1、二次函数的概念及解析式基础回顾基础回顾 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，这样的两个变量的关系我们就叫做函数关系，也就是y是x的函数。其中，x是自变量，y是因变量。到目前为止，我们学过哪些类型的函数了呢？什么是函数？什么是函数？2 一次函数一次函数 反比例函数反比例函数0kbkxy正比例函数正比例函数y=kx(k0)y=kx(k0)）0(kxky 3 问题一：问题一：正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设正设正方形的棱长为方形的棱长为x x,表面积为表面积为y y,显然对于显然对于x x的每一个值的每一个值
2、,y y都有一个对应值都有一个对应值,即即y y是是x x的函数的函数,它们的具体关系可它们的具体关系可以表示为以表示为问题引入y=6xy=6x2 24 问题二：问题二：现有一条长绳，长现有一条长绳，长50cm50cm。现在用这条。现在用这条长绳围一个长方形，请问：应该如何取它的长和长绳围一个长方形，请问：应该如何取它的长和宽，才使得围成的长方形面积最大？宽，才使得围成的长方形面积最大？解：解：设长方形的长为设长方形的长为 cm cm，面积为，面积为 cm,cm,则它的则它的宽为（宽为（）cm,cm,即为（即为（）cm,cm,长方形的面积为：长方形的面积为：2250 xx25xyy=x(25-
3、x)=-y=x(25-x)=-x x2 2+25x+25x5 问题三：问题三：现代银行储蓄的利息计算方法有两种：现代银行储蓄的利息计算方法有两种：单利和复利，其中复利是指将上期利息并入本金单利和复利，其中复利是指将上期利息并入本金一并计算利息的一种方法，也就是一并计算利息的一种方法，也就是“息上加息息上加息”，俗称俗称“利滚利利滚利”。现在有一笔现金。现在有一笔现金60006000元要存入元要存入银行，利息率为银行，利息率为r r，按复利计算，两年后本金和利，按复利计算，两年后本金和利息的总和息的总和S S是多少？是多少？解：解：根据复利的定义，存入银行之前现金为根据复利的定义，存入银行之前现
4、金为60006000元，存入一年后利息为（元，存入一年后利息为（）元，本金和为）元，本金和为（）元；两年后的利息为（）元；两年后的利息为（）元，则本息和为：元，则本息和为：r6000r16000rr16000S=6000S=6000（1+r1+r）2 2 6y=x(25-x)=-xy=x(25-x)=-x2 2+25x +25x y=6xy=6x2 2 S=6000(1+r)S=6000(1+r)2 2=6000r=6000r2 2+12000r+6000 +12000r+6000 三个函数的共同点是三个函数的共同点是这些函数的自变量的最高次数都是这些函数的自变量的最高次数都是2 27概念：概
5、念：一般的，我们把形如一般的，我们把形如y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c是常数，是常数，a0)a0)的函数叫做二次函数。其中的函数叫做二次函数。其中x x是自是自变量，变量，y y是是x x的函数；的函数；axax2 2是二次项，是二次项，a a是二次项系数；是二次项系数；bxbx是一次项，是一次项，b b是一次项系数，是一次项系数，c c是常数项。是常数项。取值范围：取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数（取值范围是全体实数（R R）注意事项：注意事项：函数的解析式是整式；函数的解析式是整式；化简后自变量的最
6、高次数是化简后自变量的最高次数是2 2；二次项系数不能为二次项系数不能为0 08 1 1、判断下列函数哪些是二次函数？如果是、判断下列函数哪些是二次函数？如果是二次函数，分别指出二次项，二次项系数，二次函数，分别指出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项。一次项，一次项系数，常数项。5)3(22xyxxy1225xxy221ts例题详解例题详解9 是二次函数 y=2(x-3)2+5=2x2-12x+23 二次项 2x2，二次项系数 2 一次项-12x，一次项系数-12 常数项 23 不是二次函数 该函数的解析式不是整式 不是二次函数 y=(x-5)2-x2=-10 x+25是一次函数
7、是二次函数 二次项-2t2,二次项系数-2 一次项 0t2，一次项系数 0 常数项 1解：解：10二次函数的几种常见形式：二次函数的几种常见形式：一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)顶点式：顶点式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(+k(点（点（h,kh,k）是函数的顶点）是函数的顶点)交点式：交点式：y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(x)(x1 1,x,x2 2是函数与是函数与x x轴的交点轴的交点)*这几种形式之间都可以相互转化这几种形式之间都可以相互转化*例如：将二次函数的一般式例如：将二次函数的一般式y=5x
8、y=5x2 2+10 x-15+10 x-15化为化为顶点式和交点式顶点式和交点式答案：顶点式：答案：顶点式：y=5(x+1)y=5(x+1)2 2-20 -20 交点式：交点式：y=5(x-1)(x+3)y=5(x-1)(x+3)11二次函数的几种特殊形式：二次函数的几种特殊形式：（1 1）当）当a0a0，b=0b=0，c=0c=0时，时，y=axy=ax2 2（2 2）当）当a0a0，b0b0，c=0c=0时，时，y=axy=ax2 2+bx+bx（3 3）当）当a0a0，b=0b=0，c0c0时，时，y=axy=ax2 2+c+c想一想：如果想一想：如果a=0a=0时，时，y=axy=a
