1、2 2、四种命题及相互关系四种命题及相互关系1 1、命题：命题：可以判断真假的陈述句可以判断真假的陈述句 可以写成：若可以写成：若p p则则q q。复习旧知复习旧知引入新课引入新课 原命题原命题 若若 p p则则 q q 逆命题逆命题 若若 q则则 p 否命题否命题 若若 p 则则 q 逆否命题逆否命题若若 q 则则 p互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互为互为逆否逆否 同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈这是我的妈妈”。那。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：么大
2、家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这这是我的孩子是我的孩子”呢？呢？不会了！为什么呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件。充分条件与必要条件。【实例引入】判断下列命题是真命题还是假命题：判断下列命题是真命题还是假命题：（1）若）若 ，则，则 ；22bax abx2（3）全等三角形的面积相等；）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四
3、边形是菱形；）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）若）若 ，则，则 ；0 ab0 a abxbax222 两三角形全等两三角形全等 两三角形面积相等两三角形面积相等 充分条件与必要条件充分条件与必要条件：一般地，如果已知：一般地，如果已知 那那么就说，么就说，p 是是q 的充分条件，的充分条件，q 是是p 的必要条件的必要条件qp 的充分条件的充分条件是是abxbax222 的必要条件的必要条件是是222baxabx 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件两三角形全等两三角
4、形全等 两三角形面积相等两三角形面积相等abxbax222 定义定义：如果命题：如果命题“若若p，则，则q”为真命题为真命题,即即p q,那么我们就说那么我们就说p是是q的的充分条件充分条件；q是是p的的必要条必要条件件【定义得出】充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合的，足以保证的。符合“若若p则则q”为真（为真（p=q）的形式）的形式,即即“有之必成立有之必成立”。必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非若非q则则非非p”为真（非为真（非q=非非p）的形式，即）的形式
5、，即“无之必不成立无之必不成立”。注：注：p是是q的充分条件与的充分条件与q是是p的必要条件是的必要条件是完全等价完全等价的，它的，它们是同一个逻辑关系们是同一个逻辑关系“p=q”的不同表达方法。的不同表达方法。p q，相当于，相当于P q，即，即 P q 或或 P、qP足以导致足以导致q,也就是也就是说条件说条件p充分了；充分了；q是是p成立所成立所 必须具必须具备的前提。备的前提。从集合的角度来理解充分条件、必要条件从集合的角度来理解充分条件、必要条件.,3;)()(2;03411 122为无理数为无理数则则为无理数为无理数）若）若（为增函数为增函数，则，则）若）若（，则，则）若）若（的充
6、分条件？的充分条件？是是命题中的命题中的”形式的命题中，哪些”形式的命题中，哪些，则，则：下列“若：下列“若例例xxxfxxfxxxqpqp .(1)(2),.(3),(1)(2):的充分条件的充分条件是是中的中的命题命题所以所以是假命题是假命题命题命题是真命题是真命题命题命题解解qp如果若p则q为假命题，那么由p推不出q，记作p q。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。q .,(3);2;1 222bcacbayxyxpqqp 则则若若相相等等则则这这两两个个三三角角形形的的面面积积）若若两两个个三三角角形形全全等等，（，则则）若若（的的必必要要条条件件？是是命命题题中中的
7、的”形形式式的的命命题题中中，哪哪些些，则则：下下列列“若若例例.(1)(2),.(3),(1)(2):的必要条件的必要条件是是中的中的命题命题所以所以是假命题是假命题命题命题是真命题是真命题命题命题解解pq练习练习2 下列下列“若若p，则，则q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命题中的题中的p是是q的必要条件？的必要条件？(1)若若a+5是无理数，则是无理数，则a是无理数。是无理数。(2)若（若（x-a）（）（x-b）=0，则，则 x=a。解：命题解：命题（1）（）（2）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题，所以命题（所以命题（1）（）（2）中的）中的p是是q的必要条件。的必要条件
