1、初中升高中之奥数总复习之二(祥解)-初中八年级之一奥数(祥解集)八年级（上册）第11章 三角形全等11、把两个全等的三角形，重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。两个三角形能完全重合，这两个三角形叫全等三角形 用表示1、三边对应相等的二个三角形全等（边边边，即SSS）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边，即SAS）3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边解）即ASA4、两角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等（角角边）即AAS两边但不是两边夹角的的二个三角形不一定全等。SSA三个角都相等的两个三个形不一定全等 即AAA5、斜边和
2、一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。1、角平分线上的点到角两边的距离相等。2、角的内部到两边距离相等的点都在角平分线上。3、怎样作一个角的角平分线作解内二个三角形全等。三角形全等2例1）已知（如图）所示，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC,交AB于点G，在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD 求证:(1)AGE DAB(2)过点E作EFBD,交BC于点F,连接AF,求AFE的度数。解：（1）因为DGBC 所以AGD也是等边三角形，则AG=AD AGD=GAD=60 又 DE=DC AD+DC=DE+GD=AB 即GE=AB,又AG=AD AGD=GAD=60 所以
3、AGE DAB（SAS）(2)所以有ABD+DBC=60=AEG+GEF,所以AFE是等边三角形（等腰三角形，且有一个角是60 ），因而AFE=60因AGE DAB，所以AE=DB;因 BFGE是平行四边形.BD=EF DBC=DEF AEG=ABD;例2）如图所示，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE=CF,求证 OEC=OFD解：因为 EBC=DCF=45 BC=DC BE=FC 所以 BCE DCF (SAS)BEC=DFC.又因为 OEC=180-BEC=180 -DFC=OFD OEC=OFD 三角形全等3例3）已知AD是三角形ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点
4、F,且AE=EF,求证：AC=BF.解：作AD的延长线至H点，使AD=DH,连接BH,BD=DC(中点)；AD=DH;BDH=ADC BDH ADC(SAS)有AC=BH 所以BHD=DAC又DAC =AFE(等边对等角)BHD=BFD 所以 BF=BH(等腰三角形)AC=BH=BF 即 AC=BF 成立。例4）如图所示，ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使BDAE,求证CE=DE解：在BE上取点F（或者过D点作AC的平行线，交BE于点F），使BD=BF,则BDF是等边三角形，BD=BF=AE BA+AF=AF+FE 即有AC=BA=FE EAC=EFD(同旁内角相等)FD=BD
5、=AE EAC EFD 所以CE=DE 三角形全等4例5）如图正方形ABCD的对角线AC与BD点交O,E为AC上的一点，连接BE,过A点作BE垂线，垂足为M，AM交BD于F。求证：（1）OF=OE(2)如果E点在AC延长线上，AMEB 于点M,交DB的延长线于点F，其它条件不变，OF=OE 还成立吗？解：（1）AMB=AOF=90 BFM=AFO(对顶角相等)，所以FBM=FAO;FBM=FAO ,OB=OA AOF=BOE=90 AOF BOE 所以OF=OE (2)只要求证AOF BOE 就可以了。三角形全等5例6）已知ABC中，A=2B;CD是 ACB平分线，求证：BC=AC+AD解：在
6、BC上取点E，使得 CE=AC,因为CD是ACB平分线，所以有 ACB=DCEACD CDE即DE=AD,DEC=A 又因为DEC=B+BDE=2 B.所以有B=BDE 即BE=ED(等角对等边)所以BC=EC+BE=AC+AD 求证成立。方法二：将CA延长至E,使EA=AD 也可以。例7）D、E分别是等边三角形ABC边上的点，且AD=CE,BD与AE交于P点这，BQAE于点Q。求证：PQ1/2PB解：因为AD=CE;BAC=C;AB=AC 所以AEC ABD 因而有 ABP=EAC BPQ=ABP+BAP=BAP+PAD=60 在直角三角形中，PQB=90-PBQ=30 所以PQ=1/2PB
