1、6.1数列的概念第第6章章数列数列6.1 数列的概念创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，(1)将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 23452,2,2,2,2,(2)-1，1，-1，1，(3)排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，(4)当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为cos n取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，动脑思考动脑思考 探索新知探索新知6.1 数列的概念 按照一定的次序排成的一列数叫做数列数列数列中的每一个数叫做数列的项项从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首
2、首项项），第2项，第3项，第n项，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，n，分别叫做对应的项的项数项数 只有有限项的数列叫做有穷数列有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列无穷数列 6.1 数列的概念创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，(1)将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 23452,2,2,2,2,(2)-1，1，-1，1，(3)排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，3.1416，(4)当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为cos n取无理数 的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，【小提示】数列的“项”与这一项的“
3、项数”是两个不同的概念如数列（2）中，第3项为 ，这一项的项数为3.32上面的上面的4个数列中，哪些是有穷数列个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列哪些是无穷数列?6.1 数列的概念123,na a aa，*()nN由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整其中，下角码中的数为项数，na简记作1a表示第1项，na2a表示第2项，当n由小至大依次取正整数值时，na依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项 的通项通项或一般项一般项 na叫做数列动脑思考动脑思考 探索新知探索新知数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作6.1 数列的概念运用知识运用知识 强化练习强化练习1.说出生活中的一个数
4、列实例为“-5,-3,-1,1,3,5，”，指出其中na3.设数列、3a6a各是什么数？2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5，4，3，2，1”是否为同一个数列？6.1 数列的概念创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，(1)将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为 23452,2,2,2,2,(2)1a2a3a4a5a*()nan nN*2()nnanN na一个数列的第n项如果能够用关于项数n的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式通项公式.巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例1 根据下列各无穷数列的前4项,写出
5、数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，；解解（1）观察发现，每一项都恰好是其项数的5倍，故数列的一个通项公式为 5nan巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例1 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，；1 1 1 12 4 6 8，；(2)解解：观察发现，各项都是分数，分子都是1，分母恰好是其项数的2倍，故数列的一个通项公式为 12nan巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例1 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.(1)5,10,15,20，；1 1 1 12 4 6 8，；(2)(3)1，
6、1，1，1，解解：观察发现，各项的绝对值都是1，符号为负、正相间，故数列的一个通项公式为(1)nna 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的 各项恰好为底为1指数为其项项数的幂，巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念的通项公式为12nna na例例2 2 设数列,写出数列的前5项111122a；221142a；331182a；4411162a；5511322a解解 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.1 数列的概念例例3 判断16和45是否为数列3n+1中的项,如果是,请指出是第几项.1631n4531n将16代入数列的通项公式有31nan，解解 数列的通项公式为*5
