1、3 当向量当向量a垂直于向量垂直于向量b时，这种分解时，这种分解叫做叫做平面向量的正交分解平面向量的正交分解.平面上向量的这些性质能推广平面上向量的这些性质能推广到空间吗？到空间吗？类比平面向量的正交分解，类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解你能得出空间向量的正交分解吗？吗？探究探究 设设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点公共起点O.对于空间任意一个向量对于空间任意一个向量p=OP，设，设Q为点为点P在在i，j所确定的平面上的正投影所确定的平面上的正投影.xzQPijkOyxzQPyijkO 由平面向量基本定理可知，在由平面向量基本定理
2、可知，在OQ,k所确定所确定的平面上，存在实数的平面上，存在实数z，使得，使得OP=OQ+zk.xzQyijkO 在在i，j所确定的平面上，由平面向量基本所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（定理可知，存在有序实数对（x，y），使得），使得OQ=xi+yj.xzQPyijkOOP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而，从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk 空间向量的正交分解与平面向量的正空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项一项”.注意注意 由上述证明可知，如果由上述证明可知，如果i i，j j，k k是
3、空间三是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p p，存在一个有序实数组存在一个有序实数组xx，y y，zz，使得，使得p=xi+yj+zk.p=xi+yj+zk.称称xi,yj,zkxi,yj,zk为向量为向量p p在在i,j,ki,j,k上的上的分向量分向量.类比平面向量基本定类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本理，你能得出空间向量基本定理吗？定理吗？探究探究OABCABPP 设设a,b,c不共面，过点不共面，过点O作作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；过；过P作直线作直线PP平行于平行于OC，交，交平面平面OAB与点与点P；在平面；
4、在平面OAB中，过点中，过点P作作直线直线PA/OB，PB/OA.OABCABPP于是存在三个实数于是存在三个实数x,y,z，使，使OA=xOA=ya,OB=yOB=yb,PP=zOC=zc,OP=OA+OB+PP=xOA+yOB+zOC.所以，所以，p=xa+yb+zc.定理定理 如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面，那么对不共面，那么对空间任一向量空间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p=xa+yb+zc.注意注意 空间向量基本定理说明，用空间三个不共面空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组已知向量组a,b,c可以线性表示出空间任意一个可以线性表
5、示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的向量，并且表达的结果是唯一的.由空间向量基本定理，如果三个向量由空间向量基本定理，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有不共面，那么所有空间向量组成的集合空间向量组成的集合就是就是p|p=xa+yb+zc,x,y,zR.cba基向量基向量cba 集合集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR可以看做是由可以看做是由向量向量a,b,c生成的生成的.a,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底（基底（base），a,b,c都叫做都叫做基向量（基向量（base vector）.注意注意对于基底对于基底a,b,c需要明确以下几点：需要明确以下几点：1.向量向量
6、a,b,c不共面；不共面；2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；一个基底；3.由于由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是含着它们都不是0.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量中的某一个向量.设设e1,e2,e3为有公共点为有公共点O的三个两两垂直的的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以单位向量（称它们为单位正交基底），以O为为原