8、。分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题中的中的p是是q的必要条件。的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。答：命题答：命题（1）为真命题：）为真命题：练习练习3，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假：（1）x=2是是x2 4x+4=0的必要条件；的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件；（3）sinA=sinB是是A=B的充分条件；的充分条件；（4）ab0是是a 0的充分条件。的充分条件。命题（命题（2）为真命题；）为真命题；命题（命题
9、（3）为假命题；）为假命题；命题（命题（4）为真命题。）为真命题。能能 力力 测测 试试1、用符号、用符号“充分充分”或或“必要必要”填空：填空：（1）“0 x 5”是是“x 2 0”是是“x+y=x+y ”的的_条件。条件。（4）“个位数是个位数是5的整数的整数”是是“这个数能被这个数能被5整除整除”的的_条件。条件。充分必要充分充分练习练习4.用用“充分充分”或或“必要必要”填空，并说明理由：填空，并说明理由：1.“a和和b都是偶数都是偶数”是是“a+b也是偶数也是偶数”的的 条件；条件；2.“四边相等四边相等”是是“四边形是正方形四边形是正方形”的的 条件；条件；3.“x3”是是“|x|
10、3”的的 条件；条件；4.“x1=0”是是“x21=0”的的 条件；条件；5.“两个角是对顶角两个角是对顶角”是是“这两个角相等这两个角相等”的的 条件；条件；充分充分必要必要必要必要充分充分充分充分6.“至少有一组对应边相等至少有一组对应边相等”是是“两个三角形全两个三角形全等等”的的 条件；条件；7.对于一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中其中a,b,c都不都不为为0)来说，来说，“b24ac0”是是“这个方程有两个正这个方程有两个正根根”的的 条件；条件；8.“a=2，b=3”是是“a+b=5”的的 条件；条件；必要必要必要必要充分充分课堂小结课堂小结 如果已知如果已知
11、p q，则说，则说p是是q的充分的充分 条件，条件，q是是p的必要条件。的必要条件。认清条件和结论。认清条件和结论。考察考察p q和和q p的真假。的真假。可先简化命题。可先简化命题。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。1、定义、定义:pqqppq如果既有，又有就记做称称:p是是q的的充分必要条件充分必要条件,简称简称充要条件充要条件显然显然,如果如果p是是q的充要条件的充要条件,那么那么q也是也是p的充要条件的充要条件p与与q互为充要条件互为充要条件(也可以说成”p与q等价”)1、充分且必
12、要条件、充分且必要条件;2、充分非必要条件、充分非必要条件;3、必要非充分条件、必要非充分条件;4、既不充分也不必要条件、既不充分也不必要条件.各种条件的可能情况各种条件的可能情况:的的什什么么条条件件？又又是是的的什什么么条条件件？是是那那么么的的倍倍数数。和和是是：整整数数的的倍倍数数，是是整整数数已已知知pqqpaqap326:充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充分且必要条件充分且必要条件1）A B且且B A，则，则A是是B的的2）若）若A B且且B A，则，则A是是B的的3 3）若）若A BA B且且B AB A，则，则A
13、A是是B B的的4）A B且且B A，则，则A是是B的的 p q，相当于相当于P Q，即即 P Q 或或 P、Q q p，相当于相当于Q P，即即 Q P 或或 P、Q p q，相当于相当于P=Q，即即 P、QP、Q口诀口诀:对于具体的数集对于具体的数集,以条件集合为基础以条件集合为基础,小充分小充分,大必要大必要.充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件4）若）若A=B，则甲是乙的则甲是乙的充分且必要条件充分且必要条件BA1)AB2)AB3 )A =B4 )小结小结 充分必要条件的判断方法：充分必要条件的判断方法：定义法、集合法、等价法
14、（逆否命题）定义法、集合法、等价法（逆否命题）2）若）若A B且且B A，则甲是乙的则甲是乙的1）若）若A B且且B A，则甲是乙的则甲是乙的3 3）若）若A BA B且且B AB A，则甲是乙的则甲是乙的.:(3);0:00:2;)(:0:1 32cbcaqbapxyqyxpcbxaxxfqbpqp ，）（是偶函数是偶函数函数函数，）（的充要条件？的充要条件？是是：下列各题中，哪些：下列各题中，哪些例例的充要条件。的充要条件。不是不是中的中的，所以，所以中，中，的充要条件。在的充要条件。在是是中的中的，所以，所以中，中，在在解解qppqqpqp(2)(2)(1)(3)(1)(3):练习：请用