7、n N 解得31n 所以，45不是数列中的项 31n 所以，16是数列中的第5项将45代入数列的通项公式有*443n N解得6.1 数列的概念运用知识运用知识 强化练习强化练习1.根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：2.根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式：32nna（1)；2(1)nnan（）(1)1，1，3，5，；13，16，19，112，；(2)12，34，56，78，(3)2nn中的项，如果是，请指出是第几项 3.判断12和56是否为数列 按照一定的次序排成的一列数叫做数列数按照一定的次序排成的一列数叫做数列数列中的每一个数叫做数列的项从开始的项起，列中的每一个数
8、叫做数列的项从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第个数列的第1项（或首项），第项（或首项），第2项，第项，第3项，项，第第n项，项，其中反映各项在数列中位置的数字，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，n，分别叫做各项的项数，分别叫做各项的项数 6.1 数列的概念理论升华理论升华 整体建构整体建构.数列、项、项数分别是如何定义的？数列、项、项数分别是如何定义的？6.1 数列的概念自我反思自我反思 目标检测目标检测判断22是否为数列220nn中的项，如果是,请指出是第几项 7是，是第 项6.1 数列的概念自我反思自我反思
9、目标检测目标检测 学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 6.1 数列的概念继续探索继续探索 活动探究活动探究读书部分：阅读教材相关章节读书部分：阅读教材相关章节 实践调查：寻找生活中的数列实践调查：寻找生活中的数列书面作业：教材习题书面作业：教材习题6.1A组（必做）组（必做）教材习题教材习题6.1B组（选做）组（选做）实例实例6.2等比数列第第6章章数列数列回回顾旧顾旧知知2学习学习目目标标1新授新授3小小结结4作作业业5课题学习目标学习目标1、知识目标：通过生活实例，理解等差数列的概念，理解等差数列通项公式的含义，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式2、能力目标：会用等差数
10、列的通项公式和前n项和公式解决简单的实际问题。复习回顾1.数列 数列的项 数列的一般形式2.有穷数列和无穷数列3.数列的通项公式4.能根据数列的通项公式写出它的任一项5.能观察一些简单数列写出它的通项公式及任一项6.数列的三种表示法：列表法、图像法、通项公式1+2+3+100=?高斯，高斯，(1777(177718551855）德国著德国著名数学家名数学家。得到得到数数列列 1，2，3，4，100引例一引例一 姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数：第一天：第一天：6000，第二天：第二天：6500，第三天：第三天：7000，第四天：第四天：7500，第五天：第五天：
11、8000，第六天：第六天：8500，第七天：第七天：9000.得到得到数数列：列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二引例二 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是是cm）引例三引例三 2124212321252122，23，24，25，26，得到得到数数列列2124212321252122，23，24，25，26，姚明姚明罚罚球球个数个数的的数数列：列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？发现？观察观察：以上：以上数数列有什列有什么么共同特点？共同特点？从从第第 2项项起，每一起，
12、每一项与项与前一前一项项的差都等于同一常的差都等于同一常数数。高斯高斯计计算的算的数数列：列：1，2，3，4，100观察归纳观察归纳 2124212321252122，23，24，25，26运动运动鞋尺鞋尺码码的的数数列列问题情景问题情景:等差等差数数列的定列的定义义：一般地，如果一一般地，如果一个数个数列列从从 第第2项项 起，每一起，每一项与它项与它的前一的前一项项的差等于的差等于同一同一个个常常数数，那，那么这个数么这个数列就叫做列就叫做等差数列等差数列。这个这个常常数数叫等差叫等差数数列的列的公差公差，通常用字母，通常用字母d d 表示。表示。数学语数学语言言：an-an-1=d （d
13、是常是常数数，n2，nN*）或或an+1-an=d（d是常是常数数）即即 a2-a 1=a3 a2 =a4-a3=.=anan-1=d例例1：判判断断下列下列数数列是否列是否为为等差等差数数列列.若是若是,指出首指出首项项和公差和公差(1)1,1,1,1,1.(2)4,7,10,13,16.(3)-3,-2,-1,1,2.(4)15,12,10,8,6,4,2.（1）所）所给数给数列是首列是首项为项为1，公差，公差为为0的等差的等差数数列；列；（2）所）所给数给数列是首列是首项为项为4，公差，公差为为3的等差的等差数数列；列；）（）（）（）（1-12-1-3 ；所所给给数数列列不不是是等等差差