7、 三角形全等6例8）在直角梯形ABCD中，ABC=90,ADBC,AB=BC,E是AB的中点，CEBD （1）求证 BE=AD;(2)求证：MAMD （3）DB=DC证明 （1）因为 ABC=90，所以ABC=90 又CE BD BEC+EBC=90 BEC+BCE=90 EBD=BCE 在ABD与 BCE中，AB=BC;BAD=ABC=90 ABD=BCE 所以ABD BCE（ASA）BE=AD(2)因为 AB=BE ABC=90 所以 BAC=BCA=45 CAD=ACB=45(内错角相等)；又因为 EAD是等腰直角梯形，所以ADE=45=CAD 所以AM=MD(等角对等边)（3）因为 E
8、AC=CAD=45;AE=EB=AD;AC=AC 所以AEC ADC(SAS)即有 DC=EC 又因为BD=EC 所以有BD=DC 三角形全等7 奥1例1）等腰梯形ABCD中，AD B C，ADABCD2，C60 ，M是BC的中点。求证：（1）MDC是等边三解形。（2）MDC绕点M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点E，MC（MC）同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成 AEF，试探究 AEF的周长是否存在最小值，如果不存在说理由，如果存在，请计出AEF周长的最小值。解：（1）过A、D分别作底 边上的垂线，可知BPQC1 PQ2 因此BC2AD，因而有 四边形ABMD 是棱形，所以有 BM
9、MDMC（M是中点）DC（等腰梯形）DMC等边三角形。（2）因为EMF=AMB=60 又 AME+EMB=60 AME+AMF=60 所以有 EMB=AMF;MAF=MBE=60;BM=AM 所以有 BME AMF 因而有 AF=BE EM=MF AF+AE=AE+BE=AB=2cm 又因EMF=60 EM=MF 所以EFM是等边三角形，即EF=MF,从运动可知，MF最短，是平行线AD与BC的距 离是 。AEF周长 AE+AF+EF=AB+EF=AB+MF,所以最短的距离为 2+三 角形全等7 奥2?F?(?图2?）?E?D?C?B?A2如图2，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AD平分B
10、AC，AD的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论AD=BF，CF=CD，AC+CD=AB，BE=CF，BF=2BE，其中正确的结论的个数是（A ）A4 B3 C2 D12、解：在RtAEB中，ABE=1809022.5=67.5，则FBC=67.545=22.5 RtBCF中，F=67.5,所以AF=AB，AC=BC，从而BCFACD（ASA），则AD=BF CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF=AB，等腰三角形ABF中，AE BF，则BF=2BE，对于因为BCF和AEB的三个角对应相等，但是斜边AB与BF不相等，从而不全等，不会BE=CF，三 角形全等7 奥2-1?8?7?6?5?4?3
11、?2?1?E?F?D?B?C?A?G3、如图3，在ABC中，A=60，BE，CF分别是ABC，ACB的角平分线，BE，CF相交于点D。（1）求FDE的度数（2）求证：DF=DE解：（1）FDE=BDC(对顶角）又因BDC =180 -DBC-DCB =180 -(1/2)(ABC+ACB)=180-(1/2)(180-60)=120 即FDE=120 （2）在BC上取一点G，使得BF=BG，BDF BDG(SAS)FD=DG 所以5=6 又因 5=8=60 所以有：7=360-5-6-8-D=60 DEC DCG(ASA)DG=DE 所以得 DF=DE三 角形全等7 奥34如图，点D是ABC三
12、条角平分线的交点，ABC=68（1）求证：ADC=124；（2）若AB+BD=AC，求ACB的度数解：（1）证明：ABC=68，BAC+ACB=180-68=112，?AD，CD是角平分线，?DAC+ACD=1/2112=56所以ADC=180-DAC+ACD=180-56=124?（2）（方法一）?在AC上截取AE=AB，连接DE，?在ABD和AED中，ABAE?DAE?BAD（角平分线）ADAD?ABD AED，BD=ED，DE=EC?所以?ABD1/2?68?=?AED?又因DE=EC?则有?DEC?ECD?=1/2?AED=17?ACB=2?AED=2?17?=34?（方法二）?延长A
13、B至E，使BE=BD AED ADC?所以2=?3=17?ACB=2?3=2?17?=34?三 角形全等7 奥4?（第15题图）?E?D?C?B?A?O?（第15题图）?F?E?D?C?B?A5如图，在ABC中ACBC，E、D分别是AC、BC上的点，且BAD=ABE，AE=BD求证：BAD=(1/2)c证明：作OBF=OAE交AD于FBAD=ABEOA=OB又AOE=BOFAOE BOF（ASA）AE=BFAE=BDBF=BDBDF=BFDBDF=C+OAEBFD=BOF+OBFBOF=CBOF=BAD+ABE=2BADBAD=(1/2)c八年级（上册）第12章 轴对称11、一个图形沿着一条直