7、点，分别以原点，分别以e1,e2,e3的方向为的方向为x轴，轴，y轴，轴，z轴轴的正方向建立空间直角坐标系的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.e1e2e3xyzOe1e2e3xyzOp 对于空间任意一个向量对于空间任意一个向量p，一定可以把它，一定可以把它平移，使它的起点与原点平移，使它的起点与原点O重合，得到向量重合，得到向量OP=p.P 这样，我们就有了从正交基这样，我们就有了从正交基底到空间直角坐标系的转换底到空间直角坐标系的转换.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x,y,z，使得，使得p=xe1+ye2+ze3.把把x,y,z称作向量称作向量p
8、在单位正交基底在单位正交基底e1,e2,e3下下的坐标，记做的坐标，记做p=(x,y,z).此时，向量此时，向量p的坐标恰是的坐标恰是点点P在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中的坐标（中的坐标（x,y,z）.计算一下计算一下 计算单位正交基之间的数量积：计算单位正交基之间的数量积：e1e2,e1e3,e2e3,e1e1,e2e2,e3e3.e1e2=e1e3=e2e3=0.e1e1=e2e2=e3e3=1.ADBCA1B1D1EFC1 如图正方体如图正方体ABCD-ABCD，点，点E,F分别是上底面分别是上底面AC和侧面和侧面CD的中的中心，若满足心，若满足AF-AD=xAB+yAA，求
9、，求x,y的值的值.例题例题11DDDC21DC21DFADAF11AAyABxAA21AB2121y,21x所以，所以，ADBCA1B1D1EFC1课堂小结课堂小结 1.空间向量基本定理空间向量基本定理.在空间，具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量如果三个向如果三个向量量a,b,c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量p，存在有，存在有序实数组序实数组x，y，z，使得，使得p=xa+yb+zc.2.基底与基向量基底与基向量.空间任意三个不共面向量都可以做空间向空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底量的一个基底.一个基底指一个向量组，一个基一个基底指一个向量组，
10、一个基向量是指基底中的某一个向量向量是指基底中的某一个向量.3.空间向量的正交分解空间向量的正交分解.能从正交基底到空间直角坐标系转换能从正交基底到空间直角坐标系转换.高考链接高考链接1.（2006年年 安徽卷）安徽卷）在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=a，AD=b，AN=3NC，M为为BC的中点，则的中点，则MN=_.（用（用a、b表示）表示）由由AN=3NC，得，得 4AN=3AC=3(a+b)，b41a41b)21(ab)(a43MNb21aAM所以所以11ab442.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AB=BC，D、E分别为分别为BB1、AC1的中
11、点，的中点，证明：证明：ED为异面直线为异面直线BB1与与AC1的公垂线的公垂线.C1ABCA1B1ED如图，建立直角坐标系如图，建立直角坐标系O-xyz其中原点其中原点O为为AC 的中点的中点.设设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c)，C1ABCA1B1EDxyz则则C(-a,0,0)，C1(-a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)，ED=(0,b,0)，BB1(0,0,2c)，EDBB1=0，EDBB B1 1，又又AC1=(-2a,0,2c)EDAC1=0，EDAC1，所以所以ED是异面直线是异面直线BB1与与AC的公的公垂线垂线.O O课堂练习课堂练习1
12、.已知空间四边形已知空间四边形ABCD，连结，连结AC,BD，设，设M,G分别是分别是BC,CD的中点，则的中点，则MG-AB+AD等于（等于（）C.3GMDB23A.D.2MGB.3MG2.设设e1,e2是平面上两个不共线向量，已知是平面上两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2，若，若A,B,D三点共线，则三点共线，则k=_.B-8ABCOMNQP3.如下图，如下图，M,N分别为四面体分别为四面体OABC的边的边OA,BC的中点，的中点，P,Q是是MN的三等分点的三等分点.用向量用向量OA,OB,OC表示表示OP和和OQ.ABCOMNQPMN32OA
13、21MPOMOPOM)-(ON32OA21OA)21-(ON32OA21OC)(OB2132OA61OC;31OB31OA61解答ABCOMNQPMN31OA21MQOMOQOM)-(ON31OA21OA)21-(ON31OA21OC)(OB2131OA31OC.61OB61OA31继续继续习题答案习题答案1.向量向量c与与a+b,a-b一定构成空间的一个基底一定构成空间的一个基底.否则否则c与与a+b,a-b共面，于是共面，于是c与与a,b共面，共面，这与已知矛盾这与已知矛盾.2.共面共面.3.(1)解：解：OB=OB+BB =OA+AB+BB =OA+OC+OO =a+b+c；BA=BA+BB =-OC+OO =c-b；CA=CA+AA =OA-OC+OO =a-b+c.(2)OG=OC+CG=OC+0.5CB=b+0.5(a+c)=0.5a+b+0.5c.