9、x2 2+bx+c+bx+c是什么函数？是什么函数？12 2、函数函数 y=(m-n)x y=(m-n)x2 2+mx+n+mx+n 是二次函数的条是二次函数的条件是件是()()A m,nA m,n是常数是常数,且且m0 B m,nm0 B m,n是常数是常数,且且n0n0 C m,nC m,n是常数是常数,且且mn D m,nmn D m,n为任何实为任何实数数C C 3 3、某中学要举行新生篮球比赛，有、某中学要举行新生篮球比赛，有n n个队个队参加，规则是每两个队之间要进行一次比参加，规则是每两个队之间要进行一次比赛，则这赛，则这n n个队之间要进行几场比赛？个队之间要进行几场比赛？nn
10、nnm2121121213驶向胜利的彼岸 比较二次函数比较二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）和一元二次方）和一元二次方程程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）,说出他们的联系与不同点。说出他们的联系与不同点。联系：（联系：（1 1）两者都是等式，且都有相同的式子）两者都是等式，且都有相同的式子axax2 2+bx+c;+bx+c;（2 2）方程）方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0可以看做是函数可以看做是函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的y=0y=0时的特殊形式。时的特殊形式。不同点：前者是函数，有两个变量；后者是方程，不
11、同点：前者是函数，有两个变量；后者是方程，只有一个变量，且变量的值是确定的。只有一个变量，且变量的值是确定的。由上述可知，如果知道一个函数的值由上述可知，如果知道一个函数的值y=dy=d，则就可，则就可以令函数以令函数y=axy=ax2 2+bx+c=d,+bx+c=d,从而就可以求出从而就可以求出x x的值。的值。14知识应用知识应用：的值使其满足以下条件，则求出已知函数nmkxnmxymm,62242函数是二次函数；函数是一次函数；函数是反比例函数。15 当函数是二次函数时，满足 当函数是一次函数时，满足 当函数是反比例函数时，满足解：解：2240 2 mmmRnmkR,4124m2 m若
12、RkRnm,32024m0622mn若Rknm,3,2200621242knmm0,3,31knmm或16练一练如图，一张正方形纸板的边长为如图，一张正方形纸板的边长为2cm2cm，将它剪去，将它剪去4 4个个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm),AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形四边形EFGHEFGH的面积为的面积为y(cmy(cm2 2),),求：求：（1 1）y y关于关于x x 的函数解析式和自变量的函数解析式和自变量x x的取值范围。的取值范围。（2 2）当）当x x分别为分别为0.250.25，0.50.
13、5，1.51.5，1.751.75时，对应的四边时，对应的四边形形EFGHEFGH的面积，并列表表示。的面积，并列表表示。ABEFCGDH17解：解：（1 1）直接法（直接算四边形）直接法（直接算四边形EFGHEFGH的面积）：的面积）：y=x y=x2 2+(2-x)+(2-x)2 2=2x=2x2 2-4x+4-4x+4间接法（先算出四个直角三角形的面积，再间接法（先算出四个直角三角形的面积，再用四边形用四边形ABCD的面积减去四个三角形的面的面积减去四个三角形的面积）：积）：44222422142xxxxxxy（2）125.3475.1475.1275.15.245.145.125.15
14、.245.045.025.0125.3425.0425.0225.024232221yxyxyxyx时，当时，当时，当时，当18课堂小结这节课我们学习了：这节课我们学习了：1.1.二次函数的概念二次函数的概念2.2.二次函数的解析式二次函数的解析式3.3.二次函数与一次函数、反比例函数二次函数与一次函数、反比例函数4.4.二次函数的简单应用，根据实际问二次函数的简单应用，根据实际问题列出二次函数题列出二次函数19xx长：200米宽80米在某市的市中心有一个长在某市的市中心有一个长200200米，米，宽宽8080米的矩形广场。现为了更米的矩形广场。现为了更方便市民的出行，政府计划在方便市民的出行
15、，政府计划在广场中修建等宽的十字路，其广场中修建等宽的十字路，其他地方为绿地。求绿地的面积。他地方为绿地。求绿地的面积。解：解：方法一：设道路的宽为方法一：设道路的宽为x，则绿地的面积为则绿地的面积为16000280200808020022xxxxxy方法二：设道路的宽为方法二：设道路的宽为x，则绿地的面积为，则绿地的面积为16000280802002xxxxy20课后思考课后思考如图所示，在如图所示，在RtRtABCABC中，中，AC=20cmAC=20cm，BC=10cmBC=10cm，在此三角形内一个矩形，在此三角形内一个矩形CFEDCFED，D D，E E，F F分别在分别在ACAC，ABAB，CBCB上，现设上，现设BF=xBF=x，求矩形，求矩形CFEDCFED的面积的面积y y，并讨论并讨论x x取何值时矩形取何值时矩形CFEDCFED的面积最的面积最大大,求出最大值。求出最大值。2122