14、线折叠，直线两旁的部分能重合，这个图形就叫轴对称图形。这条直线就叫对称轴。2、过线段的中点，且垂直于线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。3、两个图形关于某条直线对应，对称轴是任何一对对应点的垂直平分线4、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点的垂直平分线。51、线段垂直平分线上的点，到线段的两个端点的距离相等。52、与一条直线距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。例1）怎样作垂直平分线：在线段的两边分别作大于1/2的圆，相交的两点再连线，就是垂直平分线。例2）怎样作角平分线：例2）某设计师在方格纸中画了一部分，请完成余下部分，作关于Y轴的对称图作连同原形的绕圆点逆时针旋转图第12章 轴对称中
15、考-基础1例1）在平面直角坐标系中，点A（2,5）与点B，关于Y轴对称，则点B的坐标为（）解：B点为 （2，5）例2）在平面直解坐标系xoy中，已知点A（2,3）若将OA绕原点O逆时针旋转180度，到OA，则点A在平面直角坐标系中的位置是在（）象限。解：A 的坐标为（2，3）因此 在第三象限。例3）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点P（1，3），则点P的坐标为（）解：解这样的题要反推，反向变为向下移1个单位，向右移2个单位。即得P的坐标为（1，2 ）或者也可这样理解：设点P（X，Y）则有 x-2=-1;y+1=3,得X1，Y2 轴对称2例1）在一条燃气管道L上修建一个泵站，分别
16、向同一侧的A，B两镇供气，泵站修在什么地方，可使输气管线最短？如图：例2）在三角形ABC中，如图，AB=AC=12CM,BC=6CM;D为BC的中点，动点P从B点出发，以每妙1CMR 速度沿B A C的方向运动，设运动的时间为t,那么当t 妙时，过点D P两点的直线，将ABC的周长分为两部分，使其中一部分是另一部分的两倍。解:（t=7和 t=17 即有两种可能）当PA+AC+DC=2(BD+BP)即(12-t)+12+3=2*(3+t)得t=7 当DB+AB+AP=2(PC+CD)即3+t=2*(24-t+3)得t=17 轴对称3例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM;AB垂直平分线交AC
17、于点N，三解形BCN的周长是5CM，则BC的长（）CM解：N因是垂直平分线上的点，得ANBN 所以有 BN+NC3 又因BCN的周长是5CM,所以有 BC532CM例4）已知直线ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE150 则C的度数等于（）解：CDE150 所以CDB=30又因ABCD 所以 CDBDBA30 又因BE是角平分线，所以DBA=DBC 即C1803030120 例5）在Rt ABC中，BAC90 ，B60 ，AB C 可以由ABC绕点A顺时针旋转90 得到，连接CC ，则 CC B 的度数是（）解：因CAAC 所以 CC B45 所以 CC B 45 30 15 轴对称4
18、例6）三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果 ABC绕C点按逆时针方向旋转90 ，得到 A B C ，那么点A的对应点A 的坐标是（）解：从图中可以看出，坐标是（3，3）3 等腰、等边三角形11、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的高、底边的中线相互重合。3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边的也相等（等角对等边）4、三条边都相等的三角形，叫等边三角形。三个角都相等的三角形，也叫等边三角形。有一个角是60度的等腰三角形，也叫等边三角形。5、等边三角形，三个角都是60度。6、在直角三角形中，如果一个锐角是30
19、度，那么它所对边等于斜边的一半。（怎样证明）7、在不规则的三角形中，大边对大角，小边对小角；大角也对大边，小角对小边。3 等腰、等边三角形2例1）已知三角形ABD 和三角形AEC是等边三角形，证明：BE=DC解：因为ABE ADC,所以BE=DC例2）在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边也较大。怎样证明它。解:将ABC对折叠，使边AC与AB重合，C点落在AB的D 点。利用三角形全等就可证明了。例3）三角形ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CECD，求证：DBDE解：DBC=CDE=CED=30,所以三角形BED是等腰三角形3 等腰、等边三角形奥数