15、练习：请用“充分不必要充分不必要”、“必要不充分必要不充分”、“充要充要”、“既不充分也不必要既不充分也不必要”填空：填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是是“x=2”的条件的条件.(2)“同位角相等同位角相等”是是“两直线平行两直线平行”的条的条件件.(3)“x=3”是是“x2=9”的条件的条件.(4)“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”是是“四边形为平行四四边形为平行四边形边形”的条件的条件.充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要POQ例例4、已知已知:O的半径为的半径为r,圆心圆心O到直线到直线L的距离为的距离为d.求证求证:d=r是直线
16、是直线L与与 O相切的充要条件相切的充要条件.PQOl证明：如图，作证明：如图，作 于点于点P，则，则OP=d。OPl若若d=r，则点，则点P在在 上。在直线上。在直线 上任取一点上任取一点Q(异于点异于点P)，连接，连接OQ。OlRt OPQ在在 中，中，OQOP=r.所以，除点所以，除点P外直线外直线 上的点都在上的点都在 的外部，的外部，即直线即直线 与与 仅有一个公共点仅有一个公共点P。OlOl所以直线所以直线 与与 相切。相切。Ol(1)充分性充分性(p q)：若直线若直线 与与 相切，不妨设切点为相切，不妨设切点为P，则，则 .d=OP=r.lOOPl(2)必要性必要性(q p)：
17、所以，所以，d=r是直线是直线L与与 O相切的充要条件相切的充要条件.1设集合设集合M=x|0 x3,N=x|02的一个必要而不充分条件是的一个必要而不充分条件是_。4 的的_条件。条件。5设设p、r都是都是q的充分条件，的充分条件，s是是q的充分必要条件，的充分必要条件，t是是s的必要条件，的必要条件，t是是r的充分条件，那么的充分条件，那么p是是t的的_ 条件，条件，r是是t的的_条件。条件。”是“”是“Zkk ,65223cos C课堂小结课堂小结（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念充分条件、必要条件、充要条件的概念.（2）判断）判断“若若p，则则q”命题中，条件命题中，条件p是是q
18、的什么条的什么条件件.互互为为充充要要条条件件。与与，那那么么如如果果qpqp 充要条件判断：充要条件判断：pq、分别表示某条件、分别表示某条件pq则称条件 是条件 的充分不必要条件则称条件 是条件 的充分不必要条件pq则称条件 是条件 的必要不充分条件则称条件 是条件 的必要不充分条件pq则称条件 是条件 的充要条件则称条件 是条件 的充要条件pq则称条件 是条件 的既充分也不必要条件则称条件 是条件 的既充分也不必要条件3pqqp）且且1pqqp）且且2pqqp）且且4pqqp）且且命题的命题的4种情况：种情况：典典 例例 剖剖 析析(学生用书学生用书P8)题型一题型一 用定义判定充分条件
19、与必要条件用定义判定充分条件与必要条件例例1:下列命题中下列命题中,p是是q的充分条件的是的充分条件的是()p:a+b=0,q:a2+b2=0;p:x5,q:x3;p:四边形是矩形四边形是矩形;q:四边形对角线相等四边形对角线相等;已知已知、是两个不同的平面是两个不同的平面,直线直线a,直线直线b,命题命题p:a与与b无公共点无公共点,命题命题q:.A.B.C.D.解析解析:a+b=0a2+b2=0,即即pq,p不是不是q的充分条件的充分条件.x5x3,即即pq,p是是q的充分条件的充分条件.四边形是矩形四边形是矩形对角线相等对角线相等,即即pq,p是是q的充分条件的充分条件.a、b无公共点不
20、能推出无公共点不能推出 无公共点无公共点,p不是不是q的充分的充分条件条件.答案答案:BB变式训练变式训练1:下列命题中下列命题中,p是是q的必要条件的是的必要条件的是()A.p:x=1或或x=2,B.p:m0,q:x2-x-m=0无实根无实根C.p:a0且且a1,q:y=ax是增函数是增函数D.p:f(x)=loga(x+1),q:f(x)为增函数为增函数:11q xx 211,1,(1)1,(:1,B C D.BCD.A.2,A,1x1x1)(2,qp,A.2)0,xxxxxxxx 解析 方法 可用排除法 易知 均不合题意排除、所以 正确方法对于选项或故选答案答案:A题型二题型二 充分不必
21、要条件充分不必要条件,必要不充分条件的判定必要不充分条件的判定例例2:指出下列各组命题中指出下列各组命题中,p是是q的什么条件的什么条件?(1)p:数数a能被能被6整除整除,q:数数a能被能被3整除整除;(2)p:x1,q:x21;(3)p:ABC有两个角相等有两个角相等,q:ABC是正三角形是正三角形;(4)p:|ab|=ab,q:ab0.分析分析:判断判断p是是q的什么条件的什么条件,主要判断主要判断pq及及qp两个命题的两个命题的正确性正确性,若若pq为真为真,则则p是是q成立的充分条件成立的充分条件;若若qp为真为真,则则p是是q成立的必要条件成立的必要条件.解解:(1)pq,且且q
