1、1.10.1.10.考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。本节主要介绍静滑动摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题。1.1.滑动摩擦：滑动摩擦：两物体接触表面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时所具有的摩擦。两物体表面间只具有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦，称为静滑动摩擦（静摩擦）静滑动摩擦（静摩擦）；接触表面间产生相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦（动摩擦）动滑动摩擦（动摩擦）。静滑动摩擦静滑动摩擦wF FT T很小时，B盘没有滑动而只具有滑动趋势，此时物系将保持平衡。摩擦力F Ff f与主动力F FT T等值。wF FT T逐渐增大，F Ff f也随之增加。F Ff f
2、具有约束反力的性质，随主动力的变化而变化。wF Ff f增加到某一临界值F Ffmaxfmax时，就不会再增大，如果继续增大F FT T，B盘将开始滑动。因此，静摩擦力随主动力的不同而变化，其大小由平衡方程决定，但介于零与最大值之间，即：max0ffFF静滑动摩擦静滑动摩擦静摩擦定律：静摩擦定律：实验证明，最大静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势方向相反，大小与接触面法向反力F FN N的大小成正比，即：式中比例常数 称为静摩擦系数，的大小与两物体接触面的材料及表面情况（粗糙度、干湿度、温度等）有关，而与接触面积的大小无关。一般材料的静摩擦系数可在工程手册上查到。常用材料的值见表。maxfNFfF
3、ff动滑动摩擦动滑动摩擦动摩擦定律动摩擦定律:当水平力F FT T超过F Ffmaxfmax时，盘B开始加速滑动，此时盘B所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力。实验证明，动滑动摩擦力的大小与接触表面间的正压力F FN N成正比，即：式中比例常数 称为动摩擦系数，其大小除了与两接触物体的材料及表面情况有关外，还与两物体的相对滑动速度有关。常用材料的值见表。NfFfFf2.2.摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 w摩擦角摩擦角 FpGFNFfFRF FN N 正压力F Ff f 静摩擦力F FR R 全约束反力 （全反力）全反力与接触面 法线的夹角m:全反力与法线间的最大夹角。摩擦系数摩擦系数
4、f f ：摩擦角的正切值。即：fFfFFFNNNfmmaxtan摩擦锥：摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则摩擦角范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥。m自锁：自锁：若主动力的合力F FQ Q作用在锥体范围内，则约束面必产生一个与之等值、反向且共线的全反力F FR R与之平衡。但无论如何增加力F FQ Q，物体总能保持平衡。全反力作用线不会超出摩擦锥的这种现象称为自锁。FQF FR R自锁条件自锁条件:m3.3.考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题 w 考虑摩擦与不考虑摩擦时构件的平衡问题，求解方法基本相同。不同的是在画受力图时要画出摩擦力Ff，并需要注意摩擦力的方向与滑
5、动摩擦力的方向与滑动趋势方向相反，不能随意假定趋势方向相反，不能随意假定。w 由于Ff值是一个范围（平衡范围），平衡范围），确定这个范围可采取两种方式：一种是分析平衡时的临界情况，假定摩擦力取最大值，以Ff=Ffmax=fFN作为补充条件，求解平衡范围的极值。另一种是直接采用 ，以不等式进行运算。fNFfF例例1 1：已知如图重力G=100N，物块与斜面间摩擦系数f=0.38,f=0.37，求物块与斜面间的摩擦力。试问物块在斜面上是静止、下滑还是上滑？如果要使物块上滑，求作用在物块并与斜面平行的力F F至少应多大？30GFf f物体受主动力物体受主动力G的作用，不可能上滑，只的作用，不可能上滑
6、，只能是静止或下滑，所以，能是静止或下滑，所以，Ff f 方向方向如图如图FNFGFNFf f要使物体上滑，要使物体上滑，Ff f 方向方向如图如图GFf fFNxy解：物体可产生的最大静摩擦力：Ff f -Gsin30 =0Ff f =Gsin30 =100 x 0.5 =50 NFf f maxmax=f FN=f Gcos30=0.38 X 100 X 0.866=32.91N 假设物体处于静止状态，可列平衡方程：而物体处于静止状态条件:0=Ff f Ff f maxmax所以，物体在斜面上处于下滑下滑状态。此时物体与斜面间的摩擦力为动摩擦力。fF=0.37x100 x0.866=32.