20、-11、在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB的顶点与O重合，点A的坐标(m,n)，底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标是（）A、（n,m）B、（m,n）C、（m,n）D、（m,n）解：因为中线在角平分线上，即y=x 所以A、B两点的从标的和相等，只有A合符条件 x=(m+n)/2 y=(m+n)/2 即 y=x 选、A2如图，在ABC中，ACB=100，点D、E在AB上，且?BE=BC，AD=AC，则DCE的大小是?度?解析：?（解法一）：设ACE=x，DCE=y，BCD=z，?BE=BC，AD=AC，?ADC=ACD=ACE+DCE=（x+y），?BEC=BCE=BCD+D
21、CE=（y+z），?A=BEC-ACE=（y+z-x），B=ADC-BCD=（x+y-z），?在ABC中，ACB=100，A+B=180-ACB=80，?y+z-x+x+y-z=80，即2y=80，y=40，DCE=40故答案为：40?（解法二）?BE=BC，AD=AC?得1+DCE=?4?2+DCE=?3?所以?1+DCE+?2+DCE=?3+?4?即?2 DCE+（100?-DCE）=180?-DCE?2?DCE?=80?DCE=40?八年级（上册）第13章 实数慨念1 有理数（有限小数或无限循环小数）实数：无理数（无限不循环小数）八年级（上册）第13章 实数慨念21、如果一个正数X的平方
22、等于a ,那么这个正数X叫做a的算 术平方根。记作X ；a叫做被开方数，0的算术平方根是0.（习惯上将二次根号的2省略，即 ）2、如果一个数X的平方等于a,那么这个数X就叫做a的平方根。就是说，如果 a 那么X叫做a平方根；即X 3、求一个数的平方根运算，叫做开平方。平方与开平方是 互为逆运算。4、正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方 根就是算术平方根。0的平方根是0；5、因为任何一个数的平方都是正数，所以负数没有平方根。1、如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a的立方根，或者 三次方根。即 ，那第X叫做a的立方根。2、求一个数的立方根运算，叫开立方，表示为X 。立方和开立方是互为
23、逆运算。3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根0.1、a相反数是a；1、实数由：有理数（即有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）组成 实数21、若a与b为倒数，则ab=1相反数是它本身的数，只有0；倒数是它本身的数只有1.2、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝纣值是0.可以记作：利用非负的性质求值：当两个（多个）非负的数的和等于0时，所有非负的数式子分别等于0。实数3例1）一个数的绝对值是 ，求这个数？解：因为 绝对值均为 ，所以这个数为1、从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以加、减、乘、除（分母不为0）、乘方运算，2、正数及0可以进行
24、开平方运算，任意实数可以进开立方运算。例2）（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来数轴上点都可以表示实数。例3）（1）有没有最小的正整数（最小的正整数是1）；（2）有没有最小的自然数（最小的自然数是0）；（3）有没有最大的负整数（最大的负整数是1）（4）有没有最小的无理数 （5）有没有最小的实数（6）有没有绝对值最小的实数。实数4例4）已知 X 2,X是整数，求x的值。解：分x 0时和x0时，两种情况进行讨论。例5）2 的相反数是（1 ）（1）2 （2）2 （3）1/2 （4）1/2 例6）下列实数 2/3;
25、0;中，无理数有多少个？（A）1个（B）2个 (3)3个 (4)4个答案：B例7）9 的平方根是（B ）（A)81 (B)3 (C)3 (D)-3 例8）若0 x1时，则x2,x ,1/x ，的大小关系是（B ）(D)不能确定 例9）2013的相反数是（2013 ）实数5例10）1/2的倒数是（2 ）例11）设 ,a在两上相邻整数之间，则这两个整数是（3和4 ）例12）化简：解：原式3 3/2 -1-+1+1 3/2 -(1-)=-1 例13）解：原式17+3*1+52例14）下列各式中，正确的是（B ）实数6例15）如果a与1互为相反数，则a=(C )A.2 B.-2 C.1 D.-1 例1
