1、第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 2 2 态叠加原理态叠加原理 3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程 4 4 几率流密度和几率守恒几率流密度和几率守恒 5 5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 6 6 一维无限深势阱一维无限深势阱7 7 线性谐振子线性谐振子 8 8 势垒贯穿势垒贯穿1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释u（一）波函数（一）波函数 u（二）波函数的统计解释（二）波函数的统计解释 u（三）波函数的性质（三）波函数的性质)(expEtrpiAu 3个问题？个问题？描写
2、自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波描写粒子状态的波函数，它通常是一函数，它通常是一个个复标量函数复标量函数。称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的
3、状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数两种错误的看法两种错误的看法1.1.波由粒子组成波由粒子组成,是大量粒子运动的表现是大量粒子运动的表现如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不
4、是许多电子在空间聚集在现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。的波动性的一面，具有片面性。QQ电子源电子源感感光光屏屏PPOO事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。（二）波函数的
5、统计解释（二）波函数的统计解释2.2.粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包（wave packet）。把电子波看成是电子的某。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是平面波描写自由粒子，其特点是充满整
6、个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事与实验事实相矛盾。实相矛盾。l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。l电子究竟电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也，既不是经典的粒子也不是经典的波，不是经典的波，但是我们也
7、可以说，但是我们也可以说，“电子既是粒子也电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1 1、有一定质量、电荷等、有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;粒子意味着粒子意味着 2 2、有确定的运动轨道，每一时刻有一定、有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1 1、实在的物理量的空间分布作周期性的变化、实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着波意味着 2 2、干涉、衍
8、射现象，即相干叠加性。、干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样微粒性，长时间亦显示衍射图样;我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射入射电子流强度大，很快显示衍射图样图样.OQQPP电子源电子源感感光光屏屏玻恩的解释玻恩的解释波动观点波动观点粒子观点粒子观点明纹处：电子波强明纹处：电子波强|(x,y,z,t)|2大大电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处：电子波强暗纹处：电子波强|(x,y,z,t)|2小小电子出现的概率小电子出现的概率小 可见，波函数模
9、的平方可见，波函数模的平方|(x,y,z,t)|(x,y,z,t)|2 2与粒子与粒子t t时刻在时刻在(x,y,z)(x,y,z)处出现的概率成正比。处出现的概率成正比。r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率。点附近的几率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 1926年年,玻恩玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释首先提出了波函数的统计解释 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方
10、）波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。与粒子在该点出现的概率成比例。则微观粒子在则微观粒子在t t 时刻出现在时刻出现在 处体积元处体积元d d内的内的几率几率 r 按按BornBorn提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释,粒子在空间中粒子在空间中某一点某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例。平方成比例。r设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是),(tr),(),(),(2trtrtr 这表明描写粒子的波是几率波这表明描写粒子的波是几率波(概率波概率波),反映微反映
11、微观客体运动的一种统计规律性，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数 有时有时也称为几率幅。也称为几率幅。),(trdtrCtrdW22),(),(（三）波函数的性质（三）波函数的性质根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：在在 t 时刻时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：在体积在体积 V 内，内，t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为：在在 t 时刻，时刻，r 点，点，d=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)描描写的粒子的几率是：写的粒子的几率是：其中其中C是比例系数。是