7、04N f=FNFFN使物体上滑的条件为:fFfF=+Gsin30=Gcos30+G sin30 =0.37 x 100 x 0.866+100 x 0.5 =82.04N fFf xy例例2:2:制动器的构造如图所示。已知制动块之间的静摩擦系数为f，鼓轮上所挂重物重量为G G。求制动所需的最小力F F1 1。解解:取制动轮为研究对象，受力图如图所示，列平衡方程:GFoxFoyOFNFf f 0OMF G Gr-Ff f R R=0rFGRf f FAxFAyF1Ff fFNFAxFAyF1Ff fFN取制动杆为研究对象，受力图如图2-4-4b所示，列平衡方程 0AMF 10NF bF cFa
8、NNFFrFFGR 式中：11NcrGFFabR解得：制动轮与制动块处于临界平衡状态，列补充方程：NFfF即：FN =Ff/f=f=rG/RrG/Rf ff ffff1GrbFcaRf(1)(2)由（1）（2）可得：1.11 1.11 空间力系空间力系 1.1.力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 一次投影法：一次投影法：力F与三个坐标轴所夹的锐角分别为、,则力F在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦 oyxzF cosFFFFFFzyxcoscosFxFyFz二次投影法二次投影法:若已知力F F与z轴的夹角为，力F F 和z轴所确定的平面与x轴的夹角为，可先将力F F
9、在oxy平面上投影，然后再向x、y 轴进行投影。oyzF FxFyFzFxy 则力在三个坐标轴上的投影分别为：cosFFsinsinFFcossinFFzyxx 若已知力在三个坐标轴上的投影F Fx、F Fy、F Fz，也可求出力的大小和方向，即:FF,FF,FFFFFFzyxzyxcoscoscos2222.2.力对轴之矩力对轴之矩 门上作用一力F F，使其绕固定轴z转动。F Fxy对z轴之矩就是力F F对z轴之矩,用M Mz（F F）表示。则：OFxyd ddFFMFMxyxyoZ)()(规定规定：从z轴正端来看，若力矩逆时针，规定为正，反之为负。AxyFxFyab=Fx b+Fy a2.
10、2.力对轴之矩力对轴之矩w 合力矩定理合力矩定理：如一空间力系由F1、F2、Fn组成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。)()(FMFMzRz例例1 1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩z。x xz zFZFxyx xy yFxyFxyFyFx10155FxFy3.3.空间力系的平衡空间力系的平衡 w 空间力系的简化：空间力系的简化：与平面任意力系的简化方法一样，空间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。222()()()RxyzFFFF222()()()oxyzMMFMFMF 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程平衡的必要与充分条件：平衡的必要与充分条件：，
11、RFoM0)(0)(0)(000FMFMFMFFFzyxzyx平衡方程：平衡方程：3.3.空间力系平衡问题的平面解法空间力系平衡问题的平面解法 在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的研究方法，称为空间问题的空间问题的平面解法平面解法。例3：图示为带式输送机传动系统中的从动齿轮轴。已知齿轮的分度圆直径d=282.5mm，L=105mm，L1=110.5mm，圆周力Ft=1284.8N，径向力Fr=467.7N，不计自重。求轴承A、B的约束反力和联轴器所受转矩MT。ADBF
12、AVFAHFBHFBVyxzFTFrL/2L/2L1MTxz面:xzMTFAHFBHFAVFBVFTFr()0AMF 02TtdMF282.51284.822TtdMFN mm181481N mmyz面:zyFAVFBVFr02rBVLFLR467.7233.8522rBVFRNN0AVrBVRFR467.7233.85233.85AVrBVRFRNNxy面:xyFAHFBHFT02tBHLFLR1284.8642.422tBHFRNN0AHtBHRFR1284.8642.4642.4AHtBHRFRNN空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平空间平行力系的中心行力系的中心。1