26、6）肇庆市经济高速发展，已完成固定资产投资快速增长，达240.31亿元，用科学记数法可记作（B ）A.240.31108 B.2.40311010 B.C.2.4031109 D.24.031109解：240.31亿240 310 000 0002.40311010(即小数点之后有10个数位。例17）数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若关于A点的对称点C，则点C所对应的实数是（A ）解：高C点为X，则有 XBBA ；即X 1X2 1 实数7例18）已知 ABCDE为数轴上的五个点，且ABBCCDDE，则点P所表示的比较接近下列哪个数 (C )A.-1 B.1 C.3 D.5解：因为A点为
27、5，E点为9，AE长为9（5）14，分为四段，每段长为14 43.5 所以B、C、D 三点在数轴上的位置为 1.5，2，5.5，从数轴上看，点P是比2大点，应最接近3，故应选C例19）如果x-y1/2 那么 2-x+y=()解：原式 2-(x-y)=2-1/2=3/2例20）已知a,b在数轴上的位置如图18所示，试化简解：原式 a+b-a-b =-(a+b)-(a-b)=-a-b-a+b=-2a例21）如果规定符号“*”的意义是a*b=(a.b)/(a+b),求2*（-3）*4值解：原式（2 （3）/(2-3)*4 =6*4=(6 4)/(6+4)=2.4 实数8例23）已知实数x y满足x-
28、5+=0 求代数式 的值。解：x-5 0 ；Y+4 0 所以 X5=0 ;Y+4=0 所以X5 ；Y4 ；X+Y1 （1）2012=1例22）比较2.5，3，的大小，次序从小到大排列的是（）解：32.5 (因为 2.52=6.257)例24）计算 （1）（2）（3）（4）解：（1）2 （2）2 （3）（4）3 实数 中考-122204(2)abxabybaxy、是实数，则、的大小关系是)168()44(4820)2(4)20(222222bbaaabbaabbayx0)4()2(22ba1已知 （）解：所以xy 实数奥1例3）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b,a 的形式，也可表示为
29、0,b/a ,b形式，求 的值。解：可以表示为两种形式，也就是对应的元素分别相等，即a+b,a 中有一个是0 .b/a,b 中有一个是1.又因 a分母，a0.所以 只能是a+b=0 即a=-b ;b/a=-1 所以 只能是b=1,则有a=-1所以 （1）2012+12012=1+1=2例4）求证任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数。证明：假设结论不成立，至少存在两个有理数a,b,它们之间只有有 限个（n个）有理数。它们的大小顺序如下：aC1C2C3.Cnb,这时(Cn+b)/2b也为有数，且 aCn(Cn+b)/2bb,即在a与b之间找到了第n+1个有理数，即(Cn+b)/2b，这与假设相予
30、盾。所以：任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数例1）一个数的相反数的负倒数是1/19,问这个数是多少？解：设这个数为b,则有(1/(-b)）=1/19 所以b=19例2）若a是小于1的正数，试用“”号 将：a,-1/a,1/a,-a,0,-1 ,1 连结起来。解：-1/a-1-a0a1 a c b dbdaccabddbackdcba1200912008120071200612006 ka2007 kb2008 kc2009 kd例5）.若四个有理数 满足则a?,b,c,d的大小关系是：A?B?CD1、解：不妨令 则有：所C正确例6 、方程 的解是 .7、解：或 ，则 或 200920092
31、009x11x11x2x0 x 实数-奥-3（集合）10、某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有 人.解：如图所示，x=75 ,参赛有260人，参赛人次有（120+80）+（120+80）则x+y=200+200-260=140人（两种赛都参加的人数）所以y=140-75=65人。?因此参加数学而没有参加项语的人数b=80-65=15人。八年级（上册）第14章 一次函数 11、对于X每一个确定的值，y都月唯一确定的值与其对应，我们就说X是自变量，Y
