1、返回返回上页上页下页下页目录目录第第八八节节 一般周期函数的傅立叶级数一般周期函数的傅立叶级数 第十章第十章 二、正弦级数和余弦级数二、正弦级数和余弦级数一、周期为一、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数三、小结与思考练习三、小结与思考练习12/5/20221返回返回上页上页下页下页目录目录一、周期为一、周期为2l的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数周期为周期为 2l 函数函数 f(x)周期为周期为 2 函数函数 F(z)变量代换变量代换lxz将将F(z)作傅氏展开作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式的傅氏展开式12/5/20222返回返回上页上页下页下页目录目录设周期
2、为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f(x)的连续点处的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中其中l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n定理定理512/5/20223返回返回上页上页下页下页目录目录lxz,则则,llx,z令令)(zF,)(z lf则则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以所以)(zF且它满足收敛且它满足收敛定理定理条件条件,将它展成傅里叶级数将它展成傅里叶级数:10sin
3、cos2)(nnnznbznaazF(在在 F(z)的连续点处的连续点处)(xf变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数,证明证明:令令12/5/20224返回返回上页上页下页下页目录目录zznzFandcos)(1其中其中zznzFbndsin)(1令令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在在 f(x)的的 连续点处连续点处)xlxnxflldcos)(证毕证毕 12/5/20225返回返回上页上页下页下页目录目录1)(nnbxf),2,1(
4、dsin)(nxlxnxfbn其中其中(在在 f(x)的连续点处的连续点处)lxnsinl20l如果如果 f(x)为为偶函数偶函数,则有则有(在在 f(x)的连续点处的连续点处)2)(0axf),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中其中1nnalxncos注注:无论哪种情况无论哪种情况,).()(21xfxf在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,傅里叶级数傅里叶级数收敛于收敛于l20l如果如果 f(x)为为奇函数奇函数,则有则有 说明说明:12/5/20226返回返回上页上页下页下页目录目录例例1 将函数将函数0,50,()3,05xf xx展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数.(5
5、,5,f由由于于在在上上分分段段光光滑滑 因因此此可可解解以以展展开开成成傅傅里叶级数里叶级数.0550110 cosd3cosd5555nn xn xaxx5035sin0,1,2,55n xnn12/5/20227返回返回上页上页下页下页目录目录5505011()d3d3,55af xxx5013sind55nn xbx50353(1cos)cos55n xnnn6,21,1,2,(21)0,2,21,2,.nkkknkk12/5/20228返回返回上页上页下页下页目录目录代入代入(5)式式,得得136(21)()sin2(21)5kkxf xk361315sinsinsin.253555
6、xxx()f x01(cossin).(5)2nnnan xn xabll(5,0)(0,5).x 0 x 这里这里 当当和和5 时级数收敛于时级数收敛于 3.212/5/20229返回返回上页上页下页下页目录目录展开成展开成)20()(xxxf(1)正弦级数正弦级数;(2)余弦级数余弦级数.解解:(1)将将 f(x)作作奇奇周期延拓周期延拓,则有则有2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41nnn14)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在在 x=2 k 处级数处级数收敛于何值收敛于何值?例例
7、2 把把12/5/202210返回返回上页上页下页下页目录目录2oyx作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf),2,1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,)12(822k),2,1(k则有则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x12 kn(2)将将12/5/202211返回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:此式对此式对0 x也成立也成立,8)12(1212kk由此还可导出由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222)12(cos)12(18
8、1)(kxkkxxf)20(x12)12(1kk据此有据此有2oyx12/5/202212返回返回上页上页下页下页目录目录为正弦为正弦 级数级数.1.周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点间断点)其中其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当当f(x)为奇为奇 函数时函数时,(偶偶)(余弦余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换变换延拓延拓内容小结内容小结12/5/202213返回返回上页上页下页
9、下页目录目录作作 业业傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数习题习题10.8(29710.8(297页）页）(A)4.8.12/5/202214返回返回上页上页下页下页目录目录)11(2)(xxxf将立叶级数立叶级数,并由此求级数并由此求级数121nn(91 考研考研)解解:y1ox12)(xf为为偶函数偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101)1(222nn因因 f(x)偶延拓后在偶延拓后在,),(上连续 x225,)12cos()12(14122kkk展开成以展开成以2为周期的傅为周期的傅1,1x的和的和.故故得得 1.12/5/202215返回返回上页
10、上页下页下页目录目录,0 x令得122)12(14252kk故8)12(1212kk121nn12)12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12)12(134nn6212/5/202216返回返回上页上页下页下页目录目录傅里叶傅里叶(1768 1830)法国数学家法国数学家.他的他的著作著作热的解析热的解析 理论理论(1822)是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分三角积分,他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的
11、以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献文献,他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响都产生了深远的影响.12/5/202217返回返回上页上页下页下页目录目录狄利克雷狄利克雷(1805 1859)德国数学家德国数学家.对对数论数论,数学分析和数学分析和数学物理有突出的贡献数学物理有突出的贡献,是解析数论是解析数论 他是他是最早提倡严格化最早提倡严格化方法的数学家方法的数学家.函数函数 f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的他的主要主要的创始人之一的创始人之一,并并论文都收在论文都收在狄利克雷论文集狄利克雷论文集(1889一一1897)中中.1829年他得到了给定年他得到了给定证明证明12/5/202218
