1、1Pz*OFdFrM=sin=MFrd :力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转，轴旋转，力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P，且，且在转动在转动平面内平面内，为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢。的径矢。FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFFMrF=2zOkrFFFzFrkMzrFMzsin 1）若力若力 不在转动平面内不在转动平面内，把力分解为，把力分解为平行平行和和垂垂直直于转轴方向的两个分量：于转轴方向的两个分量：F2）合力矩）合力矩等于各分力矩的等于各分力矩的矢量和。矢量和。321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力
2、矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩：力矩：zFF讨论：讨论：注意：注意：合力矩合力矩与与合力的矩合力的矩是不同的概念，不要混淆。是不同的概念，不要混淆。zFFF33）刚体内，刚体内，作用作用力和反作用力的力力和反作用力的力矩矩互相互相抵消。抵消。jiijMMjririjijFjiFdOijMjiMFdrFM=sin=在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。力矩的计算：力矩的计算：计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的办法，将每一小段的力视为恒力
3、，再按照恒力矩的计算方法进行计算，最后求和。的计算方法进行计算，最后求和。4mo例：例：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m，在摩擦系数为在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，水平桌面上转动，求：求：摩擦力的力矩摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：dmdxxx细杆的质量密度：细杆的质量密度：lm 质元质量：质元质量：dxdm 质元受阻力矩：质元受阻力矩：dmgxdM 阻阻细杆受的阻力矩：细杆受的阻力矩：阻阻阻阻dMM221gllm mgl 21lgxdx0杆上各质元均受摩擦力作用，但杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不各质元受的摩擦阻力矩不 同，同，靠近轴的质元受阻力矩小
4、，远离轴的质元受阻力矩大，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，5R例：例：如图一圆盘面密度为如图一圆盘面密度为，半径为半径为R，与，与桌面的桌面的摩擦系数为摩擦系数为，求：求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。O解：解：取一小环为面元，取一小环为面元，rdrdf若圆盘以若圆盘以0 的初角速度转动，的初角速度转动，圆盘转多少圈静止？圆盘转多少圈静止？drgrdM22drr2dm 则：则：gdmdfdrgr2dfrdMdrgr22RdrgrM022332gR问题：问题：6Oirim ivz刚体上任一质元在垂直
5、刚体上任一质元在垂直于于 z 轴的平面内作圆周运动。轴的平面内作圆周运动。im 2iiiiiirmrvmL刚体对固定轴的角动量为：刚体对固定轴的角动量为：2iizrmL )(2iirm 对对 z 轴的角动量沿轴的角动量沿 z 轴轴正向，大小为：正向，大小为：2iizrmJ 刚体对刚体对 z 轴的轴的（所有质元的动量矩之和）（所有质元的动量矩之和）7JLzz刚体对刚体对 z 轴的角动量为：轴的角动量为：即：刚体绕定轴转动时，即：刚体绕定轴转动时，对转轴的角动量对转轴的角动量，等于，等于刚刚体对转轴的转动惯量体对转轴的转动惯量与与角角速度速度的乘积。的乘积。对于刚体的定轴转动，我们用对于刚体的定轴
6、转动，我们用来描述，来描述，而不用而不用来描述。来描述。2iizrmJ 刚体对刚体对 z 轴的轴的Oirimivz8对确定的刚体、给定的转轴，对确定的刚体、给定的转轴，是一常数。是一常数。物理意义：物理意义：是刚体转动惯性的量度。是刚体转动惯性的量度。刚体的转动惯量的大小：刚体的转动惯量的大小：1）与刚体的与刚体的总质量、形状、大小总质量、形状、大小有关。有关。2）与与质量对轴的分布质量对轴的分布有关。有关。3）与与轴的位置轴的位置有关。有关。,2iirmJ mrJd2定义式：定义式：9 质量离散分布质量离散分布刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：2222112rmrmrmJiii 转动惯性的计算