12、比例系数。dtzyxCtzyxdW22),(),(22),(),(),(tzyxCdtzyxdWtzyx几率密度几率密度probability densityVVVdtzyxCdtzyxdWtW22),(),()(（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度（2 2）平方可积）平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若|2 d
13、,则则 C 0，这是没有意义的。，这是没有意义的。1),(22dtzyxCdWdC21从而得常数从而得常数 C 之值为：之值为：（3 3）归一化波函数）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），倍），则相应的波动能量将为原来的则相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。动状态。经典波无归一化问题。两者所描写状态的相对几率是相同的，这里的两者所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。是常数。因为在因为在 t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r1
14、 和和 r2 处找到粒子的相对几率处找到粒子的相对几率之比是：之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即所描写的粒子状态不变，即 (r,t)和和 C(r,t)描述同一状态描述同一状态221221221),(),(),(),(),(),(trtrtrCtrCtrtr 可见，可见，(r,t)和和C
15、(r,t)描述的是描述的是同一几率波同一几率波，所以波，所以波函数有一函数有一常数因子不定性常数因子不定性。),(),(trCtr令令 归一化常数归一化常数 若若 (r,t)没有归一化，没有归一化，|(r,t)|2 d=A（A 是是大于零的常数），则有大于零的常数），则有|(A)-1/2(r,t)|2 d=1 也就是说，也就是说，(A)-1/2(r，t)是归一化的波函数，与是归一化的波函数，与(r,t)描写同一几率波，描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因子称为归一化因子。注意注意：对归一化波函数仍有一个：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。若若(r,t)是归一化
16、波函数，那么，是归一化波函数，那么，expi(r,t)也是归一化也是归一化波函数（其中波函数（其中是实数，叫相角），与前者描述同一几率波，是实数，叫相角），与前者描述同一几率波，这种不确定性叫这种不确定性叫相角不定性相角不定性。（4 4）微观体系力学量的描述）微观体系力学量的描述 对于任意的一个力学量对于任意的一个力学量A A，如果它作用与波函数上的线性，如果它作用与波函数上的线性厄米算符厄米算符A A来表示，则它的平均值为：来表示，则它的平均值为：如微观粒子的归一化波函数为如微观粒子的归一化波函数为 ，粒子在空间各点，粒子在空间各点的位置几率密度为：的位置几率密度为：)(r2)()(rr则坐
17、标则坐标 和坐标函数和坐标函数 的平均值为：的平均值为：r)(rfdrrrdrrr)()()(drrfrdrrfrf)()()()()()(drArA)()(（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态给
18、出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）（简称状态或态）（2）波函数一般用）波函数一般用复函数复函数表示。表示。（3）波函数满足连续性、有限性、单值性波函数满足连续性、有限性、单值性必须注意必须注意称为波函数的称为波函数的标准化条件标准化条件例：例：设一粒子作一维运动，波函数为：设一粒子作一维运动，波函数为：)(xxaAsin0axx,0ax 0 xA为任意常数，求：为任意常数，求：（1）归一化波函数；）归一化波函数；（2）几率密度）几率密度w(x)和和w(x)最大的位置；最大的位置；（3）在）在0，a/2内发现粒子的几率；内发现粒子的几率；（4）和和2x（5）应用）应
19、用解：解：（1）由归一化条件）由归一化条件 1)(2dxx有有dxxaAdxxaAaa02220sinsinadxxaA02)2cos1(21122aA所以，归一化常数所以，归一化常数 ，而归一化波函数为，而归一化波函数为aA2)(xxaasin20axx,0ax 0（2）几率密度等于归一化波函数模的平方）几率密度等于归一化波函数模的平方 则则,2,0aax2)()(xxwxaa2sin20axx,0ax 0令令 ，有，有0)(dxxdw02sin2cossin22)sin2(222xaaxaxaaxaadxd在区域在区域0,a内，只有内，只有x=0,a/2,a。再将。再将w(x)对对x求二阶
20、导数，可得求二阶导数，可得xaadxxwd2cos4)(32220)(,0)(2/22,022axaxdxxwddxxwd所以只有所以只有x=a/2处为几率密度最大值的位置。处为几率密度最大值的位置。（3）在）在0,a/2内发现粒子的几率内发现粒子的几率 （4）dxxaadxxwWaa2/022/0sin2)(2121)2cos1(2122/0aadxxaaa2220220222020223sin2)(2sin2)(aaxdxaxadxxxxaxdxaxadxxxxaaaa已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分
21、布，粒子在何处出现的几率最大。出现的几率最大。例：例：)221exp(),(22tixaAtr2 211/222(,)/ia xtr tae2/1/aA归一化常数归一化常数(1).求归一化的波函数求归一化的波函数解：解：1),(222222aAdxeAdxtrxa归一化的波函数归一化的波函数（2 2）几率分布）几率分布：222),(),(xaeatxtx（3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 2 22(,)20a xdx taa xedx 由于由于 220(,)0 xdx tdx0 x 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。0 x例例 平面波的归一化问题平面波的归一化