32、是X的函数。2、形如y=kx(k是常数，K 0），叫做正比例函数，K叫做比例系数。正比例函数的图像是一条直线，当K0时，经过一、三像限，随着X的增大，Y值不断增大。当K0时，随着X的增大，Y值不断增大。当K0时，随着X值的增大，Y值不断减小。4、一次函数与一元一次方程的关系；当Y等于0时，一次函数也就是一元一次方程。5、对于两条直线L1，y=k1X+b1 直线L2:Y=K2X+b2 (1)L1 L2,则k1K2 且b1b2;(2)L1L2 则 k1 K2 1（3）L1与L2重合，则k1K2 且b1b2 一次函数（本1）例1）已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y的值为4，当x=-2时,y的值
33、为-2，求：k与b的值。解：4k2+b ;-2=k(-2)+b 得 k=3/2 ;b=1 例2）一次函数过点（4，9）及（6，3）求这个函数的解析式。解：设函数的解析式为：y=kx+b 则有 94x+b;3=6x+b 解方程组得，k=-3/5 b=33/5 例3）一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，3a）与点(a,-6)，求这个函数解析式。解：因为图象过原点，所以函数是正比例函数，设函数为 y=kx 又图象过（2，3a);(a,-6)所以有 方程组 3a=2k 及 6ak 得 a=2或a=-2 ,又因a=2过第四象限，而a=-2时，点（2，3a）在第一象限不符合要求
34、，a=2 此时，K=-3 函数解析式为：y=-3x.一次函数（本1-1）例4）点P（x,y）在第一象限，且x+y=8,点A的坐标为（6，0）设OPA的面积为S （1）用含X的解析式表示S，写出X的取值范围，画出函数S的图象。（2）当点P的横坐标为5时，OPA的面积为多少？（3）OPA的面积能大于24吗？为什么？解：（1）因y=-x+8 S OPA =1/2 6 y =3(-x+8)=-3x+24（0 x8）(2)当P的横坐标为5时 S3 5+249（3）因0 x8 所以 0s0,b0 (2)k0 ,b0(3)k0 (4)k0 ,b2 ）例6）在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而
35、减少，则m的取值范围是（）解：因y都随x的增大而减少 ，因此1-m0 即 m1 一次函数（中考2）例1）在平面直角坐标系中，点P（2，a）,在正比例函数y=（1/2）x的图象上，则点Q（a,3a-5）位于第（）象限解：当x=2时，Y=1 所以点Q的坐标为（1，2）即在第四象限。例2）函数 中自变量X的取值范围是（）解：x-20,且 x-30 x2 且 x3 所以结果为x2 例3）正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形边上沿C B A的方向运动，（点P与A不重合），设点的运动路程为X，则 ADP的面积Y关于X的函数图象是（）面积Y关于X的解析式为？解：（1）（2）例4）已知关于X的一
36、次函数Ymx+n 的图象如图，则 可化简为（）解：从图象可知，m0 所以 n-m0 原式n-m-(-m)=n 一次函数（中考3）例5）已知反比例函数 y=1/x，下列结论不正确的是（D ）A 图象经过点（1，1）B 图象在第一、第三象限C 当X1 时 0y1 D 当X0时，y随的X增大而增大。例6）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=k/x，其中一次函数y=x+2的图象过点P(k,5)(1)试确定反比例函数的表达式 （2）若Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标。解：(1)因P过y=x+2 所以5k+2 k=3;反比例函数为y=3/x (2)方程组y=x+2 ;y=3
37、/x 交点为x=-3,y=-1 ;x=1,y=3 因交点 在第三象限 所以点Q的坐标为（3，1）例7）直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B。（1）求A、B两点的坐标。（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求ABP的面积。解：（1）B点的坐标为（0，3）A点的坐标为（3/2 ，0）(2)满足条件的有两点分别为 P（0，3）和P1（0，3）所以 ABP的面积 S11/2(3+3/2)3=27/4 S2=1/2(3-3/2)3=9/4 一次函数（中考3）例8）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲是运往已地，到达缷货后返回，设汽车从甲地出发X（h)时，汽车与甲地的距离为
38、y(km),y 与 x的函数关系如图所示。根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由。（2）求Y与X的函数表达式。（3）求这辆汽车从甲地出发4小时与甲地的距离。解：（1）不相同；因为往、返的 路程相同，而所需的时不同，所以 速度也不相同。（2）设y=kx+b 当0 x2时，直线过（0，0）（2，120）两点，因此 b=0 k=60 即方程为：y=60 x 当2 x2.5时，直线过（2，120）、（2.5，120）；因此，可得 b=120,k=0 即方程为：y=120 当2.5x5时，直线过（2.5，120）、（0，5）两点，因此，可得 k=-48 b=240 即