7、方法转动惯性的计算方法 质量连续分布质量连续分布刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：mrJd2 ：质量元质量元md线分布线分布体分布体分布面分布面分布dldm :质量线密度质量线密度 dSdm :质量面密度质量面密度 dVdm :质量体密度质量体密度 10转轴转轴 若连接两小球（视为质点）的若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则：轻细硬杆的质量可以忽略，则：可视为分立质点结构的刚体可视为分立质点结构的刚体转轴转轴 2iirmJ222211rmrm 2iirmJ222211)60sin()60sin(lmlm11 通过通过 o 点且垂直于三角形平点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为面的
8、轴的转动惯量为 JO=1）正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点 m，用质量用质量不计的细杆连接，系统对通过质心不计的细杆连接，系统对通过质心 C 且垂直于三角且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为：形平面的轴的转动惯量为：)33(lr,ml2 cJ2mr3+m l 2=2ml 2=m l 2+(3m)r 2=2ml 2例：例：质量离散分布刚体质量离散分布刚体:J=mi ri2 m l 2olllcrmmm12Mo例：例：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，的质心轴转动，求：求：转动惯量转动惯量 J。解：解：dmdmRJM
9、02分割质量元分割质量元 dm，各质，各质量元到轴的距离相等，量元到轴的距离相等，MdmR022MR绕圆环质心轴的转动惯量绕圆环质心轴的转动惯量:2MRJ R相当于质量为相当于质量为 m 的质点对轴的转动的质点对轴的转动惯量。惯量。与质量在环上的分布无关。与质量在环上的分布无关。134032d2RrrJR 解：解：设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上，在盘上取半径为取半径为 ，宽为，宽为 的圆环。的圆环。rdr rrmd2d 圆环质量：圆环质量：221mRJ 所以所以:rrmrJd2dd32 圆环对轴的转动惯量：圆环对轴的转动惯量：转动惯量与质量对轴的分布有关。转动惯量与质量对轴的分布有关。
10、例：例：一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，求：求：通过盘中心通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。mR圆盘的转动惯量为：圆盘的转动惯量为：2Rm 14lO O解：解：设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处处的质量元：的质量元：r,ddrm lrrJ02d rd32/02121d2lrrJl 231mlrrrmrJddd22 例：例：一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，均匀细长棒，求：求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。mlrd2l2lO O2121m
11、l如转轴过端点垂直于棒：如转轴过端点垂直于棒：转动惯量与轴的位置有关。转动惯量与轴的位置有关。r15或或2iirmJ dmrJ2复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，再相加。再相加。2mdJJC转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状形状、大小大小、质量分布质量分布及及转轴的位置转轴的位置。注意注意162mdJJCOP 质量为质量为 的刚体，如果对的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则，则对任一与该轴平行，相距为对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：的转轴的转动惯量为：CJmddCOm2221mRmR
12、JP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：RmO2mdJJC17例：例：长为长为 l、质量为质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，利用平行轴定理，端轴转动，利用平行轴定理，求：求：转动惯量转动惯量。解：解：绕细杆质心的转动惯量为：绕细杆质心的转动惯量为：2121mlJC绕杆的一端转动惯量为：绕杆的一端转动惯量为：222121lmmlJ231mllO O 刚体绕质心轴的转动惯量最小。刚体绕质心轴的转动惯量最小。18例：例：如图所示，如图所示，求：求：刚体对经过棒端且与棒垂直的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量？轴的转动惯量？(棒长为棒长为L、圆半径为圆半径为
13、R），2131LmJLL221RmJOO22dmJJOOL222)(2131RLmRmLmJOOLLmOmO19Rddmr2mR dldm Rd cosRr 2mJr dm 22222cosRRd 3R 221mR 20yxJJ yxzJJJ xJ2 zxJJ21 221mR 2zmJR dm2mR xyR21abydyabm dsdm ady 2212bbJyady 3121ab 2121mb 2222)2(bmJJC 2241121mbmb 231mb 220bJyady 231mb abydy23牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。事实表明：事实表