22、p,p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.(2)pq,且且q p,p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.(3)p q,且且qp,p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件.(4)ab=0时时,|ab|=ab,|ab|=ab ab0,而而ab0时时,有有|ab|=ab,p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件.变式训练变式训练2:指出下列各组命题中指出下列各组命题中,p是是q的什么条件的什么条件?(1)在在ABC中中,p:AB,q:tanAtanB;(2)p:x=3,q:(x+2)(x-3)=0;解解:(1)在在ABC中中,AB tanAtanB.反过来反过来tanAtanB AB.(可举
23、反例可举反例,取取A=30,B=120),p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.(2)x=3(x+2)(x-3)=0,而而(x+2)(x-3)=0 x=-2或或x=3.pq,但但q p.p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.题型三题型三 充分条件充分条件 必要条件的应用必要条件的应用例例3:是否存在实数是否存在实数m,使使“4x+m0”的充分条件的充分条件?如果存在如果存在,求出求出m的取值范围的取值范围.分析分析:“4x+m0”是结论是结论,先解出这两个不等先解出这两个不等式式,再探求符合条件的再探求符合条件的m的范围的范围.222:202x1,4x0 xx,x2x1,1
24、,m4,m4,1120.m4,4x0.444240.mxxmxxxmmmmxx 解的解是x或由得要想使时或成立 必须有即 所以当 时所以当 时是的充分条件规律技巧规律技巧:本题用集合的包含关系去理解更容易解答本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结注意结合数轴确定合数轴确定m的范围的范围.变式训练变式训练3:使不等式使不等式x2-2x-30成立的充分不必要条件是成立的充分不必要条件是()A.x3或或x5C.x0 D.x0 x3或或x3是是x2-2x-30成立的充分不必要条件成立的充分不必要条件,而而x5x3.x5是使不等式成立的充分不必要条件是使不等式成立的充分不必要条件.答案答案:B能力
25、提升能力提升9.指出下列条件中指出下列条件中,p是是q的什么条件的什么条件,q是是p的什么条件的什么条件.(1)p:C=90;q:ABC是直角三角形是直角三角形;(2)p:AB=A;q:AB.解解:(1)C=90ABC为直角三角形为直角三角形.pq.ABC是直角三角形是直角三角形,也可能也可能B=90,q p.p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件,q是是p的必要不充分条件的必要不充分条件.(2)AB=AA B,p q.又又ABAB=A,qp.p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件,q是是p的充分不必要条件的充分不必要条件.10.已知已知a,b是实数是实数,求证求证:a4-b4-2b2=1
26、成立的充分条件是成立的充分条件是a2-b2=1.该条件是否是必要条件该条件是否是必要条件?证明你的结论证明你的结论.证明证明:若若a2-b2=1,则则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1.a2-b2=1是是a4-b4-2b2=1的充分条件的充分条件.a2-b2=1是是a4-b4-2b2=1的必要条件的必要条件,证明如下证明如下:若若a4-b4-2b2=1,则则a4-b4-2b2-1=0,即即a4-(b2+1)2=0,(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.a2+b2+10,a2-b2=1.a2-b2=1是是a4-b4-2b2=1的必要条件的必要条件.12.(2009安徽安徽)下列选项中下列选项中,p是是q的必要不充分条件的是的必要不充分条件的是()A.p:a+cb+d,q:ab且且cdB.p:a1,b1,q:f(x)=ax-b(a0,且且a1)的图象不过第二象限的图象不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a1,q:f(x)=logax(a0且且a1)在在(0,+)上为增函数上为增函数答案答案:A