39、方程为：y=-48x+240(2.50,即函数数值大于0（小于0）时，自变量的取值范围。例1）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图像与反比例函数Y=9/x的图像在第一像限交于点A，过A点作X轴，Y轴的垂线，垂足为点B、C，如果四边形为正方形，求一次函的关系式。解：依题意得,xy=9=OB*0C 又因为四边形为正方形，即OB=OC=3，点（3，3）也过一次函数，所以3K*3+1 得K2/3,一次函数 为y=2/3x+1例2)如图：已知函数y=x+b 和 y=ax+3 图像交点为P(x坐标为1），则不等式x+bax+3的解集为（x1 ）一次函数（中考5）例3）在同一坐标系内，直线L1：Y（
40、k-2）x+k和L2：y=kx的位置可能为图中的（B ）A:B:C:D解：第一个图：当K0,k-20 K20时，即0k0 k-20时，即 k2时，也可符合。因为两种以上不能确定，因而得另找它法。解方程：y=(k-2)x+k y=kx 得2x=k x=k/2 y=即它们的交点为（k/2,）可得，交点必在第一或者第二像限，因此可排除C、D两种情况，故只有B正确 一次函数 奥1例1）(1-)y与x-2成反比例，若X4，Y1/4,求Y与X之间函数关系式。(2-)若y+m与x+m成正比例，且当x=1时，y=2;当x=-1时，y=1,求y与x之间函数关系式。(3-)已知函数y=y1+y2，其中y1是关于x
41、的正比例函数，y2是关于x的反比例函数，且当x=2 时y=8；x=4 时，y=13 求y关于x的函数关系式。解：(1)y=k/(x-2)即-1/4=k/(4-2)k=-1/2 所以y与x函数关系式：y=-1/(2x-4)被 (2-)y+m=k(x+m)得 2+m=k(1+m);1+m=k(-1+m)所以 得k=1/2;m=-3 函数关系式为：y=1/2x+3/2 (3-)y=y1+y2=k1x+k2/x 得 8k12+k2/2 ;13=k14+k2/4 解方程得 k1=3 ;k2=4 函数式为：y=3x+4/x (这叫待定系数法）例2）如果一直线经过不同三点A(a,b),B(b,a),C(a-
42、b,b-a),那第直线l经过第（）象限。解：设直线为y=kx+c ,依题意得：b=ka+c ;a=kb+c ;b-a=k(a-b)+c 若a=b,即三点变为两点（a,a）;(0,0),与原题意过三点不符。所以ab.由 b=ka+c ;a=kb+c 得 b-a=k(a-b)k=(b-a)/(a-b)=-1.由a=kb+c k=-1 得 c=a+b 所以 b-a=-1(a-b)+(a+b)得 a+b=0 即c=0 Y与X的函数关系式为：y=-x 图象过二、四象限。一次函数 奥23已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分别是A(2,-3),B(4,-1)。P(x,0)是X轴上的一个动点，当X=时，PA
43、B的周长最短。解：作点B关于X轴的对称点B ，则B 的坐标为（4，1），连结B A，与 X轴的交点即为所求。因为过直线y=kx+b (将点A（2，-3），B（4，1）代入方程）得 y=2x-7 ;当y=0时，X=7/2=3.5 012)12()2(kykxk012)12()2(kykxk122)12(yxkyx0122012yxyx25yx4、不论k取何值 表示的函数的图像经过 一个定点，则这个定点是（）4、解：由 得 不论k 取何值，K都成立，这时解方程得所以这个点是（，）（解法二）K取二个特殊值，然后求出x?,y?的值?。一次函数 奥3kbaccabcba5已知?则一次函数y=kx+k的图
44、像与坐标?轴围成的面积是（?）?解：由已知得，a=bk+ck?;?b=ak+ck?;?c?=ak+bk?得?a+b+c=2k(a+b+c)?当a+b+c=0时，a=-(b+c)?则k=a/(b+c)=a/-a=-1?函数y=-x-1的图像与坐标轴围成的面积是：1/2?当a+b+c?0时，k=1/2?函数y=(1/2)x+1/2的图像与坐标轴围成的面积是：1/4八年级（上册）第15章 整式的乘除与因式分解慨念-11）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 5）幂的乘方,底数不变，指数相乘。即：4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即：6）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相