14、数数列列412-151012（）；所所给给数数列列不不是是等等差差数数列列解：解：小小结结：判：判断断一一个数个数列是不是等差列是不是等差数数列，主列，主要是由定要是由定义进义进行判行判断断：(1)从从第二第二项开项开始始 (2)后一后一项与项与前一前一项项的差的差 (3)同一同一个个常常数数(公差公差d)即即 an+1-an是不是同一是不是同一个个常常数数？是是不是不是不是不是 练练 习习 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项如果是，写出首项a1 1和公差和公差d,如果不是，说明理由。如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7
15、，（2）9，6，3，0，-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（6）1，0，1，0，1，1111(5)1,2345是是是是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0 例例2 下列数列是否是等差数列？请说明理下列数列是否是等差数列？请说明理由由nbn1)2(23)1(nan3)23(2)1(31nnaann解：解：（1）所以所以 是等差数列是等差数列 na(2)由由题题意，意，即即数数列列为为 ，因，因为为 ，故此故此数数列列 不是等差不是等差数数列列41,31,21,14321bbbb41,31,21,12131121练习练习：P9根据等差
16、根据等差数数列的定列的定义填义填空空a2 a1d，a3 d（）d a1 d，a4 d（）d a1 d，an da2a1+d2a3a1+2 d3a1（n 1）等差等差数数列的通列的通项项公式公式 结论结论：若一个等差数列：若一个等差数列 ，它的首项为，它的首项为 ，公差，公差是是d d，那么这个数列的通项公式是：那么这个数列的通项公式是：1(1)naand na1aa a1 1、d d、n n、a an n中中知三求一知三求一例例3 已知等差已知等差数数列列 的首的首项项是是1，公差是，公差是3，求求 其第其第 11项项 na解：解：根据根据11,3,11ndadnaan)1(1313)111(
17、111a求等差求等差数数列通列通项项公式的基本量法：公式的基本量法：只要求出只要求出 a1 和和 d，就可以得出通，就可以得出通项项公式，公式，并并求出求出任一任一项项例例4 求等差求等差数数列列 8，5，2，的通的通项项公式和第公式和第 20 项项解解 因因为为 a18，d 583，所以所以这个数这个数列的通列的通项项公式是公式是 an=8(n1)(3)，即即an 3 n11 所以所以a203201149.求等差求等差数数列通列通项项公式的基本量法：公式的基本量法：只要求出只要求出 a1 和和 d，就可以得出通，就可以得出通项项公式，公式，并并求出求出任一任一项项例例5 等差等差数数列列5，
18、9，13，的第多少的第多少项项是是401？解解 因因为为 a15，d9(5)4，an401，所以所以 4015(n1)(4)解得解得 n100 即即这个数这个数列的第列的第 100 项项是是401 等差数列通项公式等差数列通项公式 中，中，共有四个量共有四个量a1、d、n、an，知三求一知三求一dnaan)1(1例例6 在等差在等差数数列列an中：中：（1）d3，a7 8，求，求 a1；（2）a316，a6 8，求，求 d 及通及通项项公式公式课堂练习：P11求等差求等差数数列的通列的通项项公式的方法：公式的方法：1、基本量法、基本量法2、列方程或方程、列方程或方程组组法法探究探究探究探究泰姬
19、陵中有一泰姬陵中有一个镶个镶嵌着大小相同嵌着大小相同宝宝石石的三角形的三角形图图案（如案（如图图），共有），共有100层层，这个图这个图案上共有多案上共有多少少颗宝颗宝石？石？1+2+3+99+100=?由由100+99+98+2+1 两两式相加，得式相加，得所以所以 )1001(1002100S2)1001(100100S等差数列的前等差数列的前n n项和公式的推项和公式的推导导,1a,2a,3a,na，nnnaaaaaS1321由等差由等差数数列列的前的前n项项和和得得)1()2()(1111dnadadaaSn)1()2()(dnadadaaSnnnnn个（nnnnnaaaaaaS)21
20、11)1naan（2)(1nnaanSdnnnaSdnaann2)1()1(112.根据下列根据下列条条件，求相件，求相应应的等差的等差数数列列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（S2)1nnaanS（dnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626 S21,55,3)3(211Saa求若609221)553(21S 3.求自然求自然数数中前中前n个数个数的
21、和的和.2)1nnaanS（.2)1(2)1(nnnnSn4.求正奇求正奇数数数数列列 1,3,5,7,前前100项项之和之和1000022)1100(1001100100SdnnnaSn2)11（一个定义：一个定义：两个公式：通项公式两个公式：通项公式 求和公式求和公式 两种思想：两种思想：基本量思想、方程思想基本量思想、方程思想12,(nnnnNadad是常数)本节课主要学习：本节课主要学习：1(1)naanddnnnaSaanSnnn2)1(2)(11五、作业：P 14 习题习题 1-56.3等比数列第第6章章数列数列456781567812334264个格子个格子12233445516