14、明：要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有度，光有力的作用是不够的，必须有力矩力矩的作用。的作用。比如：比如：门绕轴的转动。门绕轴的转动。刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？力矩：力矩：反映力的反映力的大小、方向、作用点大小、方向、作用点对物体转动对物体转动 的影响。的影响。24Ozim 转动定律的推导：转动定律的推导：取刚体内任一质元取刚体内任一质元mi，它，它所受合外力为所受合外力为 ，内力为，内力为 。iFifiiiiamfF 对对mi 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：（
15、法向力作用线通过转轴，（法向力作用线通过转轴，力矩为零。）力矩为零。）两边乘以两边乘以ri：iitiiitiitramrfrF 2iiiitiitrmrfrF求和：求和：iriFif 2iirmitiititamfF 切线方向：切线方向：25 )(2iiiitiitrmrfrF用用 M 表示表示合外力矩合外力矩，有：，有：JM 转动定律转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比。成反比。说明说明:2）M、J、是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。3）具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。具有瞬时性，是力
16、矩的瞬时效应。1）是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。4）刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。合外力矩合外力矩内力矩的和（为零）内力矩的和（为零）J26 题目类型：题目类型：1）已知：已知：转动惯量和力矩，转动惯量和力矩，求：求：角加速度；角加速度；2）已知：已知：转动惯量和角加速度，转动惯量和角加速度，求：求：力矩；力矩；3）已知：已知：力矩和角加速度，力矩和角加速度，求：求：转动惯量。转动惯量。解题步骤：解题步骤：1）确定确定研究对象，采用隔离法；研究对象，采用隔离法；2）3）选取适当的选取适当的参考系与
17、坐标系参考系与坐标系，使运算简化；，使运算简化；4）列运动方程；列运动方程；5）解方程，进行必要的讨论。解方程，进行必要的讨论。JM 271）力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2）可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或 角加速度、角速度的正负；角加速度、角速度的正负；3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则：系统中既有转动物体又有平动物体时，则：对对转动转动物体按物体按转动定律转动定律列方程；列方程；对对平动平动物体按物体按牛顿定律牛顿定律列方程。列方程。JM 28滑轮半径为滑轮半径为r。（设绳与滑轮间无相对滑动）
18、（设绳与滑轮间无相对滑动）当当m2与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为时，物体的时，物体的 加速度加速度a 及张力及张力 T1 与与 T2各为多少？各为多少？若桌面光滑，再求以上各量。若桌面光滑，再求以上各量。解：解：2m2T1T1mJ1m g2m g 力和力矩分析，力和力矩分析，按隔离法，按隔离法，建坐标。建坐标。y0对质点用牛顿定律对质点用牛顿定律对刚体用转动定律对刚体用转动定律ar 222Tm gm a 12TrT rJ 111m gTm a限制性条件限制性条件2912212/mmagmmJ r 解得：解得：22211212(/)/mmJ rTm gmmJ r 21122212(/)
19、/mmJ rTm gmmJ r30例：例：一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其下端匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动。由于此竖直相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于放置的细杆处于非稳定平衡状态非稳定平衡状态，当其受到微小扰，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动。动。试计算：试计算：细杆转动到与竖直线成细杆转动到与竖直线成 角时的角时的角加角加速度速度和和角速度角速度。lm 解：解：细杆受细杆受重力重力和和铰链对细杆的铰链对细杆的约束力约束力作用，作用，由转动定律得由转动
20、定律得：NFJmglsin2131式中式中231mlJ,dddddddd tt得得lgsin23由由角加速度的定义角加速度的定义:lgdsin23d)cos1(3lgJmglsin21lg002cos232132例：例：物体物体 m1 m2，定滑轮（，定滑轮（R，m）轮轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。打滑。求：求：重物的加速度及绳中张力。重物的加速度及绳中张力。解：解：Ra=2/)(2121mmmgmma轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑aaa=21（转动）（转动）（平动）（平动）（线（线-角）角）Rm1m2mT2m1gm2