22、问题已知已知平面波平面波 ,求归一化常数求归一化常数A A xxipx etpAe 1/2A归一化常数归一化常数归一化的平面波归一化的平面波：)EtxP(i/Pxxe/2121解：解：)()(2),(),(),(2)(22xxxxxppipppppppAdxeAdxtxtxdxtxxxxxx利用利用dxeppxxppixx)(21)(量子力学的基本假设之一量子力学的基本假设之一 体系的状态用坐标和时间函数体系的状态用坐标和时间函数 描述，描述，叫体系的状态波函数。一般要求叫体系的状态波函数。一般要求 是单值、连续是单值、连续和平方可积的，体系在空间和平方可积的，体系在空间 内出现的几率正比内出
23、现的几率正比于于 。),(trdd22 2 态叠加态叠加原理u（一）态叠加原理（一）态叠加原理 u（二）动量空间（表象）的波函数（二）动量空间（表象）的波函数（一）态叠加原理（一）态叠加原理 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的
24、状态，称波函数为状态波函数，所以量波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为子力学的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动等），并在合成波中出现不同频率的波长的实际物体的运动等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加性其实质是什么呢？子波成分。微观粒子的波动性的迭加性其实质是什么呢？考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l=C=C1 11 1+C+C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。l空间找到电子的几率则是：空间找
25、到电子的几率则是：|2 2=|C=|C1 11 1+C+C2 22 2|2 2 =(C =(C1 1*1 1*+C+C2 2*2 2*)(C)(C1 11 1+C+C2 22 2)=|C =|C1 1 1 1|2 2+|C+|C2 22 2|2 2+C+C1 1*C C2 21 1*2 2+C+C1 1C C2 2*1 12 2*电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的出现，正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。才产生了衍射花纹。2 2P1 1S1S2电子源电子源感感光光屏屏一个电子
26、有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态，是这两种是这两种状态的叠加。状态的叠加。v其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数是复常数v态的叠加原理是态的叠加原理是“态的叠加性态的叠加性”和和“波函数完全描述一波函数完全描述一个微观体系的状态个微观体系的状态”两个概念的概括，其新的含义体现两个概念的概括，其新的含义体现在以下几个方面在以下几个方面：一般情况下，如果一般情况下，如果1 1和和2 2 是体系的可能状态，那么是体系的可能状态，那么它们的线性叠加它们的线性叠加=C=C1 11 1+C+C2 22 2,也是该体系的一个可能也是该体系的一个可能状态状态.态
27、叠加原理表述态叠加原理表述（1 1）体系处在线性叠加态）体系处在线性叠加态 时，应理解为，体系既可能处时，应理解为，体系既可能处于于 态，也可能处于态，也可能处于 态，且分别处于态，且分别处于 和和 态的几率是态的几率是确定。确定。),(tr1212（2）对于体系的力学量，如力学量）对于体系的力学量，如力学量 ，如果在，如果在 下的值是下的值是a1,在在2 下的值是下的值是a2，则在，则在=c11+c22的态，的态，它的值可能是它的值可能是a1,也可能是也可能是a2，而测得，而测得 a1，a2的相对几率的相对几率是完全确定的是完全确定的。A 量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观量子力学
28、的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二象性所决定的。测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二象性所决定的。（3）态函数态函数 应随时间演化，它所描述的是体系的运应随时间演化，它所描述的是体系的运动状态，应满足波体系运动方程。在这种情况下，态叠加动状态，应满足波体系运动方程。在这种情况下，态叠加原理中原理中 都应满足体系的运动方程，这都应满足体系的运动方程，这必然给该运动方程加上必然给该运动方程加上线性方程线性方程的要求。的要求。),(tr),(),(),(21trtrtr 若若1 1 ，2 2,.,.,n n,.,.是体系的一系列可能的状态是体系的一系列可能的状态
29、，则这些态的线性叠加，则这些态的线性叠加 =C=C1 11 1+C+C2 22 2+.+C+.+Cn nn n+.(其中其中 C C1 1,C,C2 2,.,C,.,Cn n,.,.为复常数为复常数)也是体系的一个也是体系的一个可能状态。可能状态。粒子处于粒子处于态的体系中，即粒子部分的处于态的体系中，即粒子部分的处于 1 1态，部态，部分的处于分的处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.态叠加原理一般表述方式态叠加原理一般表述方式例：例：)(expEtrpiAp电子在晶体表面反射后，电子可电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具有确
30、定动量的运动状态用有确定动量的运动状态用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示成可表示成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dp p了求和。了求和。所以后式应用积分代替所以后式应用积分代替是连续变化的，是连续变化的，由于由于其中其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(（二）动量空间（表象）的波函数（二）动量