22、67788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格请在第一个格子放子放1颗麦粒颗麦粒请在第二个格请在第二个格子放子放2颗麦粒颗麦粒请在第三个格请在第三个格子放子放4颗麦粒颗麦粒请在第四个格请在第四个格子放子放8颗麦粒颗麦粒 依次类推依次类推456781456781233264个格子个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前前一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的2倍倍 且共有且共有64 格子格子1?222321202632 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项开始，每一项与它项开始，每一项与它前前
23、一项的一项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数，那么，这个数列叫做等，那么，这个数列叫做等比比数列。数列。这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比，用字母，用字母q q表示表示6.3 等比数列 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项开始，每一项与它项开始，每一项与它前前一项的一项的差差都等于都等于同一个常数同一个常数，那么，这个数列叫做等，那么，这个数列叫做等差差数列。数列。这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公差公差，用字母，用字母d d表示表示1nnaqa)均不为零、(qandaann1试一试试一试：判断下列数列是否为等比数列判断下列数列是否为等比数列（1 1）、）
24、、数列数列5,55,5,5,5,5,5,5,5,（2 2）、）、数列数列1,3,6,91,3,6,9。（3 3）、）、数列数列 ,161,81,41,21（4 4）、）、数列数列-1,1-1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,（5 5）、）、数列数列1,01,0,1,0,1,1,0,1,（6 6）、）、数列数列 ,271,91,31,16.3 等比数列2345aaaa、153aq，na例例在等比数列中，求解解 213243545 315,15 345,45 3135,135 3405.aa qaaqaaqaaq 你能很快写出这个数列的第9项吗？1nnaaq(6.5)试一试：试一试：P13练习
25、练习6.3.1第第1、2题。题。12,484896，三个数成等比数列且公比为q，若中间数为a，则其前一个数为 ，后一个数为 。如何写出等比数列的通项公式呢？na1aq知道了等比数列中的和，利用公式（6.6），可以直接动脑思考动脑思考 探索新知探索新知3431aaqaq，11aa，2321aaqaq，21aaq，的公比为q，则 na设等比数列依此类推,通过观察可以得到等比数列的通项公式等比数列的通项公式11.nnaaq(6.6)计算出数列的任意一项6.3 等比数列巩固知识巩固知识 典型例题典型例题所以通项公式为 6.2 等比数列1：根据数列前几项求数列的通项公式及数列中任意项：试一试：试一试：P
26、15练习练习6.3.2第第1题；练习册题；练习册P15页第页第1题；题；考点：求等比数列的通项公式考点：求等比数列的通项公式例例2 求等比数列 的通项公式及第10项,81,41,21,1解解 由于21,11qa512121)1(所以21111010111aqaannn思考：在等比数列思考：在等比数列 中，你能否找出中，你能否找出 的关系？的关系？namnaa 与mnmnqaa由等比数列的通项公式得11nnqaa11mmqaa上面两式两边分别相除，得mnmnqaa即：6.3 等比数列巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列31182qq，；412a4112()2nna 12124813
27、111222256aa q 58118 aa，na例例3 在等比数列中，13a 求81,185aa解解 由有（2）除以（1）得21q将代人（1），得所以，数列的通项公式为本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法 411aq，(1)7118a q，(2)2：已知数列中任意两项求数列的通项公式及其他项。巩固知识巩固知识 典型例题典型例题6.3 等比数列 例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64.并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？aaaqq，知道
28、三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为 这样可以方便地求出a,从而解决问题.,aqaqa解解设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为14,64.aaaqqaa aqq 则.21,4qa,2,4qa解得或,824,224aqqa当q=2时，此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.,2214,8214aqqa21q时,当此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼.11nnaaq理论升华理论升华 整体建构整体建构.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？6.3 等比数列等比数列任意两项关系式是什么？等比数列任意两项关系式是什么？mnmnqaa
