1、,p,xypxayb.a ba b 如果两个向量不共线，则向量 与向量共面的充要条件是存在实数对，使共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:0/a.a b babb 对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使 1211212212e eaaee.e e 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使（、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ijyxa,问题：问题：我们知道，平面内的任意一个向量
2、我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,a b p xyzOijkQPp 一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 且设且设 为空间两两垂直的向为空间两两垂直的向量，设点量，设点Q为点为点P在在 所确定平所确定平面上的正投影面上的正投影.p,ij k ,i j 一、空间向量的坐标分解一、空间向量的坐标分解,zkOQ实数存在所确定的平面上在,i jx y 在所确定
3、的平面上 存在实数jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知,如果如果 是空间两两垂直的向量是空间两两垂直的向量,那么那么,对空间任一向量对空间任一向量 ,存在一个有序实数组存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量上的分向量.,i j k P,xi y j zk,i j k p.pxiy jzk 空间向量基本定理：空间向量基本定理：都叫做都叫做基向量基向量,a b c 探究：探究：在空间中在空间中,如果用任意三个不共面向量如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ,你能得
4、出类似的你能得出类似的 结论吗？结论吗？,a b c ,i j k 如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组 ,使,a b c P.pxaybzc,x y z,a b c 叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底,（1）任意不共面任意不共面的三个向量都可做为空间的一个的三个向量都可做为空间的一个基底基底.特别提示：特别提示：对于基底对于基底 ,除了应知道除了应知道 不共面，还应明确：不共面，还应明确：（2）由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线为与任意一个非零向量共线,与与任意两个非零向量共面任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面所以三个向量不共面,就隐就隐含着它们含着它们
5、都不是都不是 .00（3）一个）一个基底基底是指一个是指一个向量组向量组,一个一个基向量基向量是指基是指基底中的某一个底中的某一个向量向量,二者是相关连的二者是相关连的不同概念不同概念.,a b c ,a b c 例例1 设设 且且 是空是空间的一个基底间的一个基底,给出下列向量组给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个,xab ybc zca ,a b x ,b c z ,x y z ,x y abc ,a b c 分析分析:能否作为空间的基底能否作为空间的基底,即是判即是判断给出的向量组中的三个下向
6、量断给出的向量组中的三个下向量是否共面是否共面,由于由于 是不共面的是不共面的向量向量,所以可以构造一个平行六面所以可以构造一个平行六面体直观判断体直观判断,a b c A1AD1C1B1DCB1,aAB bAA cAD 设 ,易判断出答案C例题讲解：例题讲解：例题讲解例题讲解二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和
7、一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向坐标向量量.通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。O xyz以以 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyzi k j xyz(,)P x y z 若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则 AB
8、=OB-OA=(x2 2-x1 1 ,y2 2-y1 1 ,z2 2-z1 1)_AM _OB1 _PQ 练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1C C1D D1O OM MPQ Q探究：探究：向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示 设设a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2).).ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z
9、 z2 2)a-b(x(x1 1-x-x2 2，y y1 1-y-y2 2，z z1 1-z-z2 2)111,axyz abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 练习一：练习一：2.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3)(1,0,0);ba，(2)(1,1,1)(1,0,1);ab，1.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0),(1,1,1);AB(2)(3,1,5),(0,2,3).CD例题：例题：例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(
10、1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(,)M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222(13)(03)(5 1)29.ABOABMF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE 例例3如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17|171744BE DFBE DFBEDF 111o11111111,ABCCACB1BCA90AA2MNA BAA1)BN2)cos,CB3)A BC M ABCABCBA如如图图：直直三三棱棱柱柱底底面面中中，棱棱，、分分别别为为、的的中中点点，求求的的长长；求求的的值值；求求证证：。BCC1A1B1ANM练习：练习：xyz建立空间直角坐建立空间直角坐标系来解题。标系来解题。