45、同字母分别相乘，对于只在一个单项里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式。即：7）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：8）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一多项的每一项，化成单项式与多项式相乘，再把所得的积相加。即：2*）同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 3）任何不等于0的0次幂都等于1.即：15章 整式的乘除与因式分解慨念-29）添括号时，如果括号里边是正号，括到括号里边的各项不变号。如果括号前边是负号，括到括号里边各项都改变符号。10）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含月的字母，则连同它的指数作为商
46、的一个因式。11）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加12）因式分解的公式 (1)ab+ac+ad=a(b+c+d)(2)(3)(4)(5)(6)(7)15章 整式的乘除与因式分解慨念-312）多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，现把所得的商相加。13）把一个多项式化成几个整数的积的形式，叫做因式分解。也叫分解因式。它与整式的相乘是互为逆运算。14）两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。也叫平方差公式。即：倒过来：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 即：15）两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（减去
47、它们积的2倍）。也叫完全平方公式。即：倒过来：两个数的平方加上（减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（差）的平方。即：15章 整式的乘除与因式分解慨念-416）同类项：所含的字母相同，并且字母的次数也相同的项。17）单项式的次数：所有字母指数的和，叫单项式的次数。18）幂：几个相同因数乘积的运算叫乘方，运算的结果叫幂。15章 整式的乘除与因式分解本-2例4）计算：例5）分解因式：解 （1）原式x(x2-9)=x(x+3)(x-3)(2)原式(2x)4-1=(2x)2+1)(2x)2-1)=(2x)2+1)(2x+1)(2x-1)(3)原式-y(3x)2-6xy+y2)=-y(3x-y)2
48、(4)原式(2a)2+4ab+b2=(2a+b)2例7）已知一个多项式与 的和等于 这个多项式是（5x-1 ）例8）已知 的值是多少？（7/2 ）15章 整式的乘除与因式分解中考-1例1）已知 求代数式 的值(5/12）解：设它们之比值为K ，然后得x=2k y=3k z=4k 代入代数式计算即得所求的值。例2）若 的和是单项式，则 多少？解：因为和为单项式，所以指数相等，即可求出m和n.例3）已知ABC的边长分别为a,b,c,且 a,b,c 满足 ，那么这个三角形是什么三角形？解：化简后得 （a-b）2+(a-c)2+(b-c)2=0 即有a=b=c 三角形是等边三角形。15章 整式的乘除与
49、因式分解中考-222221078 51MNMabaNaba，则03)23(712922aaaNM4、若的值（）A一定是负数 B一定是正数C一定不是正数 D不能确定4、解：（肇庆2009，八年级竞赛）5若两个连续偶数的平方差为2012，则这两个偶数中较大的一个?是?(?)?5、答案：504?解析：?(x+x-2)?(x-x+2)=2012?(2x-2)?2=2012?x=5042012)2(22 xx15章 整式的乘除与因式分解奥数1例1）因式分解：解：原式例2）因式分解：解：设A=a+b B=b+c 则 A+B=a+2b+c原式 即有原式3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例3）分解因式：解
50、：（a+b+c）=(a+b+c)例3的推论 （1）若a+b+c=0 即有 （2）因 所以当a+b+c0时，（3）当 a+b+c 0，且 时，则有 a=b=c15章 整式的乘除与因式分解奥数2例4）若a,b,c是三角形的三边，证明：证明：因a+b-c0 ,a+c-b0 ,a+b+c0 而a-b-c=-(b+c-a)0所以（a+b-c）（a+c-b）（a+b+c）（a-b-c）0所以有 例5）分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 (四个连续的自然数相乘的积是一个完全平方）解：原式 例6）若ab ,xbx+ay 证明：只要将分解因式，根据已知条件，比较就可以得出结果了。证明：因为