31、空间（表象）的波函数波函数波函数(r,t)(r,t)可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示，证明：证明：exp21)(2/3rpirp ）（令令则则 可按可按p p 展开展开展开展开系数系数rdtrrtpcp),()(),(dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（pdrtpctrp)(),(),(zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3其中其中 是是 中所含平面波中所含平面波 的波幅，显然，的波幅，显然，表示在表示在 中所含平面波中所含平面波 的比例成份的比例成份.),(tpC)(rp),(tr2),(tpC),(tr)(rp 两式在数学上完全相互
32、决定，而在物理上他们是完全等两式在数学上完全相互决定，而在物理上他们是完全等价的，他们是对体系同一状态的两种不同描述方式价的，他们是对体系同一状态的两种不同描述方式 。二式互为二式互为Fourier变换式，故总是成立，且两者一变换式，故总是成立，且两者一一对应。一对应。l(r,t)(r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，坐标空间波函为自变量的波函数，坐标空间波函数，数，坐标表象波函数坐标表象波函数；lC(p,t)C(p,t)是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，动量空间波函为自变量的波函数，动量空间波函数，数，动量表象波函数动量表象波函数；l二者描写二者描写同一量子状态同一
33、量子状态。l 或或 能够完全的描述一个微观体系的状态。能够完全的描述一个微观体系的状态。因为：一个波函数因为：一个波函数 给定后，不仅粒子的位置几率分给定后，不仅粒子的位置几率分布确定了，而且它的动量几率分布布确定了，而且它的动量几率分布 ，以及其他所，以及其他所有力学量的几率分布都确定了。有力学量的几率分布都确定了。),(tr),(tpC),(tr),(tpC若若(r,t)(r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p,t)C(p,t)也是归一化的也是归一化的pdtpctpcpdtpc),(),(|),(|2 证证明明：pdrdrtrrdrtrpp)(),()(),(pdrrrdrdtrtrpp
34、)()(),(),()(),(),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 )()()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),(体积元内的几率；点附近时刻粒子出现在rdrtrdtrtrdW2|),(|),(具有类似的物理含义与),(),(trtpc体积元内的几率。点附近时刻粒子出现在动量pdptpdtpctpdW2|),(|),(表示在该状态中粒子位置取值几率表示在该状态中粒子位置取值几率2),(tr表示在同一状态中体系的动量取值几率表示在同一状态中体系
35、的动量取值几率 2),(tpC3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程u（一）（一）引引 u（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 u（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 u（四）（四）势场势场 V(r)V(r)中运动的粒子中运动的粒子 u（五）（五）多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程这些问题在这些问题在19261926年年SchrodingerSchrodinger提出了波动方程之后得提出了波动方程之后得到了圆满解决。到了圆满解决。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定微观粒子量子状态用波函数完全描
36、述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题最核心的问题就是要就是要解决以下两个问题：解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。（一）引（一）引（二）引进方程的基本考虑（二）引进方程的基本考虑v从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛
37、顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的粒子的状态状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿（2 2）量子情况）量子情况 3 3、方程方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，
38、如 p p,E E等，等，否则方程只能被粒子特否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1 1、t=tt=t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知道这样一个且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含只能含对时对时间的一阶导数间的一阶导数。2 2、要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即若即若1 1(r,t)(r,t)和和2 2(r,t)(r,t)是方程的是方程的解，那末解，那末(r,t)=C(r,t)=C1 11 1(r,
39、t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的线性的，也就是说方程中只能，也就是说方程中只能包含包含 对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次项对坐标各阶导数的一次项，不能不能含它们的平方或开方项。含它们的平方或开方项。4 4、满足、满足对应原理对应原理，在经典极限下可以回到牛顿方程或经典波动方程。，在经典极限下可以回到牛顿方程或经典波动方程。（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E。将。将对坐标二次微
40、商，得：对坐标二次微商，得：）（1EtiEit )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：，2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式量关系式 E=pE=p2 2