21、gT1T2T1a a 1111amTgm2222amgmTJRTRT21221=mRJ33gMmmmmmmagmT2/212)(2112111gmmmmmmmagmT2/212)(2122122gmmmmmRRa)2/(121212/)(2121mmmgmmaT2m1gm2gT1T2T1a a 34JMRTRTf212/)212(2111211MmmRMmgmmmmTf2/)212(2122212mmmRMmgmmmmTf2/)(2121mmmRMgmmaffMT2m1gm2gT1T2T1a a 352121)(mmgmmagmmmmTT2121212Rm1m2m36rmJ（2）FrJ（1）恒
22、力恒力例：例：一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施的飞轮边缘，在绳端施以以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞飞轮与转轴间的摩擦不计。轮与转轴间的摩擦不计。求：求：1)飞轮的角加速度；飞轮的角加速度；2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。绳端，试计算飞轮的角加速度。解解：1)JFr 298 0.20.539.2 rad/sFrJ 两者区别两者区别?37maTmg2）JTr ra 2mrJmgr2298 0.221.8 rad/s0.5 10 0.2 rmJ（2）FrJ（1）恒
23、力恒力例：例：一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施的飞轮边缘，在绳端施以以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞飞轮与转轴间的摩擦不计。轮与转轴间的摩擦不计。求：求：1)飞轮的角加速度；飞轮的角加速度；2)如以重量如以重量P=98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。绳端，试计算飞轮的角加速度。mgT38例：例：在半径分别为在半径分别为R1和和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯
24、量为摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求：求：滑轮的角加速度滑轮的角加速度及各绳中的张力及各绳中的张力T1、T2。2T1T1R2RO2m1m2T1T1m2mgm12m g 39例：例：在半径分别为在半径分别为R1和和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为摩擦不计，滑轮的转动惯量为J；求：求：滑轮的角加速度滑轮的角加速度及各绳中的张力及各绳中的张力T1、T2。解：解：设设m1向下运动，向下运动，111 1m g Tm a2222Tm gm a1122T RT RJ 11a
25、R 22aR 1R2RO2m1m2T1T2T1T1m2mgm12m g 40联立解得：联立解得：gRmRmJRmRm2222112211 gmRmRmJRRmRmJT12222112122221 gmRmRmJRRmRmJT22222112112112 2222112121RmRmJ41讨论：讨论：A）当当 时，时，物体运动方向与所设相同，反之则相反；物体运动方向与所设相同，反之则相反；2211RmRm B）当当 时，时，即滑轮静止或匀速转动；即滑轮静止或匀速转动；2211RmRm 0 C）当当 时，时，则为定滑轮的情况。则为定滑轮的情况。21RR 1R2RO2m1m42例：例：圆盘以圆盘以
26、0 在桌面上转动，受摩擦力矩作用而在桌面上转动，受摩擦力矩作用而静止，静止，求：求：初始时刻到圆盘静止所需时间。初始时刻到圆盘静止所需时间。解：解：rrsmd2dddddMr frg m 02d3RMMmgR ddMJt 221d32dm gRm Rt gRttd43d000gRt430取一质元取一质元由转动定律：由转动定律：摩擦力矩：摩擦力矩：43例：例：一个质量为一个质量为M、半径为半径为 R 的定滑轮上面绕有细的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求：求：物体
27、物体 m由静由静止下落高度止下落高度 h 时的时的速度速度和此时滑轮的和此时滑轮的角速度角速度。TGRNmgTa定轴定轴ORthmv0=0绳绳44解：解：:,mmgTmaaR 21,2MMTRJJMR：MmmghRRv 241 Mmmghahv2422magMm解解方方程程得得：TGRNmgTa定轴定轴ORthmv0=0绳绳45 从等倾角从等倾角 处静止释放处静止释放两匀两匀直细杆直细杆地面地面两者瞬两者瞬时时角加速度之比角加速度之比2 21 13 3 1 1 1 13 32 21 1根据根据短杆的短杆的角加速度大角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关46竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？47