13、.11.4 物体的重心物体的重心一一 空间平行力系的中心、物体的重心空间平行力系的中心、物体的重心FR而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：iiCxPxPPPzzPPyyPPxxiCiCiC,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况，(n ，常用积分法求物体的重心位置。二二 重心坐标公式重心坐标公式为长度其中常量截面常量物体为均质等截面杆时llzlzlylylxlxAccc;:PzPzPyPyPxPxccc;为体积
14、其中为常量容重物体均质时VVzVzVyVyVxVxccc;:为面积其中常量板厚常量物体均质薄板时AAzAzAyAyAxAxAtVtccc;,;:若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心1 简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心(对称法）对称法）简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。三三 重心的求法重心的求法：一般针对均质平板物体而言一般针对均质平板物体而言1）分割法：）分割法：若物体可以划分为形状简单的几个部分，每个部分的面积若物体可以划分为形状简单的几个部分，每个部分的面积和重心位置都属已知，
15、则整个物体的重心易于求得。和重心位置都属已知，则整个物体的重心易于求得。iiiCAxAxiiiCAyAy2）负面积法：）负面积法：方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。2组合法组合法cm4.6 212211SSySySAyAyiiC由解解：cm248 cm4 21,80cm212 221)R(y,y,RSS 求：该组合体的重心？例例43 实验法实验法悬挂法悬挂法lPxCNPNlxC称重法称重法 一一 概念及内容：概念及内容：1 空间力系的投影：一次投影；二次投影空间力系的投影：一次投影；二次投影 2 空间力对轴之矩空间力对轴之矩 3 空间力系空间力系合
16、力投影定理合力投影定理：4 空间力系的空间力系的合力矩定理合力矩定理：iZzRiYyRiXRxFFFFFF,)()(izRzFMFM第六章第六章 空间力系总结空间力系总结当力与轴共面时，力对轴之矩为零当力与轴共面时，力对轴之矩为零二二 基本方程基本方程 1 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空间一般力系空间一般力系空间汇交力系空间汇交力系000ZYXFFF空间力偶系空间力偶系000000zyxZYXMMMFFF000zyxMMM空间空间x轴力系轴力系000zyXMMF空间空间xoy 面的力系面的力系00000zyxYXMMMFF四矩式四矩式、五矩式和六矩式的五矩式和六矩式的附加条件均为使方程
17、式独立。附加条件均为使方程式独立。2 空间力系的几个问题空间力系的几个问题：x,y,z(三个取矩轴和三个投影轴可以不重合三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的可以任选的 六个轴。六个轴。取矩方程不能少于三个取矩方程不能少于三个空间力系独立方程六个空间力系独立方程六个 平面三个平面三个 2 解题技巧解题技巧：用取矩轴代替投影轴，解题常常方便用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 投影轴尽量选在与未知力投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交，力矩轴选在与未知力平行或相交 一般从整体一般从整体局部的研究方法。局部的研究方法。1 解题步骤解题步骤：选研究对象选研究对象 (与平面的相同与平
18、面的相同)画受力图画受力图 选坐标、列方程选坐标、列方程 解方程、求出未知数解方程、求出未知数 三三 解题步骤、技巧解题步骤、技巧：静力学总结静力学总结w基本概念：基本概念：刚体、力、约束反力、力系、力对点之矩、力偶、刚体、力、约束反力、力系、力对点之矩、力偶、力偶矩、主矢、主矩、物系、受力图、平衡、静力偶矩、主矢、主矩、物系、受力图、平衡、静定与静不定问题定与静不定问题w基本原理：基本原理：静力学公理、三力平衡汇交定理、力线平移定理、静力学公理、三力平衡汇交定理、力线平移定理、合力矩定理合力矩定理w基本方法：基本方法：力系简化几何法、解析法、平衡方程解题法力系简化几何法、解析法、平衡方程解题法w基本公式：基本公式：各种力系的平衡方程各种力系的平衡方程平衡方程和几种典型约束及其约束反力列表如下：平衡方程和几种典型约束及其约束反力列表如下：