41、/2/2 写成如下方程形式：写成如下方程形式：22224ppipptiE）（做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由粒子满足的方程（粒子满足的方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti 22pE 对对自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(1)(2)(2)式式（四）势场（四）势场 V(r)中运动的粒子中运动的粒子该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子处于势
42、场若粒子处于势场 V(r)V(r)中运动中运动(即非自由粒子即非自由粒子)，则能动量关系变为：，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得：讨论讨论1 1、Schrodinger Schrodinger 方程是量子力学的一条基本假设。方程是量子力学的一条基本假设。体系状态随时间的演化由薛定谔方程描述，即体系状态随时间的演化由薛定谔方程描述，即)(222rVH),(),(trHtrti其中其中2 2、它是线性微分方程，其解有叠加性，且不含状态参量。它是线性微分方程，其解有叠加性，且不含状态参量
43、。3 3、满足对应原理。满足对应原理。4 4、薛定谔方程给出了态函数随时间变化的规律。薛定谔方程给出了态函数随时间变化的规律。5 5、它是波动方程。它是波动方程。（五）多粒子体系的（五）多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成，l质量分别为质量分别为 i i(i=1,2,.,N)(i=1,2,.,N)l体系波函数记为体系波函数记为 (r(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N;t);t)l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i)l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r
44、1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N)l则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)(对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为
45、：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：4 4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律u（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 u（二）几点讨论（二）几点讨论（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即2|),
46、(|),(),(),(trtrtrtr 0),(dtrdtd 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在时间变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：现的几率即几率密度是：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)(2)(222iitw证：tttwUti222Uiit122Uiit122矢量矢量在空间闭区域在空间闭区域中将上式
47、积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流是几率流密度，是一密度，是一矢量矢量所以所以(1)(1)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式式是几率（粒子数）守恒的积分表示式令令 Eq.Eq.（1 1）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（1 1）变）变为：为：0),(dtrdtd0 Jt 其微分形式与其微分形
48、式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 dJdtrdtd ),(的表面。是体积）（StrSdJdtrdtdS),(1),(单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内的几率内的几率SdS 2 iJ令令使用使用高高斯斯定理定理 0),(dtrdtd波函数归一化不随时间改变，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生其物理意义是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。（1 1）几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必）几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并
49、伴随着某种然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化流来实现这种变化。（二）几点讨论（二）几点讨论（2 2）几率守恒定律是波函数的统计解释和薛定谔方程的推）几率守恒定律是波函数的统计解释和薛定谔方程的推论，并不是量子力学中的一条独立假设。论，并不是量子力学中的一条独立假设。（3 3）由）由几率密度几率密度和和几率流密度几率流密度的表达式中可知，波函数在的表达式中可知，波函数在空间坐标的变化全部区域内应是连续的，且有连续的微商。空间坐标的变化全部区域内应是连续的，且有连续的微商。2 iJ（4 4）如体系由大量的、完全相同的、且无相互作用的粒子构成，）如体系由大量的、完全相
50、同的、且无相互作用的粒子构成，而且它们都处于相同的状态，有而且它们都处于相同的状态，有（5 5）以以乘连续性方乘连续性方程等号两边，得到：程等号两边，得到：0 Jt量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0 eeJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(2|),(|2iJJtr 质量密度质量密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量 )(2|),(|2 ieJeJtreeee电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量0)()(JNtN粒子数密度粒子数密度粒子流密度矢量粒子流密度矢量回顾回顾v1.1.由由
