的径向几率分布20|nr1s2s3s4s)(rnl 21|nr2p3p4p)(rnl 22|nr3d4d)(rnl 氢原子中电子的角向几率分布氢原子中电子的角向几率分布zy00 mlzy11 mlzy01 ml 1921年，施忒恩年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫和盖拉赫（W.Gerlach）发现一些处于发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。为两束。NS磁磁 铁铁斯特恩斯特恩-盖拉赫实验盖拉赫实验 1925年，乌仑贝克年，乌仑贝
14、克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。提出电子自旋假说。由自旋产生的角动由自旋产生的角动量量 的大小的大小是量子化的，其值为是量子化的，其值为S)1(ssSs s 是自旋量子数，是自旋量子数，只能取只能取1/21/2。还假定自旋角动量的空间取向也是量子化的，即还假定自旋角动量的空间取向也是量子化的，即 s s 在在Z Z方向的分量为：方向的分量为：21sszmmSsmslmmln,完全描述电子的运动状态，需要四个量子数：完全描述电子的运动状态，需要四个量子数：19-10 19-10 多电子原子中的电子分布多电子原子中的电子分布23
15、 S2z23)121(21)1(ssSszmS23S2121S原子的壳层结构原子的壳层结构 在多电子的原子中，电子的分布是分层次的，电子在多电子的原子中，电子的分布是分层次的，电子的分布层次叫的分布层次叫电子壳层。电子壳层。n=n=1,2,3,4,1,2,3,4,的壳层依次叫的壳层依次叫K,L,M,N,K,L,M,N,壳层。每一壳层上，对应壳层。每一壳层上，对应l=l=0 0,1,2,3,1,2,3,可分可分成成s,p,d,fs,p,d,f分壳层。电子在壳层中的分布遵从下面两条分壳层。电子在壳层中的分布遵从下面两条基本规律：基本规律：1 1 泡利泡利(W.Pauli(W.Pauli)不相容原理
16、不相容原理 原子中不可能同时有两个或两个以上的电子处于完全原子中不可能同时有两个或两个以上的电子处于完全相同的状态（原子中不可能同时有两个或两个以上的电子相同的状态（原子中不可能同时有两个或两个以上的电子具有四个相同的量子数）。具有四个相同的量子数）。例：基态氦原子核外两电子都处于例：基态氦原子核外两电子都处于1s1s态，其量子态态，其量子态(n,l,mn,l,ml,l,m,ms s)分别为分别为(1,0,0,1,0,0,1/21/2)利用泡利不相容原理可计算各壳层所可能有的最多电子数利用泡利不相容原理可计算各壳层所可能有的最多电子数:当当n n给定，给定，l l的可取值为的可取值为0,1,2
17、,0,1,2,n,n-1-1共共n n个个;当当l l给定，给定，m ml l的可取值为的可取值为0,0,1,1,2,2,l l共共2 2l l+1+1个个;当当(n,l,mn,l,ml l)给定，给定，m ml l的可取值为的可取值为1/21/2共共2 2个个.在同一主量子数为在同一主量子数为n n的壳层上，可能有的最多电子数为：的壳层上，可能有的最多电子数为：21022)12(22)12(2nnnlZnln 由此可推得多电子的原子中各壳层所可能有的最由此可推得多电子的原子中各壳层所可能有的最多电子数（见下表）。多电子数（见下表）。原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数原子壳层和分壳层中最多
18、可能容纳的电子数 l n 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g 5 h 6 iZn1K 2(1s)22L2(2s)6(2p)83M 2(3s)6(3p)10(3d)184N 2(4s)6(4p)10(4d)14(4f)325O 2(5s)6(5p)10(5d)14(5f)18(5g)506P2(6s)6(6p)10(6d)14(6f)18(6g)22(6h)727Q 2(7s)6(7p)10(7d)14(7f)18(7g)22(7h)26(7i)98 原子系统处于正常态时，各个电子趋向于占有最原子系统处于正常态时，各个电子趋向于占有最低能级。低能级。能级越低，相应壳层离核越近，首先被电子能级
19、越低，相应壳层离核越近，首先被电子填满，其余电子依次向未被占取的最低能级填充，直填满，其余电子依次向未被占取的最低能级填充，直到所有到所有 Z Z 个核外电子分别填入可能占取的最低能级个核外电子分别填入可能占取的最低能级为止。下图给出了一些多电子原子结够的示意图。为止。下图给出了一些多电子原子结够的示意图。KKKKKKLLLLLMM2 He3 Li10 Ne11 Na17 Cl8 O2 2 能量最小原理能量最小原理原子的最外层电子叫原子的最外层电子叫价电子价电子。原子能级除由主量子数原子能级除由主量子数n n决定外，还与其他量决定外，还与其他量子数有关，所以按能量最小原理排列时，电子不完子数有关，所以按能量最小原理排列时，电子不完全按全按K K,L L,M M主壳层来排列，而按主壳层来排列，而按spdspspss543433221.67654654dspdfspd在各个分壳层上排列。在各个分壳层上排列。（本次课完）（本次课完）
